2017年广西省贵港市中考数学试卷（含解析版）

2017年广西贵港市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．7的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（　　） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2 6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．下列命题中假命题是（　　） A．正六边形的外角和等于360° C．样本方差越大，数据波动越小 B．位似图形必定相似 D．方程x2+x+1=0无实数根 8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）A． B． C． D．1 9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC= 40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A．y=（x﹣1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A’B’C，M是BC的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△ CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5[来源:Z#xx#k.Com] 　二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 13．计算：﹣3﹣5=　． 14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　 15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么 ∠BEF的度数为　．　． 16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60 °得到P’C，连接AP’，则sin∠PAP’的值为　． 17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为　　．（结果保留π） 18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y= （x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是　．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（1）计算：|﹣3|+（ +π）0﹣（﹣ ）﹣2﹣2cos60°；（2）先化简，在求值：（ ﹣）+ ，其中a=﹣2+ ．20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．（1）在OA边上作点P，使OP=2a；（2）作∠AOB的平分线；（3）过点M作OB的垂线． 21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标． [来源:学§] 22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：频率分布表阅读时间（小时） 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 合计频数频率（人） 18 a0.12 m45 36 21 b0.3 n0.14 1（1）填空：a=　　，b=　　，m=　　，n=　　；（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数． 23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ 24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半径． 25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD 所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长； ②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．　2017年广西贵港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．7的相反数是（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【考点】14：相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：7的相反数是﹣7，故选：B．　2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（　　） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，最中间的数是3，则这组数据的中位数是3； 2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．故选：C．　3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　） A． B． C． D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选：B．　4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D．【考点】74：最简二次根式．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意； C、被开方数含分母，故C不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；故选：A．　5．下列运算正确的是（　　） A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2 【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可．【解答】解：A.3a2与a不是同类项，不能合并，所以A错误； B.2a3•（﹣a2）=2×（﹣1）a5=﹣2a5，所以B错误； C.4a6与2a2不是同类项，不能合并，所以C错误； D．（﹣3a）2﹣a2=9a2﹣a2=8a2，所以D正确，故选D．　6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】D1：点的坐标．【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6， 4﹣2m＜﹣2，所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限； ②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6， 4﹣2m＞﹣2，点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A．　7．下列命题中假命题是（　　） A．正六边形的外角和等于360° B．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据波动越小 D．方程x2+x+1=0无实数根【考点】O1：命题与定理．【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．【解答】解：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题； B、位似图形必定相似，是真命题； C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题； D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；故选：C．　8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）A． B． C． D．1 【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有： 3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，则P（能构成三角形）= = ，故选B 　9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC= 40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．【解答】解：∵B是的中点， ∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．　10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A．y=（x﹣1）2+1B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移规律，可得答案．【解答】解：由图象，得 y=2×2﹣2，由平移规律，得 y=2（x﹣1）2+1，故选：C．　11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A’B’C，M是BC的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】R2：旋转的性质．【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′ B′=AB=4， ∴A′P=PB′， ∴PC= A′B′=2， ∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3， ∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选B．　12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△ CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△O MN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°， ∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM， ∴∠CDM+∠DCN=90°， ∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM=ON，∠COM=∠BON， ∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，又∵DO=CO， ∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确； ∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°， ∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴△OMN∽△OAD，故③正确； ∵AB=BC，CM=BN， ∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2， ∴AN2+CM2=MN2，故④正确； ∵△OCM≌△OBN， ∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1， ∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN=x=CM，则BM=2﹣x， ∴△MNB的面积= x（2﹣x）=﹣ x2+x， ∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣ = ，故⑤正确；综上所述，正确结论的个数是5个，故选：D．　二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 13．计算：﹣3﹣5=　﹣8　．【考点】1A：有理数的减法．【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：﹣3﹣5=﹣8．故答案为：﹣8．　14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　3.7×105　．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a| ＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：370 000=3.7×105，故答案为：3.7×105．　15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么 ∠BEF的度数为　60°　．【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°， ∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，又∵∠CFE：∠EFB=3：4， ∴∠CFE= ∠CFB=60°， ∵AB∥CD， ∴∠BEF=∠CFE=60°，故答案为：60°．　16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60 °得到P’C，连接AP’，则sin∠PAP’的值为　．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CP P′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：连接PP′，如图， ∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P’C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP2=P′A2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin∠PAP′= = =．故答案为．　17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为　 π+2 　．（结果保留π）【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接O、AD， ∵点C为OA的中点， ∴∠CDO=30°，∠DOC=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴S扇形AOD == π， ∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD ）==﹣﹣（ π﹣ ×2×2 ）π﹣ π﹣ π+2 = π+2 ．故答案为 π+2 ．　18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y= （x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是　2≤k≤9　．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；把y=﹣x+6代入y= 得：﹣x+6= ， x2﹣6x+k=0， △=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k， ∵反比例函数y= 的图象与△ABC有公共点， ∴36﹣4k≥0， k≤9，即k的范围是2≤k≤9，故答案为：2≤k≤9．　三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（1）计算：|﹣3|+（ +π）0﹣（﹣ ）﹣2﹣2cos60°；（2）先化简，在求值：（ ﹣）+ ，其中a=﹣2+ ．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5 ：特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；（2）先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案．【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）2﹣2× =4﹣4﹣1=﹣1 （2）当a=﹣2+ 原式= +===7+5 　20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．（1）在OA边上作点P，使OP=2a；（2）作∠AOB的平分线；（3）过点M作 OB的垂线．【考点】N3：作图—复杂作图．【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；【解答】解：（1）点P为所求作；（2）OC为所求作；（3）MD为所求作；　21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．【解答】解：（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，则A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入y= 得k=6，则反比例函数的解析式是y= ；（2）根据题意得2x﹣4= ，解得x=3或﹣1，把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．　22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：频率分布表阅读时间（小时） 1≤x＜2 2≤x＜3 3≤x＜4 4≤x＜5 5≤x＜6 合计频数频率（人） 18 a0.12 m45 36 21 b0.3 n0.14 1（1）填空：a=　30　，b=　150　，m=　0.2　，n=　0.24　；（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人）， ∴n=36÷150=0.24， ∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2， ∴a=0.2×150=30；故答案为：30，150，0.2，0.24；（2）如图所示：（3）3000×（0.12+0.2）=960（人）；即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960人．　23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得： 2x+10﹣x=18，解得：x=8，则10﹣x=2，答：甲队胜了8场，则负了2场；（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得： 2a+（10﹣a）≥15，解得：a≥5，答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．　24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O的半径．【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP ⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC= ，得到DF=2 ，根据勾股定理得到AD= =2 ，求得AE= ，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣ ，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图， ∵PA=PD， ∴弧AP=弧DP， ∴OP⊥AD，AE=DE， ∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB， ∴直线AB与⊙O相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DB与AC互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC= ，∴AF=4，tan∠DAC= = ，∴DF=2 ∴AD= ∴AE= ，=2 ，，在Rt△PAE中，tan∠1= = ∴PE= ，，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣ ，OA=R，在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2， ∴R2=（R﹣ ）2+（）2， ∴R= ，即⊙O的半径为．　25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△ BCD的面积，可求得k的值；（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a， ∴C（0，3a）， ∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a， ∴D（2，﹣a）；（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∴S△ABD= ×2×a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x= ， ∴E（，0）， ∴BE=3﹣ = ∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3， ∴k=3；（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a）， ∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2， ∵∠BCD＜∠BCO＜90°， ∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况， ①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； ②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣ ，此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ （舍去）或a= ；综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ ．　26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿B D所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC． ①写出BP，BD的长； ②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题； ②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt △BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x= ，推出DN= =，由△BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得 = ，由此求出AE= ，可得EC=AC ﹣AE=4﹣ = 由此即可解决问题．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4， ∴AB= =2 ，∵AD=CD=2， ∴BD= =2 ，由翻折可知，BP=BA=2 ②如图1中，．∵△BCD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°， ∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2， ∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， ∴x= ， ∵DB=DA，DN⊥AB， ∴BN=AN= ，在Rt△BDN中，DN= =，由△BDN∽△BAM，可得 = ，∴ = ，[来源:Z+xx+k.Com] ∴AM=2， ∴AP=2AM=4，由△ADM∽△APE，可得 = ，∴ = ∴AE= ，，∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ，易证四边形PECH是矩形， ∴PH=EC= ．　2017年7月4日