2017年广东省深圳市中考数学试卷（含解析版）

2017年广东省深圳市中考数学试卷一、选择题 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 2．（3分）图中立体图形的主视图是（　　） C．﹣ D． A． C． B． D． 3．（3分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将82000 00用科学记数法表示为（　　） A．8.2×105 B．82×105 C．8.2×106 D．82×107 4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D． 5．（3分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（　　）第1页（共33页） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 6．（3分）不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3 7．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　） A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 D．（1+10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 8．（3分）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于 AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 9．（3分）下列哪一个是假命题（　　） A．五边形外角和为360° 第2页（共33页） B．切线垂直于经过切点的半径 C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2） D．抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2 10．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 11．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m． A．20 B．30 C．30 D．40 12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•O P；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　第3页（共33页）二、填空题 13．（3分）因式分解：a3﹣4a=　． 14．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是　． 15．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2 =﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）=　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MP N=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=　．　三、解答题 17．（5分）计算：| ﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+ ．18．（6分）先化简，再求值：（ +）÷ ，其中x=﹣1．第4页（共33页） 19．（7分）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．类型频数 30 18 m频率 xABCD0.15 0.40 yn（1）学生共　人，x=　，y=　；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　人．第5页（共33页） 20．（8分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 21．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y= （x＞0）的表达式；（2）求证：AD=BC．第6页（共33页） 22．（9分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是一点，AH=2，CH=4．上任意（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE• HF的值．第7页（共33页） 23．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC= S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；第8页（共33页）（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．　第9页（共33页） 2017年广东省深圳市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【考点】15：绝对值．菁优网版权所有【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|=2．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质． 2．（3分）图中立体图形的主视图是（　　） A． B． D． C．【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有【分析】根据主视图是从正面看的图形解答．【解答】解：从正面看，共有两层，下面三个小正方体，上面有一个小正方体，在中间．第10页（共33页）故选：A．【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力． 3．（3分）随着“一带一路”建设的不断发展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路（中国至哈萨克斯坦）运输量达8200000吨，将82000 00用科学记数法表示为（　　） A．8.2×105 B．82×105 C．8.2×106 D．82×107 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1 时，n是负数．【解答】解：将8200000用科学记数法表示为：8.2×106．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． C． B． D．【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有第11页（共33页）【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意； C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 5．（3分）下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 【考点】J9：平行线的判定．菁优网版权所有【分析】分别根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴l1∥l2，故本选项错误； B、∵∠2=∠3，∴l1∥l2，故本选项错误； C、∠3=∠5不能判定l1∥l2，故本选项正确； D、∵∠3+∠4=180°，∴l1∥l2，故本选项错误．故选：C．第12页（共33页）【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 6．（3分）不等式组 A．x＞﹣1 的解集为（　　） B．x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．﹣1＜x＜3 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3﹣2x＜5，得：x＞﹣1，解不等式x﹣2＜1，得：x＜3， ∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3，故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（3分）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（　　） A．10%x=330 B．（1﹣10%）x=330 D．（1+10%）x=330 C．（1﹣10%）2x=330 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有【分析】设上个月卖出x双，等量关系是：上个月卖出的双数×（1+10%）=现在卖出的双数，依此列出方程即可．【解答】解：设上个月卖出x双，根据题意得第13页（共33页）（1+10%）x=330．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键． 8．（3分）如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于 AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．菁优网版权所有【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA=25°， ∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选：B．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．第14页（共33页） 9．（3分）下列哪一个是假命题（　　） A．五边形外角和为360° B．切线垂直于经过切点的半径 C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2） D．抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2 【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意； B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意； C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意； D、抛物线y=x2﹣4x+2017对称轴为直线x=2是真命题，故D不符合题意；故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10．（3分）某共享单车前a公里1元，超过a公里的，每公里2元，若要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a应该要取什么数（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【考点】WA：统计量的选择．菁优网版权所有【分析】由于要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，根据中位数的意义分析即可【解答】解：根据中位数的意义，故只要知道中位数就可以了．第15页（共33页）故选：B．【点评】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．11．（3分）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m． A．20 B．30 C．30 D．40 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由 ∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30° ，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：在Rt△CDE中， ∵CD=20m，DE=10m， ∴sin∠DCE= =， ∴∠DCE=30°． ∵∠ACB=60°，DF∥AE， ∴∠BGF=60° ∴∠ABC=30°，∠DCB=90°． ∵∠BDF=30°， ∴∠DBF=60°， ∴∠DBC=30°，第16页（共33页） ∴BC= ==20 m， ∴AB=BC•sin60°=20 故选：B． ×=30m．方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF=DC=20，所以AB=20+10=30，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 12．（3分）如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•O P；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DC 第17页（共33页） E﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE= ，求得QE= ，QO= ，OE= ，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°， ∵BP=CQ， ∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q， ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP；故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴，∴AO2=OD•OP， ∵AE＞AB， ∴AE＞AD， ∴OD≠OE， ∴OA2≠OE•OP；故②错误；在△CQF与△BPE中，∴△CQF≌△BPE， ∴CF=BE，第18页（共33页） ∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE， ∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF ，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4， ∵△PBE∽△PAD， ∴，∴BE= ，∴QE= ，∵△QOE∽△PAD， ∴，∴QO= ，OE= ∴AO=5﹣QO= ∴tan∠OAE= 故选：C．，，=，故④正确，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．　二、填空题 13．（3分）因式分解：a3﹣4a=　a（a+2）（a﹣2）　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有第19页（共33页）【专题】44：因式分解．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣4a=a（a2﹣4）=a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键． 14．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是　．【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所摸到1黑1白的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：依题意画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，所摸到的球恰好为1黑1白的有4种情况， ∴所摸到的球恰好为1黑1白的概率是： = ．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．（3分）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2 第20页（共33页） =﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）=　2　．【考点】2C：实数的运算；4F：平方差公式．菁优网版权所有【专题】23：新定义．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2 故答案为：2 【点评】本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义，本题属于基础题型． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MP N=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=　3　．【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出 ==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设 PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．第21页（共33页） ∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°， ∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR=90°=∠MPN， ∴∠QPE=∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴==2， ∴PQ=2PR=2BQ， ∵PQ∥BC， ∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x， ∴2x+3x=3， ∴x= ， ∴AP=5x=3．故答案为3．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．　三、解答题 17．（5分）计算：| ﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+ ．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有第22页（共33页）【分析】因为＜2，所以| ﹣2|=2﹣ ，cos45°= ，=2 ，分别计算后相加即可．【解答】解：| ﹣2|﹣2cos45°+（﹣1）﹣2+ =2﹣ ﹣2× +1+2 ，，=2﹣ =3． ﹣+1+2 ，【点评】本题考查了有关负整数指数、特殊的三角函数值、乘方等知识的计算，属于常考题型，此类计算题要细心，熟练掌握特殊角的三角函数值，明确实数的运算法则． 18．（6分）先化简，再求值：（ +）÷ ，其中x=﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：当x=﹣1时，原式= ×=3x+2 =﹣1 【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 19．（7分）深圳市某学校抽样调查，A类学生骑共享单车，B类学生坐公交车、私家车等，C类学生步行，D类学生（其它），根据调查结果绘制了不完整的统计图．类型频数频率 A30 x第23页（共33页） BCD18 mn0.15 0.40 y（1）学生共　120　人，x=　0.25　，y=　0.2　；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有2000人，骑共享单车的有　500　人．【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图．菁优网版权所有【分析】（1）根据B类学生坐公交车、私家车的人数以及频率，求出总人数，再根据频数与频率的关系一一解决即可；（2）求出m、n的值，画出条形图即可；（3）用样本估计总体的思想即可解决问题；【解答】解：（1）由题意总人数= x= =0.25，m=120×0.4=48， =120人， y=1﹣0.25﹣0.4﹣0.15=0.20， n=120×0.2=24，（2）条形图如图所示，第24页（共33页）（3）2000×0.25=500人，故答案为500．【点评】本题考查条形图、频率分布表、样本估计总体等知识，解题的关键是记住频率= ，频率之和为1，属于中考常考题型． 20．（8分）一个矩形周长为56厘米．（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．【考点】AD：一元二次方程的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有x（28﹣x）=180，解得x1=10（舍去），x2=18， 28﹣x=28﹣18=10．第25页（共33页）故长为18厘米，宽为10厘米；（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有 x（28﹣x）=200，即x2﹣28x+200=0，则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：长方形的长=周长的一半 ﹣宽．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y= （x＞0）的表达式；（2）求证：AD=BC．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有【专题】14：证明题．【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；第26页（共33页）（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y= 中，得，m=2×4=8， ∴反比例函数的解析式为y= ，将点B（a，1）代入y= 中，得，a=8， ∴B（8，1），将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，，∴，∴一次函数解析式为y=﹣ x+5；（2）∵直线AB的解析式为y=﹣ x+5， ∴C（10，0），D（0，5），如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∵点A（2，4），B（8，1） ∴E（0，4），F（8，0）， ∴AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD= =，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BC= ∴AD=BC． =，第27页（共33页）【点评】此题是反比例函数与一次函数交点坐标问题，主要考查了待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是掌握待定系数法求函数的解析式，解（2）的关键是构造直角三角形． 22．（9分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是一点，AH=2，CH=4．上任意（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE• HF的值．【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有【专题】16：压轴题．【分析】（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解决问题；（2）只要证明∠CMD=∠COA，求出sin∠COA即可；（3）由△EHM∽△NHF，推出 =，推出HE•HF=HM•HN，又HM•HN=AH•HB 第28页（共33页），推出HE•HF=AH•HB，由此即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OC． ∵AB⊥CD， ∴∠CHO=90°，在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r﹣2，CH=4， ∴r2=42+（r﹣2）2， ∴r=5．（2）如图1中，连接OD． ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴==，∴∠AOC= ∠COD， ∵∠CMD= ∠COD， ∴∠CMD=∠COA， ∴sin∠CMD=sin∠COA= =．（3）如图2中，连接AM． ∵AB是直径， ∴∠AMB=90°， ∴∠MAB+∠ABM=90°， ∵∠E+∠ABM=90°， ∴∠E=∠MAB， ∴∠MAB=∠MNB=∠E， ∵∠EHM=∠NHF ∴△EHM∽△NHF， ∴=，第29页（共33页） ∴HE•HF=HM•HN， ∵HM•HN=AH•HB（相交弦定理）， ∴HE•HF=AH•HB=2•（10﹣2）=16．【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC= S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．第30页（共33页）【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得B E的长．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0）， ∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0）， ∴AB=5，OC=2， ∴S△ABC= AB•OC= ×5×2=5， ∵S△ABC= S△ABD ∴S△ABD= ×5= 设D（x，y），，，第31页（共33页） ∴ AB•|y|= ×5|y|= ，解得|y|=3，当y=3时，由﹣ x2+ x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3 ）；当y=﹣3时，由﹣ x2+ x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（ 5，﹣3）；综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5， ∴AC= ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC， =，BC= =2 ，如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，由题意可知∠FBC=45°， ∴∠CFB=45°， ∴CF=BC=2 ，∴=，即 =，解得OM=2， =，即 =，解得FM=6， ∴F（2，6），且B（4，0），设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，第32页（共33页）联立直线BE和抛物线解析式可得 ∴E（5，﹣3），，解得或，∴BE= =．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．　第33页（共33页）