2017年山东省临沂市中考数学试卷（含解析版）

2017年山东省临沂市中考数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1．（3分）﹣ A．的相反数是（　　） B．﹣ C．2017 D．﹣2017 2．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b C．a2•a3=a6 B．a2+a2=a4 D．（ab2）2=a2b4 4．（3分）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． C． B． D． 5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）第1页（共38页） A． C． B． D． 6．（3分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　） A． 7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 B． C． D． 8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　） A． =B． =C． =D． =9．（3分）某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：部门人数每人所创年利润（单位：万元） ABCD137410 853这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　）第2页（共38页） A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5 10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是（　　） A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π 11．（3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 12．（3分）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作D E∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 13．（3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与第3页（共38页）足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t0018234567……h14 18 20 20 18 14 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　） A．6 B．10 C．2 D．2 　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．（3分）分解因式：m3﹣9m=　． 16．（3分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO =　．第4页（共38页） 17．（3分）计算： ÷（x﹣ ）=　． 18．（3分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BD C= ，则▱ABCD的面积是　． 19．（3分）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点 P的坐标表示为 =（m，n）．已知： =（x1，y1）， =（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么直，下列四组向量：与互相垂 ①=（2，1）， =（﹣1，2）； ②③=（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）； =（ ﹣，﹣2）， =（ +，）； ④=（π0，2）， =（2，﹣1）．其中互相垂直的是　（填上所有正确答案的符号）．　三、解答题（本大题共7小题，共63分） 20．（7分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（）﹣1．第5页（共38页） 21．（7分）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：学生最喜爱的节目人数统计表节目百分比人数（名） 515 a10% b% 最强大脑朗读者 40% 20% 中国诗词大会出彩中国人 10 根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）x=　，a=　，b=　；（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．第6页（共38页） 22．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为3 0°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 23．（9分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交 AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．第7页（共38页） 24．（9分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？ 25．（11分）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间第8页（共38页）有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接A E，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以 AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB 与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB =∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB =∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．第9页（共38页） 26．（13分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．　第10页（共38页） 2017年山东省临沂市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 1．（3分）﹣ A．的相反数是（　　） B．﹣ C．2017 D．﹣2017 【考点】14：相反数．菁优网版权所有【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣ 故选：A．的相反数是：．【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握相反数的定义是解题关键． 2．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】IL：余角和补角；JA：平行线的性质．菁优网版权所有【分析】首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【解答】解：∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°， ∴∠BEF=∠1+∠F=50°，第11页（共38页） ∵AB∥CD， ∴∠2=∠BEF=50°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大． 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．﹣（a﹣b）=﹣a﹣b C．a2•a3=a6 B．a2+a2=a4 D．（ab2）2=a2b4 【考点】44：整式的加减；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有【分析】根据去括号、同底数幂的乘法底数不变指数相加，积的乘方，可得答案．【解答】解：A、括号前是负号，去括号全变号，﹣（a﹣b）=﹣a+b，故A不符合题意； B、a2+a2=2a2，故B不符合题意； C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，a2•a3=a5，故C不符合题意； D、积的乘方等于乘方的积，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了积的乘方，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 4．（3分）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确第12页（共38页）的是（　　） A． B． C． D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＜1，解不等式②，得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 5．（3分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（　　）第13页（共38页） A． B． D． C．【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断．【解答】解：该几何体的三视图如下：主视图：；俯视图：；左视图：，故选：D．【点评】本题主要考查三视图，掌握三视图的定义和作法是解题的关键． 6．（3分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是（　　） A． B． C． D．【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种， ∴小华获胜的概率是： = ．故选：C．第14页（共38页）【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得（n﹣2）•180°=360°×2 解得n=6．则这个多边形是六边形．故选：C．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 8．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（　　） A． =B． =C． =D． =【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得第15页（共38页） =，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9．（3分）某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：部门人数每人所创年利润（单位：万元） ABCD137410 853这15名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（　　） A．10，5 B．7，8 C．5，6.5 D．5，5 【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找到这组数据的中位数和众数．【解答】解：由题意可得，这15名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、 3、3， ∴这组数据的众数是5，中位数是5，故选：D．【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数． 10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则第16页（共38页）阴影部分的面积是（　　） A．2 B． ﹣ π C．1 D． + π 【考点】MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有【分析】设AT交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则可判断△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，所以AD=BD=TD= AB=，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影部分的面积=S△BTD 【解答】解：∵BT是⊙O的切线；．设AT交⊙O于D，连结BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°， ∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形， ∴AD=BD=TD= AB= ，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积， ∴阴影部分的面积=S△BTD= × 故选：C． ×=1．【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是第17页（共38页）利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积． 11．（3分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【考点】38：规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案．【解答】解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1+2=3个小圆；第3个图形有1+2+3=6个小圆；第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第n个图形有1+2+3+…+n= ∵第n个图形中“○”的个数是78， ∴78= 个小圆；，解得：n1=12，n2=﹣13（不合题意舍去），故选：B．【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．12．（3分）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作D E∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）第18页（共38页） A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定．菁优网版权所有【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A 错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 13．（3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t0018234567……h14 18 20 20 18 14 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11 第19页（共38页） m．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】HE：二次函数的应用．菁优网版权所有【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得h=﹣t2+9t=﹣（t﹣4. 5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为h=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴h=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，h=0， ∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，h=11.25，故④错误． ∴正确的有②③，故选：B．【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= （x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（　　）第20页（共38页） A．6 B．10 C．2 D．2 【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；PA：轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N （4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN 的最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴M（6，），N（，6）， ∴BN=6﹣ ，BM=6﹣ ， ∵△OMN的面积为10， ∴6×6﹣ ×6× ﹣ ∴k=24， 6× ﹣ ×（6﹣ ）2=10， ∴M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值， ∵AM=AM′=4， ∴BM′=10，BN=2， ∴NM′= ==2 ，故选：C．第21页（共38页）【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称﹣最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 15．（3分）分解因式：m3﹣9m=　m（m+3）（m﹣3）　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b 2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：m3﹣9m， =m（m2﹣9）， =m（m+3）（m﹣3）．故答案为：m（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 16．（3分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AD=10，则AO =　4　．第22页（共38页）【考点】S4：平行线分线段成比例．菁优网版权所有【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵AB∥CD， ∴== ，即 = ，解得，AO=4，故答案为：4．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 17．（3分）计算： ÷（x﹣ ）=　　．【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式= ÷==•，故答案为：．【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 18．（3分）在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BD 第23页（共38页） C= ，则▱ABCD的面积是　24　．【考点】L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有【分析】作OE⊥CD于E，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD= BD=5，CD =AB=4，由sin∠BDC= ，证出AC⊥CD，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD的面积=CD•AC=24．【解答】解：作OE⊥CD于E，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD= BD=5，CD=AB=4， ∵sin∠BDC= =， ∴OE=3， ∴DE= =4， ∵CD=4， ∴点E与点C重合， ∴AC⊥CD，OC=3， ∴AC=2OC=6， ∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24；故答案为：24．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，得出AC⊥CD是关键第24页（共38页） 19．（3分）在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点 P的坐标表示为 =（m，n）．已知： =（x1，y1）， =（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2=0，那么直，下列四组向量：与互相垂 ①=（2，1）， =（﹣1，2）； ②③=（cos30°，tan45°）， =（1，sin60°）； =（ ﹣，﹣2）， =（ +，）； ④=（π0，2）， =（2，﹣1）．其中互相垂直的是　①③④　（填上所有正确答案的符号）．【考点】6E：零指数幂；LM：*平面向量；T7：解直角三角形．菁优网版权所有【分析】根据向量垂直的定义进行解答．【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2=0，所以与互相垂直； ②因为cos30°×1+tan45°•sin60°= ×1+1× =≠0，所以与不互相垂互相垂直； ③因为（ ﹣）（ +）+（﹣2）× =3﹣2﹣1=0，所以与直； ④因为π0×2+2×（﹣1）=2﹣2=0，所以与互相垂直．综上所述，①③④互相垂直．故答案是：①③④．【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂直的定义．　三、解答题（本大题共7小题，共63分）第25页（共38页） 20．（7分）计算：|1﹣ |+2cos45°﹣ +（）﹣1．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【分析】根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，分别求得每项的值，再进行计算即可．【解答】解： |1﹣ |+2cos45°﹣ +（）﹣1 ==﹣1+2× ﹣2 +2 ﹣1+ ﹣2 +2 =1．【点评】本题主要考查实数的运算及特殊角的三角函数值，注意绝对值和负指数幂的运算法则是解题的关键． 21．（7分）为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：学生最喜爱的节目人数统计表节目百分比人数（名） 515 a10% b% 最强大脑朗读者 40% 20% 中国诗词大会出彩中国人 10 根据以上提供的信息，解答下列问题：第26页（共38页）（1）x=　50　，a=　20　，b=　30　；（2）补全上面的条形统计图；（3）若该校共有学生1000名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．【考点】V5：用样本估计总体；VA：统计表；VC：条形统计图．菁优网版权所有【专题】11：计算题；541：数据的收集与整理．【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与 b的值即可；（2）根据a的值，补全条形统计图即可；（3）由中国诗词大会的百分比乘以1000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：x=5÷10%=50，a=50×40%=20，b= ×100=3 0；故答案为：50；20；30；（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：第27页（共38页）（3）根据题意得：1000×40%=400（名），则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有400名．【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关键． 22．（7分）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为3 0°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有【专题】12：应用题；554：等腰三角形与直角三角形．【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°， ∴ED=AEtan30°=10 m，第28页（共38页）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m， ∴AB=30 m，则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30 ﹣10 =20 m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 23．（9分）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交 AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．【考点】MA：三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC =4 ，即可得出△ABC外接圆的半径． =90°，由勾股定理求出BC= 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，第29页（共38页） ∴，∴∠DBC=∠CAD， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE， ∴∠DBE=∠DEB， ∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BC= =4 ，∴△ABC外接圆的半径= ×4 =2 ．【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 24．（9分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？第30页（共38页）【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据求出相应的函数解析式；（2）根据题意对x进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少m3．【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx， 15k=27，得k=1.8，即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，，得，即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，由上可得，y与x的函数关系式为y= ；（2）设二月份的用水量是xm3，当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=78≠79.8，故此种情况不符合题意，当0＜x≤15时，令1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，解得，x=12， ∴40﹣x=28，第31页（共38页）答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． 25．（11分）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接A E，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以 AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB 与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB =∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB =∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．第32页（共38页）【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有【专题】15：综合题．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出 ∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD= AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，连接AE， ∵∠ABD=∠ADB=45°， ∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°， ∵∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACB+∠ACD=90°， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE，第33页（共38页）在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE= AC， ∵CE=CD+DE=CD+BC， ∴BC+CD= AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC， ∵∠ABD=∠ADB=α， ∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α， ∵∠ACB=∠ACD=α， ∴∠ACB+∠ACD=2α， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠ADE=180°， ∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE， ∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F， ∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα， ∴CE=2CF=2AC•cosα， ∵CE=CD+DE=CD+BC， ∴BC+CD=2AC•cosα．第34页（共38页）【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道综合性较强的题目． 26．（13分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第35页（共38页）【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F （﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN ，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3）， ∴OC=3， ∵OC=3OB， ∴OB=1， ∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3）， ∴AF∥x轴， ∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，第36页（共38页） ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1， ∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n）， ①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于 F，则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a﹣1|=3， ∴a=4或a=﹣2， ∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．第37页（共38页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．　第38页（共38页）