2017年天津市中考数学试卷（含解析版）

2017年天津市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）计算（﹣3）+5的结果等于（　　） A．2 2．（3分）cos60°的值等于（　　） A． B．1 C． D． B．﹣2 C．8 D．﹣8 3．（3分）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（　　） A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105 5．（3分）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）估计 A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（3分）计算的结果为（　　）的值在（　　） A．1 B．a C．a+1 D． 8．（3分）方程组 A． B．的解是（　　） C． D． 9．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　）第1页（共26页） A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC 10．（3分）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=﹣ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 11．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　） A．BC B．CE C．AD D．AC 12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y=x2+2x+1B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1 　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算x7÷x4的结果等于　 14．（3分）计算的结果等于　 15．（3分）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　． 16．（3分）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是　（写出一个即可）．　．　． 17．（3分）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上第2页（共26页），P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　． 18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于　；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　　．　三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得　（2）解不等式②，得　　；　；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为　　．第3页（共26页） 20．（8分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为　　，图①中m的值为　　；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数． 21．（10分）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．第4页（共26页） 22．（10分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414． 23．（10分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20 时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．（1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页）甲复印店收费（元）乙复印店收费（元） 510 20 230 ………0.5 0.6 　　　2.4 　（2）设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．第5页（共26页） 24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（ 0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A’．（1）如图①，当点A’在第一象限，且满足A’B⊥OB时，求点A’的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A’B的长；（3）当∠BPA’=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．第6页（共26页） 25．（10分）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P’． ①当点P’落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P’落在第二象限内，P’A2取得最小值时，求m的值．　第7页（共26页） 2017年天津市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2017•天津）计算（﹣3）+5的结果等于（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】依据有理数的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣3）+5=5﹣3=2．故选：A．【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．　2．（3分）（2017•天津）cos60°的值等于（　　） A． B．1 C． D．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：cos60°= 故选：D．，【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．　3．（3分）（2017•天津）在一些美术字中，有的汉子是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； B、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误； C、可以看作是轴对称图形，故本选项正确； D、不可以看作是轴对称图形，故本选项错误．第8页（共26页）故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．　4．（3分）（2017•天津）据《天津日报》报道，天津市社会保障制度更加成熟完善，截止 2017年4月末，累计发放社会保障卡12630000张．将12630000用科学记数法表示为（　　） A．0.1263×108 B．1.263×107 C．12.63×106 D．126.3×105 【解答】解：12630000=1.263×107．故选：B． 5．（3分）（2017•天津）如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．故选D．　6．（3分）（2017•天津）估计 A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】利用二次根式的性质，得出【解答】解：∵ 的值在（　　）＜＜，进而得出答案．＜＜，∴6＜＜7，的值在整数6和7之间． ∴故选C．【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，得出　＜＜是解题关键．第9页（共26页） 7．（3分）（2017•天津）计算 A．1 B．a C．a+1 D．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．的结果为（　　）【解答】解：原式= 故选（A） =1，【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．　8．（3分）（2017•天津）方程组 A． B． C．【分析】利用代入法求解即可．的解是（　　） D．【解答】解：，①代入②得，3x+2x=15，解得x=3，将x=3代入①得，y=2×3=6，所以，方程组的解是．故选D． 9．（3分）（2017•天津）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABD=∠E B．∠CBE=∠C C．AD∥BC D．AD=BC 【分析】由旋转的性质得到∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD，推出△ABD是等边三角形，得到∠D AB=∠CBE，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，第10页（共26页） ∴∠ABD=∠CBE=60°，AB=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠CBE， ∴AD∥BC，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．　10．（3分）（2017•天津）若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y=﹣ 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵k=﹣3＜0， ∴在第四象限，y随x的增大而增大， ∴y2＜y3＜0， ∵y1＞0， ∴y2＜y3＜y1，故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．　11．（3分）（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）第11页（共26页） A．BC B．CE C．AD D．AC 【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、 E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【解答】解：如图连接PC， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PB+PE=PC+PE， ∵PE+PC≥CE， ∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．　12．（3分）（2017•天津）已知抛物线y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M．平移该抛物线，使点M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（　　） A．y=x2+2x+1B．y=x2+2x﹣1 C．y=x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x﹣1 【分析】直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．第12页（共26页）【解答】解：当y=0，则0=x2﹣4x+3，（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3， ∴A（1，0），B（3，0）， y=x2﹣4x+3 =（x﹣2）2﹣1， ∴M点坐标为：（2，﹣1）， ∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M’落在x轴上，点B平移后的对应点B’落在y轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可， ∴平移后的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1．故选：A．【点评】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2017•天津）计算x7÷x4的结果等于　x3　．【分析】根据同底数幂的除法即可求出答案．【解答】解：原式=x3，故答案为：x3 【点评】本题考查同底数幂的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．　14．（3分）（2017•天津）计算的结果等于　9　．【分析】根据平方差公式进行计算即可．【解答】解： =16﹣7 =9．故答案为：9．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握平方差公式是解题的关键．第13页（共26页）　15．（3分）（2017•天津）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵共6个球，有5个红球， ∴从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为故答案为：．．16．（3分）（2017•天津）若正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，则k的值可以是　﹣2　（写出一个即可）．【分析】据正比例函数的性质；当k＜0时，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限，可确定k的取值范围，再根据k的范围选出答案即可．【解答】解：∵若正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限， ∴k＜0， ∴k的值可以是﹣2，故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y=kx中，当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限．　17．（3分）（2017•天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　．【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．第14页（共26页）【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB． ∵P是AE的中点， ∴PH是△AOE的中位线， ∴PH= OA= （3﹣1）=1． ∵直角△AOE中，∠OAE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，同理△PHE中，HE=PH=1． ∴HG=HE+EG=1+1=2． ∴在Rt△PHG中，PG= 故答案是： ==．．【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．　18．（3分）（2017•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于　　；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求．　．第15页（共26页）【解答】解：（1）AB= 故答案为 =．．（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M， N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积=1：2：3 ，△PAB的面积= 平行四边形ABME的面积，△PBC的面积= 平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积=△PNG的面积= △DGN的面积= 平行四边形DEMG的面积， ∴S△PAB：S△PBC：S△PCA=1：2：3．【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于中考常考题型．　三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8分）（2017•天津）解不等式组第16页（共26页）请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得　x≥1　；（2）解不等式②，得　x≤3　；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为　1≤x≤3　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1；（2）解不等式②，得：x≤3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为1≤x≤3，故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“ 同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．　20．（8分）（2017•天津）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为　40　，图①中m的值为　30　；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．第17页（共26页）【分析】（1）频数÷所占百分比=样本容量，m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；（2）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：（1）4÷10%=40（人）， m=100﹣27.5﹣25﹣7.5﹣10=30；故答案为40，30．（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15， 16出现12次，次数最多，众数为16；按大小顺序排列，中间两个数都为15，中位数为15．【点评】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．　21．（10分）（2017•天津）已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O 于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．【解答】解：（1）如图①，∵连接AC， ∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB=90°， ∵∠ABT=50°， ∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°， ∴∠CDB=∠CAB=40°；（2）如图②，连接AD，第18页（共26页）在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°， ∴∠BAD=∠BCD=65°， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD=65°， ∵∠ADC=∠ABC=50°， ∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．【点评】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．　22．（10分）（2017•天津）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP 和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．第19页（共26页）【分析】如图作PC⊥AB于C．分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．【解答】解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA= ，cosA= ，∴PC=PA•sinA=120•sin64°， AC=PA•cosA=120•cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°， ∴PC=BC， ∴PB= =≈153． ∴AB=AC+BC=120•cos64°+120•sin64° ≈120×0.90+120×0.44 ≈161．答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．　23．（10分）（2017•天津）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费 0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）．（1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页） 510 20 30 …第20页（共26页）甲复印店收费（元）乙复印店收费（元） 0.5 0.6 　1　 2　3　 …　1.2　 2.4 　3.3　 … （2）设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（3）当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．【解答】解：（1）当x=10时，甲复印店收费为：0，1×10=1；乙复印店收费为：0.12×10 =1.2；当x=30时，甲复印店收费为：0，1×30=3；乙复印店收费为：0.12×20+0.09×10=3.3；故答案为1，3；1.2，3.3；（2）y1=0.1x（x≥0）； y2= ；（3）顾客在乙复印店复印花费少；当x＞70时，y1=0.1x，y2=0.09x+0.6， ∴y1﹣y2=0.1x﹣（0.09x+0.6）=0.01x﹣0.6，设y=0.01x﹣0.6，由0.01＞0，则y随x的增大而增大，当x=70时，y=0.1 ∴x＞70时，y＞0.1， ∴y1＞y2， ∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，列出函数关系式是解题的关键．　24．（10分）（2017•天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A’．（1）如图①，当点A’在第一象限，且满足A’B⊥OB时，求点A’的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A’B的长；第21页（共26页）（3）当∠BPA’=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）∵点 ∴OA= ，OB=1，由折叠的性质得：OA’=OA= ∵A’B⊥OB，，点B（0，1），，∴∠A’BO=90°，在Rt△A’OB中，A’B= =，∴点A’的坐标为（，1）；（2）在Rt△ABO中，OA= ，OB=1， ∴AB= =2， ∵P是AB的中点， ∴AP=BP=1，OP= AB=1， ∴OB=OP=BP ∴△BOP是等边三角形， ∴∠BOP=∠BPO=60°， ∴∠OPA=180°﹣∠BPO=120°，由折叠的性质得：∠OPA’=∠OPA=120°，PA’=PA=1， ∴∠BOP+∠OPA’=180°， ∴OB∥PA’，又∵OB=PA’=1， ∴四边形OPA’B是平行四边形，第22页（共26页） ∴A’B=OP=1；（3）设P（x，y），分两种情况： ①如图③所示：点A’在y轴上，在△OPA’和△OPA中，，∴△OPA’≌△OPA（SSS）， ∴∠A’OP=∠AOP= ∠AOB=45°， ∴点P在∠AOB的平分线上，设直线AB的解析式为y=kx+b，把点，点B（0，1）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣ x+1， ∵P（x，y）， ∴x=﹣ x+1，解得：x= ∴P（，，）； ②如图④所示：由折叠的性质得：∠A’=∠A=30°，OA’=OA， ∵∠BPA’=30°， ∴∠A’=∠A=∠BPA’， ∴OA’∥AP，PA’∥OA， ∴四边形OAPA’是菱形， ∴PA=OA= ，作PM⊥OA于M，如图④所示： ∵∠A=30°， ∴PM= PA= ，第23页（共26页）把y= 代入y=﹣ x+1得： =﹣ x+1，解得：x= ∴P（，，）；综上所述：当∠BPA’=30°时，点P的坐标为（，）或（，）．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．　25．（10分）（2017•天津）已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P’． ①当点P’落在该抛物线上时，求m的值； ②当点P’落在第二象限内，P’A2取得最小值时，求m的值．【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可第24页（共26页）求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0）， ∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3， ∵点P′与P关于原点对称， ∴P′（﹣m，﹣t）， ∵点P′落在抛物线上， ∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3， ∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m= 或m=﹣ ②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限， ∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0， ∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴﹣4≤t＜0，；∵P在抛物线上， ∴t=m2﹣2m﹣3， ∴m2﹣2m=t+3， ∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t）， ∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+ ）2+ ∴当t=﹣ 时，P′A2有最小值，；∴﹣ =m2﹣2m﹣3，解得m= ∵m＞0，或m= ，第25页（共26页） ∴m= 不合题意，舍去，．∴m的值为【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．　第26页（共26页）