2017年吉林省中考数学试卷（含解析版）

2017年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 2．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（　　） A． B． C． D． 3．（2分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2 4．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． C． B． D． 5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点 D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　） A．70° B．44° C．34° D．24° 6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交 ⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（　　）第1页（共31页） A．5 B．6 C．7 D．8 　二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为　． 8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克　元（用含x的代数式表示）． 9．（3分）分解因式：a2+4a+4=　． 10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是　． 11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB’C’D’．若点B的对应点B’落在边CD上，则B’C的长为　． 12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的第2页（共31页）竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　m． 13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为　（结果保留π）． 14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b 与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2 与它的交换函数图象的交点横坐标为　．　三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）某学生化简分式 +出现了错误，解答过程如下：原式= +（第一步） ==（第二步）．（第三步）（1）该学生解答过程是从第　步开始出错的，其错误原因是　；（2）请写出此题正确的解答过程．第3页（共31页） 16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度． 17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率． 18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A= ∠D．第4页（共31页）　四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：月份销售额人员甲第1月第2月第3月第4月第5月 7.2 5.8 49.6 9.7 6.2 9.6 9.8 8.5 7.8 5.8 9.9 9.3 9.9 9.9 乙丙（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：统计值数值平均数（万元中位数（万元）众数（万元）人员甲）　8.2 9.3 9.6 　8.5 5.8 乙　7.7 丙（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．第5页（共31页） 20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上． 21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，第6页（共31页） A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．） 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y= （x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD= OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．　五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BC D沿射线BD方向平移到△B’C’D’的位置，使B’为BD中点，连接AB’，C’D，AD’ ，BC’，如图②．第7页（共31页）（1）求证：四边形AB’C’D是菱形；（2）四边形ABC’D′的周长为　；（3）将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长． 24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为　cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．第8页（共31页）　六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC 重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为　cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；第9页（共31页）（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围． 26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x 增大而增大时x的取值范围．第10页（共31页）【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△P DE的面积不小于1时m的取值范围．　第11页（共31页） 2017年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：原式=1．故选A．　2．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（　　） A． B． C． D．【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．故选B．　3．（2分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2 【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；第12页（共31页）（B）原式=a5，故B错误；（D）原式=a2b2，故D错误；故选（C）　4．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D．【解答】解：∵x+1≥2， ∴x≥1．故选A．　5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点 D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　） A．70° B．44° C．34° D．24° 【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°， ∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．故选C．　6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交 ⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（　　）第13页（共31页） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：由勾股定理，得 OB= =13， CB=OB﹣OC=13﹣5=8，故选：D．　二、填空题（每小题3分，共24分） 7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为　8.4×107　．【解答】解：84 000 000=8.4×107，故答案为：8.4×107．　8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克　 0.8x　元（用含x的代数式表示）．【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．故答案是：0.8x．　9．（3分）分解因式：a2+4a+4=　（a+2）2　．【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2．故答案为：（a+2）2．　10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的第14页（共31页）根据是　同位角相等，两直线平行　．【解答】解：如图所示：根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角； ∵∠1=∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；故答案为：同位角相等，两直线平行．　11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB’C’D’．若点B的对应点B’落在边CD上，则B’C的长为　1　．【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以B′D= ==4，第15页（共31页）所以B′C=5﹣B′D=1．故答案是：1．　12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面 O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　9　m．【解答】解： ∵OD=4m，BD=14m， ∴OB=OD+BD=18m，由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴=，即 =，解得AB=9，即旗杆AB的高为9m．故答案为：9．　13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为　 π+1　（结果保留π）．第16页（共31页）【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1， ∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°， ∴==•πAB= π， ∴C阴影 =++BC= π+1．故答案为： π+1．　14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b 与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2 与它的交换函数图象的交点横坐标为　1　．【解答】解：由题意可得，，解得，，故答案为：1．　三、解答题（每小题5分，共20分） 15．（5分）某学生化简分式 +出现了错误，解答过程如下：原式= +（第一步） ==（第二步）．（第三步）（1）该学生解答过程是从第　一　步开始出错的，其错误原因是　第17页（共31页）分式的基本性质　；（2）请写出此题正确的解答过程．【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；（2）原式= +==故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；　16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．【解答】解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意得：，解得：．答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．　17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．【解答】解：画树状图得：第18页（共31页） ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为．　18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A= ∠D．【解答】证明：∵BE=FC， ∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠A=∠D．　四、解答题（每小题7分，共28分） 19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：月份销售额人员甲第1月第2月第3月第4月第5月 7.2 5.8 49.6 9.7 6.2 9.6 9.8 8.5 7.8 5.8 9.9 9.3 9.9 9.9 乙丙第19页（共31页）（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：统计值数值人员甲平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）　8.7　 8.2 9.3 9.6 　9.7　 8.5 5.8 乙7.7 　9.9　丙（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．【解答】解：（1） = （7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；中位数为9.7万元．丙中出现次数最多的数为9.9万元．故答案为：8.7，9.7，9.9；（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．　20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上第20页（共31页）；（所画图形不全等）（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；（2）如图③所示，▱ABFE即为所求．　21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O， A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．在Rt△AOC中， ∵tan34°= ，∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，在Rt△BOC中，∠BCO=45°， ∴OB=OC=5km， ∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，第21页（共31页）答：A，B两点间的距离约为1.7km．　22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y= （x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD= OC，且△ACD的面积是6，连接BC．（1）求m，k，n的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴， ∴OC=2，AC⊥y轴， ∵OD= OC， ∴OD=1， ∴CD=3， ∵△ACD的面积为6， ∴ CD•AC=6， ∴AC=4，即m=4，则点A的坐标为（4，2），将其代入y= 可得k=8， ∵点B（2，n）在y= 的图象上， ∴n=4；第22页（共31页）（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2， ∴S△ABC= AC•BE= ×4×2=4，即△ABC的面积为4．　五、解答题（每小题8分，共16分） 23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BC D沿射线BD方向平移到△B’C’D’的位置，使B’为BD中点，连接AB’，C’D，AD’ ，BC’，如图②．（1）求证：四边形AB’C’D是菱形；（2）四边形ABC’D′的周长为　4 　；（3）将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°， ∴∠ADB=60°，由平移可得，B’C’=BC=AD，∠D’B’C’=∠DBC=∠ADB=60°，第23页（共31页） ∴AD∥B’C’ ∴四边形AB’C’D是平行四边形， ∵B’为BD中点， ∴Rt△ABD中，AB’= BD=DB’，又∵∠ADB=60°， ∴△ADB’是等边三角形， ∴AD=AB’， ∴四边形AB’C’D是菱形；（2）由平移可得，AB=C’D’，∠ABD’=∠C’D’B=30°， ∴AB∥C’D’， ∴四边形ABC’D’是平行四边形，由（1）可得，AC’⊥B’D， ∴四边形ABC’D’是菱形， ∵AB= AD= ∴四边形ABC’D′的周长为4 故答案为：4 ，，；（3）将四边形ABC’D’沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：第24页（共31页） ∴矩形周长为6+ 或2 +3．　24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．（1）正方体的棱长为　10　cm；（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，故正方体的棱长为10cm；故答案为：10；（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b， ∵图象过A（12，10），B（28，20）， ∴，第25页（共31页）解得：，∴线段AB对应的解析式为：y= x+ （12≤x≤28）；（3）∵28﹣12=16（s）， ∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒， ∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒， ∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．　六、解答题（每小题10分，共20分） 25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC 重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为　x　 cm（用含x的代数式表示）；（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，第26页（共31页） ∴∠AQP=45°， ∴PQ=AP=2x， ∵D为PQ中点， ∴DQ=x，故答案为：x；（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x， ∵D为PQ中点， ∴DQ=x， ∴GP=x， ∴2x+x+2x=4， ∴x= ；（3）如图②，当0＜x≤ 时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2， ∴y=x2；如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH= AB=2， ∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x， ∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4， ∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣ FM2， ∴y=x2﹣ （5x﹣4）2=﹣ x2+20x﹣8， ∴y=﹣ x2+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x， ∴DQ=2﹣x， ∴y=S△DEQ= DQ2， ∴y= （2﹣x）2， ∴y= x2﹣2x+2；第27页（共31页）（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，即2x=2， ∴x=1，当Q为BC的中点时，BQ= ，PB=1， ∴AP=3， ∴2x=3， ∴x= ， ∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．　26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：第28页（共31页）【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x 增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△P DE的面积不小于1时m的取值范围．【解答】解：【问题】 ∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣ 经过原点O， ∴0=a（0﹣2）2﹣ ， a= ，故答案为：；【操作】：如图①，抛物线：y= （x﹣2）2﹣ ，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），如图②，沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣ （x﹣2）2+ 第29页（共31页）图象G对应的函数解析式为：y= ；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣ =1，解得：x1=2+ ，x2=2﹣ ，∴C（2﹣ ，1），F（2+ ，1），当y=1时，﹣ （x﹣2）2+ =1，解得：x1=3，x2=1， ∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+ 时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1）， ∴DE=3﹣1=2， ∵S△PDE= DE•h≥1， ∴h≥1； ①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m， ∴h= （m﹣2）2﹣ ﹣1≥1，（m﹣2）2≥10， ]， m﹣2≥ m≥2+ 或m﹣2≤﹣ 或m≤2﹣ ，，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，第30页（共31页） ∵H（2，）， ∴HM= ﹣1= ＜1， ∴点P不可能在DE的上方； ③∵MN=1，且O（0，0），A（4，0）， ∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上， ∴P与O或A重合时，符合条件， ∴m=0或m=4；综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣ 或m≥2+ ．　第31页（共31页）