2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含解析版）下载

内蒙古赤峰2017年中考真题精品解析 数学 选择题 题给 选项 题请题中只有一个符合 意， 将符合 意的 选项 题 对应 序号，在答 卡的位置上 一、 （每小 出的 题 计 按要求涂黑．每小 3分，共 36分） 1．|（﹣3）﹣5|等于（　　） A．﹣8 B．﹣2 C．2 轴对 D．8 图2．下列 形中既是 图对图称 形的是（　　） 称形又是中心 A． B． C． D． 风3． 景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域 总积为 记 90021平方公里．90021用科学 数法表 面为示（　　） A．9.0021×105 4．下列运算正确的是（　　） A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102 线顶线则5．直 a∥b，Rt△ABC的直角 点C在直 a上，若∠1=35°， ∠2等于（　　） A．65° B．50° C．55° D．60° 6．能使式子 成立的x的取 A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2 7．小明向如 所示的正方形ABCD区域内投 值围+范是（　　） 图掷飞镖 为，点E是以AB 直径的半 圆对 线 角 AC的交点．如果小明 与掷飞镖 则飞镖 为落在阴影部分的概率 （　　） 投一次， A． B． C． D． 视图为 8．下面几何体的主 （　　） A． B． C． D． 图则象上的两点， y1、y2的大小关系是（　　） 9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y= A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 边长为 D．不能确定 图10．如 ，将 纸4的菱形ABCD 片折叠，使点A恰好落在 对线处的交点O ，若折痕EF=2 则，∠A=（　　 角）A．120° B．100° C．60° D．30° 图 轴 11．将一次函数y=2x﹣3的 象沿y 向上平移8个 单长 线为 度，所得直 的解析式 （　　） 位A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8 满 则 12．正整数x、y 足（2x﹣5）（2y﹣5）=25， x+y等于（　　） A．18或10 B．18 C．10 D．26 题请 题应 线题 把答案填写在答 卡相 的横 上，每小 3分，共12分） 二、填空 （13．分解因式：xy2+8xy+16x=　 　． 2实 则 14．如果关于x的方程x ﹣4x+2m=0有两个不相等的 数根， m的取 值围范 是　 　． 15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　 　． 后得到点P’（﹣y+1，x+2），我 把点P’（﹣y+1， 标16．在平面直角坐 系中，点P（x，y） 经过 变换 们某种 终结 终结 为点 P2，点P2的 终结 为点 P3，点P3的 终结 为点 P4， 这样 依x+2）叫做点P（x，y）的 点．已知点P1的 标为 则（2，0）， 点P2017的坐 标为 次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐 　　． 　题题试时说三、解答 （在答 卡上解答，答在本 卷上无效，解答 要写出必要的文字 明、 证过骤程或演算步 明题满分102分） ，共10 ，，其中a=2017°+（﹣ ）﹣1+ tan30°． 简 值 17．先化 ，再求 ：（ ﹣）÷ 边18．已知平行四 形ABCD． 规图线线长线 规图 图 ，保留作 痕迹， （1）尺 不写作法）； （2）在（1）的条件下，求 ：CE=CF． 作：作∠BAD的平分 交直 BC于点E，交DC延 于点F（要求：尺 作证为强质为19． 了增 中学生的体 ，某校食堂每天都 学生提供一定数量的水果，学校李老 师为 欢了了解学生喜 进吃哪种水果， 行了抽 样调查 调查 ，为类欢五种 型：A喜 吃苹果的学生；B喜 吃桔子的学生；C．喜 欢欢分欢 欢 吃梨的学生；D．喜 吃香蕉的学生；E喜 吃西瓜的学生，并将 调查结 绘 图图 制成 1和 2 果统计图 请图 问题 （不完整）． 根据 中提供的数据解答下列 的：查（1）求此次抽 的学生人数； 图 补图 （2）将 2 充完整，并求 1中的x； 现类（3） 有5名学生，其中A 型3名，B 型2名，从中任 2名学生参加体能 类选测试 这 为 ，求 两名学生 同一 类树图法） 型的概率（用列表法或 状带图20．王浩同学用木板制作一个 有卡槽的三角形手机架，如 1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50° 长 为 ，王浩的手机 度 17cm， 宽为 请说 8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？ 明你的理由．（提示：sin 50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2） 图21．如 ，一次函数y=﹣ x+1的 象与x 、y 图轴轴别线交于点A、B，以 段AB 为边 边 在第一象限作等 △ABC 分．图 该 （1）若点C在反比例函数y= 的 象上，求 反比例函数的解析式； 过轴线为时（2）点P（2 ，m）在第一象限， 点P作x 的垂 ，垂足 D，当△PAD与△OAB相似 ，P点是否在（1） 图标请中反比例函数 象上？如果在，求出P点坐 ；如果不在， 加以 明． 说为实22． 了尽快 施“脱 致富奔小康”宏 贫伟图县贫队为 购买 树树意，某 扶工作 朝阳沟村 购买 树费 别 苗的 用分 是3500元和250 了一批苹果 苗和梨 树苗，已知一棵苹果 苗比一棵梨 苗 2元， 树贵购买 树 费 苹果 苗的 用和 梨0元． 树购买 样树单（1）若两种 苗的棵数一 多，求梨 苗的 价； 购买 购买 总费过 树单 用不超 6000元，根据（1）中两种 苗的 价， 树（2）若两种 苗共 树1100棵，且 多少棵． 两种 苗的 树求梨 苗至少 购买 图线为23．如 ，点A是直 AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足 D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B= 60°． 证（1）求 ：AM是⊙O的切 图线；积结（ 果保留π和根号）． （2）若DC=2，求 中阴影部分的面 图设对边 别为过 为 分 a，b，c， 点A作AD⊥BC，垂足 D，会有sin∠C= 24．如 1，在△ABC中， ∠A、∠B、∠C的 则，S△ABC= BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C， 即S△ABC= absin∠C 同理S△ABC= bcsin∠A S△ABC= acsin∠B 过还 边 推理 可以得到另一个表达三角形 角关系的定理﹣余弦定理： 通图如 2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的 a2=b2+c2﹣2bccos∠A 对边 别为 分则a，b，c， b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 积用上面的三角形面 公式和余弦定理解决 问题 ：是3和8．求S△DEF和DE2． 别分图（1）如 3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的 对边 解：S△DEF= EF×DFsin∠F=　； DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　 　． （2）如 4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC’、△BCA’、△ACB’分 是以AB、BC、AC 别为 证 S1、S2、S3、S4，求 ：S1+S2=S3+S4． 图别为边长 的等 边设积三角形， △ABC、△ABC’、△BCA’、△ACB’的面 分别为边别25．△OPA和△OQB分 是以OP、OQ 直角 的等腰直角三角形，点C、D、E分 是OA、OB、AB的中点． 时图连（1）当∠AOB=90° 如 1， 接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系； 绕（2）将△OQB 点O逆 请时针 时图 结论 如 2，（1）中的 转方向旋 ，当∠AOB是 锐请给 证出角是否成立？若成立， 说明；若不成立， 加以 明． 绕转为钝 时长，延 PC、QD交于点G，使△ABG 为边 图 三角形如 3，求∠AOB （3）仍将△OQB 点O旋 ，当∠AOB 角等的度数． 2图图轴轴标为 顶（3，0）， 26．如 ，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的 象交x 于A、B两点，交y 于点D，点B的坐 标为 点C的坐 （1，4）． 线（1）求二次函数的解析式和直 BD的解析式； 线动过轴线线时（2）点P是直 BD上的一个 点， 点P作x 的垂 ，交抛物 于点M，当点P在第一象限 ，求 段PM 线长值度的最大 （3）在抛物 上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD 上的高 2 ？若存在求出点Q的坐 ；若不存 请说 ；线边为标在明理由． 2017年中考真题精品解析 数学（内蒙古赤峰卷）精编word版 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上 按要求涂黑．每小题3分，共计36分） 1． | (3) 5|等于（ ）A．-8 B．-2 C．2 D．8 【答案】D. 【解析】 试题 绝对值 题可以解答本 ． 分析：根据分式的减法和 |（﹣3）﹣5|=|﹣3﹣5|=|﹣8|=8， 选故 D． 考点：有理数的减法；绝对值. 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】 试题 轴对 图对图称 形的概念求解． 分析：根据 称形与中心 轴对 图对对对对图图图图题形，不合 意； A、是 B、不是 称形，不是中心 称称称称轴对 图题形，不合 意； 称图图形，是中心 轴对 题形，符合 意； C、是 D、是 称形，也是中心 形，不是中心 轴对 题形，不合 意． 称选故 C． 考点：中心对称图形；轴对称图形. 3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为 （）A．9.0021105 B．9.0021104 C．90.021103 D．900.21102 【答案】B. 【解析】 考点：科学记数法—表示较大的数. 4．下列运算正确的是（ ）A．3x  2y  5(x  y) C． x2 gx3  x6 B． x  x3  x4 D． (x2 )3  x6 【答案】D. 【解析】 试题 类项 幂幂计、同底数 的乘法、 的乘方的 算法 则计 对选项 各 分析判断后利用排除 分析：根据合并同 算， 法求解． A、不是同 B、不是同 类项 错误 错误 不能合并，故A 不能合并，故B ；；类项 235错误 C、x •x =x ，故C ；D、（x2）3=x6，故D正确． 选故 D． 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法. 5．直线 a / /b ，RtABC 的直角顶点 C在直线 a上，若 1 35o ，则 2 等于（ ）A． 65o B．50o C． 55o D． 60o 【答案】C. 【解析】 试题 为线质分析：先根据直角 90°，即可得到∠3的度数，再根据平行 的性 ，即可得出∠2的度数． 顶线∵Rt△ABC的直角 点C在直 a上，∠1=35°，∴∠3=90°﹣35°=55°， 选又∵a∥b，∴∠2=∠3=55°，故 C．学科网 线 质 考点：平行 的性 . 6．能使式子 2  x  x 1 成立的 x的取值范围是（ ）A． x 1 【答案】C. B． x  2 C． 1 x  2 D． x  2 考点：函数自变量的取值范围. 7．小明向如图所示的正方形 ABCD 区域内投掷飞镖，点 如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ E是以 AB 为直径的半圆与对角线 AC 的交点． ）12141318A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】 试题 质结 转积化思想得出阴影部分面 =S△CEB 进， 而得出答案． 分析：直接利用正方形的性 合图连所示： 接BE，可得，AE=BE，∠AEB=90°， 如11积且阴影部分面 =S△CEB= S△BEC= S正方形ABCD ，2414掷飞镖 则飞镖 为落在阴影部分的概率 ： 故小明投 一次， ．选故 B． 考点：几何概率. 8．下面几何体的主视图为（ ）A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】 试题 图分析：根据从正面看得到的 形是主 视图 ，可得答案． 选，故 C． 从正面看 考点：简单组合体的三视图. 99．点 A(1, y)、B(3, y2 )是反比例函数 y  图象上的两点，则 y1、y2 的大小关系是（ ）xA． y1  y2 B． y1  y2 C． y1  y2 D．不能确定 【答案】A. 【解析】 试题 图 进 分析：根据反比例函数 象的增减性 行填空． 9y  ∵反比例函数 中的9＞0， x经过 ∴第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， 又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3， ∴y1＞y2， 选故 A． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征. 10．如图，将边长为4的菱形 ABCD 纸片折叠，使点 A恰好落在对角线的交点 O处，若折痕 EF  2 3 ，则A  （）A．120o B．100o C． 60o D．30o 【答案】A. 【解析】 试题 连质为分析： 接AC，根据菱形的性 得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF 线线长进长而可得到BO的 ，由勾股定理可求出AO的 长则，∠A △ABD的中位 ，根据三角形中位 定理求出BD的 继，质BO可求出， 而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性 可得∠A=2∠BAO． 连接AC， 边∵四 形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO， 别为 ∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴E、F分 AB、AD的中点， 为线∴EF △ABD的中位 ，∴EF=BD，∴BD=2EF=4 ，31AB2  BO2 ∴BO=2 ，∴AO= =2，∴AO= AB， 32∴∠ABO=30°，∴∠BAO=60°，∴∠BAD=120°． 选故 A． 变换 问题 质）；菱形的性 ；勾股定理. 考点：翻折 （折叠 11．将一次函数 y  2x 3的图象沿 y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ）A． y  2x 5 B． y  2x  5 C． y  2x 8 D． y  2x 8 【答案】B. 【解析】 试题 图分析：根据函数 象上加下减，可得答案． 题选意，得y=2x﹣3+8，即y=2x+5，故 B． 由考点：一次函数图象与几何变换. 12．正整数 x、y 满足 (2x 5)(2y 5)  25，则 x  y 等于（ ）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A. 考点：二元一次方程. 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分） 13．分解因式： xy2 8xy 16x  ．【答案】x（y+4）2. 【解析】 试题 项应对分析：此多 式有公因式， 先提取公因式，再 余下的多 项进观 项 察，有3 ，可采用完全平方 式行继续 公式 分解． xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2． 2为故答案 ：x（y+4） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用. 14．如果关于 x的方程 x2  4x  2m  0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．【答案】m＜2. 【解析】 试题 结别值围范 ． 分析：根据方程的系数 合根的判 式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取 2实∵关于x的方程x ﹣4x+2m=0有两个不相等的 数根， ∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2． 故答案为：m＜2． 考点：根的判别式. 15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是 【答案】16. ．考点：众数；算术平均数；中位数. 16．在平面直角坐标系中，点 P(x, y) 经过某种变换后得到点 P (y 1, x  2)，我们把点 P (y 1, x  2)叫做点 P(x, y) 的终结点．已知点 P 的终结点为 P ，点 P 的终结点为 P ，点 P 的终结点 11223为 P ，这样依次得到 P、P、P、P、L P、L ，若点 P 的坐标为 (2,0) ，则点P2017的坐标为 ．41234n1【答案】（2，0）. 【解析】 试题 值发现 规题．分析：求得点P2、P3、P4、P5的 ，即可 其中 律，即可解 ∵P1 （2，0）， P2（1，4），P3（﹣3，3），P4（﹣2，﹣1），P5（2，0）， 标为 则环，∴Pn的坐 （2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循 标∵2017=2016+1=4×504+1，∴P2017 为坐与P1点重合， 故答案 （2，0）． 考点：规律型：点的坐标. 三、解答题 （在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题， 满分102分） a  6 3a117．先化简，再求值： ( 【答案】-2. )  其中 a  20172  ( )3  27 tan30o a2  4 a  2 a  2 5考点：分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值. 18． 已知平行四边形 ABCD ．（1）尺规作图：作 BAD 的平分线交直线 BC 于点 图痕迹，不写作法）； E ，交 DC 延长线于点 F （要求：尺规作图，保留作 （2）在（1）的条件下，求证：CE  CF 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 ．试题 线线长线 分析：（1）作∠BAD的平分 交直 BC于点E，交DC延 于点F即可； （2）先根据平行四 形的性 得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可 结论 边质得出∠2=∠4，据此可得出 试题 ．图 为 解析：（1）如 所示，AF即 所求； 边边（2）∵四 形ABCD是平行四 形， ∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠4，∴CE=CF． 图图边考点：作 —基本作 ；平行四 形的性 . 质19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢 吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢 吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题： （1）求此次抽查的学生人数； （2）将图2补充完整，并求图1中的 x ； （3）现有5名学生，其中A类型2名，B类型2名，从中任选2名学生参加很体能测试，求这两名学生为同一 类型的概率（用列表法或树状图法） 2【答案】（1）40；（2）图形见解析，20%；（3） . 5【解析】 所占人数 试题 计算即可； 分析：（1）根据百分比= 总人数 图（2）求出B、C的人数画出条形 即可； 树图，即可解决 问题 （3）利用 试题 状；查为解析：（1）此次抽 的学生人数 16÷40%=40人． （2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人， 图图所示， 条形 如825树图为 类 可知：两名学生 同一 型的概率 为（3）由 状．20 树图统计图 统计图 .考点：列表法与 状法；扇形 ；条形 20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如下面左图所示．已知 AC  20cm ，BC 18cm ，ACB  50o ，王浩的手机长度为17cm ，宽为8cm ，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50o  0.8,cos50o  0.6, tan50o 1.2 ）【答案】王浩同学能将手机放入卡槽AB内，理由见解析. 【解析】 试题 题分析：根据 意作出合适的 辅线长进 长 而可以求得DB的 ，然后根据勾股定理 助，可以求得AD和CD的 ，长 较 即可得到AB的 ，然后与17比 大小，即可解答本 题．试题 解析：王浩同学能将手机放入卡槽AB内． 理由：作AD⊥BC于点D， ∵∠C=50°，AC=20cm，∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm， 2222∵BC=18cm，∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，∴AB= ，AD  BD  16  6  292 ∵17= ，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内． 289  292 应考点：解直角三角形的 用；勾股定理. 321．如图，一次函数 y   x 1的图象与 x轴、 y轴分别交于点 A、E ，以线段 AB 为边在第一象限作 3等边 ABC ．k（1）若点 C在反比例函数 y  的图象上，求该反比例函数的解析式； x（2）点 P(2 3,m) 在第一象限，过点 P作x轴的垂线，垂足为 D，当 PAD 与DAB 相切时， P 点是 否在（1）中反比例函数图象上，如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明． 2 3 【答案】（1） y  ；（2）存在，（2 ，1）. 3x【解析】 试题 线标义分析：（1）由直 解析式可求得A、B坐 ，在Rt△AOB中，利用三角函数定 可求得∠BAO=30°，且可 长则标求得AB的 ，从而可求得CA⊥OA， 可求得C点坐 ，利用待定系数法可求得反比例函数解析式； 别质值标，（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分 利用相似三角形的性 可求得m的 ，可求得P点坐 进验证 代入反比例函数解析式 行即可． （2）∵P（2 ，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = 3，PD=m， 333PD AD m33时则则时 标为 ，解得m=1，此 P点坐 （2 当△ADP∽△AOB 当△PDA∽△AOB ，，有有，即 ，即 ，1）； 3OB OA 1PD AD m3时时，解得m=3，此 P点坐 标为 （2 ，3）； 3OA OB 132 3 2 3 2 3 图，3）不在反比例函数 象上， 33  把P（2 把P（2 ，3）代入 y  可得 ，∴P（2 3×2 3 图，1）在反比例函数 象上； 31 ，1）代入反比例函数解析式得 ，∴P（2 32 3 综标为 （2 上可知P点坐 ，1）． 3考点：反比例函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论. 22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗 ，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500 元．学+科网 （1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价； （2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价， 求梨树苗至少购买多少棵． 【答案】（1）5元；（2）850棵. 【解析】 试题 设树单为则树单为树购买 树 样 的棵 一 分析：（1） 多列出方程求出其解即可； 设购买 梨苗的 价 x元， 苹果 苗的 价（x+2）元，根据两种 苗树树树则购买 购买 树两种 苗的 总费 过 （2） 梨苗种 苗a棵，苹果 苗棵，根据 用不超 6000元建立不等式 求出其解即可． 考点：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用. 23．如图，点 是直线 AM e O 的交点，点 e O 上， BD  AM 垂足为 A与B在D，BD 与e O 交于点 C，OC 平分 AOB,B  60o ．（1）求证： AM 是e O 的切线； （2）若 DC  2 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 8 和根号）． 【答案】（1）见解析；（2） 6 3 .3【解析】 试题 边边质分析：（1）由已知条件得到△BOC是等 三角形，根据等 三角形的性 得到∠1=∠2=60°，由角平分 线质线质结论 的性 得到∠1=∠3，根据平行 的性 得到∠OAM=90°，于是得到 ；边质（2）根据等 三角形的性 得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD= 结论 2，于是得到 ．3试题 边解析：（1）∵∠B=60°，∴△BOC是等 三角形，∴∠1=∠2=60°， ∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OA∥BD， 线∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，∴AM是⊙O的切 边；（2）∵∠3=60°，OA=OC，∴△AOC是等 三角形， ∴∠OAC=60°，∵∠OAM=90°，∴∠CAD=30°， ∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=2 ，3160 16 8 3 6 3 ∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC =（4+2）×2 ﹣．32360 边质线质考点：等 三角形的性 ；切 的判定与性 ；扇形面 积计的 算. 24．如图，在 ABC 中，设 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ，过点 A作AD  BC ，垂足为 D ，会 AD 有sin C  ，则 AC 1111SABC  BC  AD  BC  AC sin C  absin C ，即 SABC  absin C 222211同理 SABC  bcsin A， SABC  acsin B 22通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理： 在ABC 中，若 A、B、C 的对边分别为 a,b,c ，则 a2  b2  c2  2bccosA b2  a2  c2  2accosB c2  a2  b2  2abcosC 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图，在 DEF 中， F  60o ，D、E 的对边分别是3和8． 求SDEF 和 DE2 ．1解： SDEF = EF  DF sin F  _______________； 2DE2  EF2  DF2  2EF  DF cosF  ______________． （2）在 ABC 中，已知 AC  BC,C  60o ， ABC 、BCA、ACB 分别是以 AB、BC、AC 为边 长的等边三角形，设 ABC、ABC 、BCA、ACB 的面积分别为 S1、S2、S3、S4 ，求证： S1+S2 =S3 +S4 ． 见，49；（2） 解析. 【答案】（1）6 3【解析】 证（2） 明：方法1，∵∠ACB=60°， ∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC， 11111222边时乘以 sin60°得， AB sin60°=AC sin60°+BC sin60°﹣ AC•BCsin60°， 两同22222边∵△ABC’，△BCA’，△ACB’是等 三角形， 1111∴S1= AC•BCsin60°，S2= AB2sin60°，S3= BC2sin60°，S4= AC2sin60°， 2222∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4， 对边 别为 分方法2、令∠A，∠B，∠C的 a，b，c， 113∴S1= absin∠C= absin60°=ab 224边∵△ABC’，△BCA’，△ACB’是等 三角形， 111333∴S2= c•c•sin60°=c2，S3= a•a•sin60°=a2，S4= b•b•sin60°=b2， 22244433∴S1+S2= （ab+c2），S3+S4= （a2+b2）， 44∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°， ∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4． 考点：等边三角形的性质，解直角三角形. 25． OPA 和OQB 分别是以OP、OQ 为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E 分别是 OA、OB、AB 的中点． （1）当 AOB  90o 时如图1，连接 PE、QE ，直接写出 EP 与 EQ 的大小关系； （2）将 OQB 绕点 O 逆时针方向旋转，当 AOB 是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立?若成立，请 给出证明；若不成立，请加以说明． （3）仍将 OQB 绕点 O 旋转，当 AOB 为钝角时，延长 PC、QD 交于点G ，使 ABG 为等边三角形 如图3，求 AOB 的度数． 【答案】（1）EP=EQ；（2）成立，证明见解析；（3）150°. 【解析】 试题 线边分析：1）先判断出点P，O，Q在同一条直 上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜 的中 线边等于斜 的一半即可得出 结论 ；进（2）先判断出CE=DQ，PC=DE， 而判断出△EPC≌△QED即可得出 结论 ；别（3）先判断出CQ，GP分 是OB，OA的垂直平分 线进结论 而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出 ． ，试题 图 长 解析：（1）如 1，延 PE，QB交于点F， ∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°， 线∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直 上， ∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE， ∵点E是AB中点，∴AE=BE， ∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF， 边∴点E是Rt△PQF的斜 PF的中点，∴EP=EQ； 图连别（3）如 2， 接GO，∵点D，C分 是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形， 别线∴CQ，GP分 是OB，OA的垂直平分 ，∴GB=GO=GA， ∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO， 设∠GOB=x，∠GOA=y， ∴x+x+y+y+60°=360°，∴x+y=150°，∴∠AOB=150°． 变换综 题质线 线 质质 段垂直平分 的判定与性 ，全等三角形的判定与性 . 考点：几何 合，直角三角形的性 ，26．如图，二次函数 y  ax2  bx  c(a  0)的图象交 x轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D ，点 B 的坐标为 (3,0)，顶点 C 的坐标为 (1,4) ． （1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P是直线 BD 上的一个动点，过点 P作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，当点 P 在第一象限时，求 线段 PM 长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D的点 标；若不存在请说明理由． Q，使 BDQ 中 BD 边上的高为 2 2，若存在求出点Q 的坐 9【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=﹣x+3；（2） ；（3）存在，（﹣1，0）或（4，﹣5）. 4【解析】 试题 设 线 分析：（1）可 抛物 解析式 为顶 标 线 则标 点式，由B点坐 可求得抛物 的解析式， 可求得D点坐 ，利 线用待定系数法可求得直 BD解析式； 设标长质（2） 出P点坐 ，从而可表示出PM的 度，利用二次函数的性 可求得其最大 ； 值过轴过设标长证（3） Q作QG∥y ，交BD于点G， Q和QH⊥BD于H，可 出Q点坐 ，表示出QG的 度，由条件可 得△DHG 为则标等腰直角三角形， 可得到关于Q点坐 的方程，可求得Q点坐 ． 标图过轴轴（3）如 ， Q作QG∥y 交BD于点G，交x 于点E，作QH⊥BD于H， 2设则Q（x，﹣x +2x+3）， G（x，﹣x+3）， ∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|， ∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°， 边为时，即QH=HG=2 当△BDQ中BD 上的高 2 ，22∴QG= ×2 =4，∴|﹣x2+3x|=4， 222时实当﹣x +3x=4 ，△=9﹣16＜0，方程无 数根， 2时当﹣x +3x=﹣4，解得x=﹣1或x=4， ∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5）， 综满上可知存在 足条件的点Q，其坐 标为 （﹣1，0）或（4，﹣5）． 考点：待定系数法，二次函数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系.