2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷（含解析版）

2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）今年我国参加高考的考生人数约为940万，这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．94×105 B．94×106 C．9.4×106 D．0.94×107 2．（3分）在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　）A． B． C． D． 4．（3分）当k＞0时，反比例函数y= 和一次函数y=kx+2的图象大致是（　　）A． B． C． D． 5．（3分）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）第1页（共40页） A． B． C． D． 6．（3分）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　） A．250米 B．250 7．（3分）函数y= 米C．自变量x的取值范围是（　　） C．x D．x＞米D．500 米A．x≤ B．x≥ 8．（3分）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2c m就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　） A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2 9．（3分）化简 ﹣（a+1）的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC ，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 第2页（共40页）　二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 11．（3分）﹣ 的相反数的倒数是　　． 12．（3分）在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是　　． 13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C=　　． 14．（3分）计算：（）﹣3﹣4tan45°+|1﹣ |=　　． 15．（3分）将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是　　． 16．（3分）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M ，若OM=6cm，则AB的长为　　cm． 17．（3分）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是　　． 18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转第3页（共40页） 60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，则BD=　　（提示：可连接BE） 19．（3分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　　． 20．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，∠DAB=∠C DB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB= ，则AE=　　（提示：可过点A作BD的垂线）　三、解答题（共8小题，满分60分） 21．（5分）为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100 名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表： 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 成绩（分）人数 1233675815 911 12 864第4页（共40页）请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是　　分；（2）频率统计表中a=　　，b=　　；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？ 22．（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围； 22（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x1 +x2 =8，求m的值． 23．（6分）某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15 件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．第5页（共40页）（1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？ 24．（8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△AB C的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB． 25．（8分）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0 ，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：第6页（共40页）（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　　．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0． 26．（8分）周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y （km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．第7页（共40页）（1）小芳骑车的速度为　　km/h，H点坐标　　．（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？ 27．（9分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点 Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长． 28．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0），与y 第8页（共40页）轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．　第9页（共40页） 2016年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2016•绥化）今年我国参加高考的考生人数约为940万，这个数用科学记数法表示正确的是（　　） A．94×105 B．94×106 C．9.4×106 D．0.94×107 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【解答】解：940万，这个数用科学记数法表示正确的是9.4×106，故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　2．（3分）（2016•绥化）在图形：①线段；②等边三角形；③矩形；④菱形；⑤平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：①线段既是轴对称图形又是中心对称图形，第10页（共40页） ②等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形， ③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形， ④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形， ⑤平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形，所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是3个．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．　3．（3分）（2016•绥化）如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（　　） A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选：B．第11页（共40页）【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图．　4．（3分）（2016•绥化）当k＞0时，反比例函数y= 和一次函数y=kx+2的图象大致是（　　） A． B． C． D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有【分析】根据k＞0，判断出反比例函数y= 经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限，结合选项所给图象判断即可．【解答】解：∵k＞0， ∴反比例函数y= 经过一三象限，一次函数y=kx+2经过一二三象限．故选C．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数图象的知识，解答本题的关键在于通过k＞0判断出函数所经过的象限．　5．（3分）（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）第12页（共40页） A． B． C． D．【考点】剪纸问题．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C．【点评】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．　6．（3分）（2016•绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）第13页（共40页） A．250米 B．250 米C．米D．500 米【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB= AO，由此即可解决问题．【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500， ∵AB⊥OB， ∴∠ABO=90°， ∴AB= AO=250米．故选A．【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．　7．（3分）（2016•绥化）函数y= A．x≤ B．x≥ C．x 自变量x的取值范围是（　　） D．x＞【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．第14页（共40页）【解答】解：由二次根式的被开方数大于等于0可得2x﹣1≥0①，由分式有意义的性质可得2x﹣1≠0②，由①②可知x＞，故选D．【点评】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．　8．（3分）（2016•绥化）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1c m，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．菁优网版权所有【分析】根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的四条边都相等得出等式即可．【解答】解：∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm， ∴长方形的宽为（15﹣x）cm， ∵这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，第15页（共40页） ∴x﹣1=15﹣x+2，故选D．【点评】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是表示出长方形的宽．　9．（3分）（2016•绥化）化简 ﹣（a+1）的结果是（　　） D．﹣ A． B．﹣ C．【考点】分式的加减法．菁优网版权所有【分析】先根据通分法则把原式变形，再根据平方差公式、合并同类项法则计算即可．【解答】解：原式= ﹣=，故选：A．【点评】本题考查的是分式的加减法，掌握分式的加减法法则、平方差公式是解题的关键．　10．（3分）（2016•绥化）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE ∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有第16页（共40页）【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC 的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD=2， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形DECO为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形DECO为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B 【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．　二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分） 11．（3分）（2016•绥化）﹣ 的相反数的倒数是　2016　．【考点】倒数；相反数．菁优网版权所有【分析】先求出﹣ 【解答】解：﹣ 故答案为：2016．的相反数是的相反数是，再求得它的倒数为2016．，的倒数是2016．第17页（共40页）【点评】主要考查相反数，倒数的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．　12．（3分）（2016•绥化）在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是　．【考点】列表法与树状图法；概率公式．菁优网版权所有【分析】可以根据画树状图的方法，先画树状图，再求得两次摸到同一个小球的概率．【解答】解：画树状图如下： ∴P（两次摸到同一个小球）= 故答案为： =【点评】本题主要考查了概率，解决问题的关键是掌握树状图法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．　13．（3分）（2016•绥化）如图，AB∥CD∥EF，若∠A=30°，∠AFC=15°，则∠C=　 15°　．第18页（共40页）【考点】平行线的性质．菁优网版权所有【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠AFE=30°，由角的和差得到∠CFE=∠AFE ﹣∠AFC=15°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠A=∠AFE=30°， ∴∠CFE=∠AFE﹣∠AFC=15°， ∵CD∥EF， ∴∠C=∠CFE=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．熟记平行线的性质是解题的关键．　14．（3分）（2016•绥化）计算：（）﹣3﹣4tan45°+|1﹣ |=　3+2 　．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案．【解答】解：原式=8﹣4×1+ =4+2 ﹣1 ﹣1 =3+2 ．故答案为：3+2 ．【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键．　第19页（共40页） 15．（3分）（2016•绥化）将抛物线y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是　y=3（x﹣5）2﹣1　．【考点】二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：y=3（x﹣4）2+2向右平移1个单位所得抛物线解析式为：y=3（x﹣ 5）2+2；再向下平移3个单位为：y=3（x﹣5）2﹣1．故答案为：y=3（x﹣5）2﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．　16．（3分）（2016•绥化）如图，⊙O的直径CD=20cm，AB是⊙O的弦，AB⊥C D，垂足为M，若OM=6cm，则AB的长为　16　cm．【考点】垂径定理．菁优网版权所有【分析】连接OA，根据垂径定理求出AB=2AM，已知OA、OM，根据勾股定理求出AM即可．【解答】解：连接OA，第20页（共40页） ∵⊙O的直径CD=20cm， ∴OA=10cm，在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM= =8cm， ∴由垂径定理得：AB=2AM=16cm．故答案为：16．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．　17．（3分）（2016•绥化）如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是　π﹣1　．【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB= =2 ，∵BC是半圆的直径， ∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD= ，第21页（共40页） ∴D为半圆的中点， S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC= π×22﹣ ×（）2=π﹣1．故答案为π﹣1．【点评】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．　18．（3分）（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE，若AB=3，B C=4，则BD=　5　（提示：可连接BE）【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【专题】推理填空题．【分析】要求BD的长，根据旋转的性质，只要求出AE的长即可，由题意可得到三角形ABE的形状，从而可以求得AE的长，本题得以解决．【解答】解：连接BE，如右图所示， ∵△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°， ∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠CBE=60°，BE=BC=4， ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°， ∴AE= ，第22页（共40页）又∵AE=BD， ∴BD=5，故答案为：5．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．　19．（3分）（2016•绥化）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　 1.6×105或160000　．【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】规律型．【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．【解答】解：∵ ；；；… ∴∴；．故答案为：1.6×105或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．　第23页（共40页） 20．（3分）（2016•绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点 E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB= ，则AE=　2　（提示：可过点A作BD的垂线）【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．菁优网版权所有【专题】计算题；解直角三角形及其应用．【分析】过A作AF⊥BD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF 的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE 的长即可．【解答】解：过A作AF⊥BD，交BD于点F， ∵AD=AB，∠DAB=90°， ∴AF为BD边上的中线， ∴AF= BD， ∵AB=AD= ∴根据勾股定理得：BD= ∴AF= ，=2 ，，在Rt△AFE中，∠EAF=∠DCA=30°， ∴EF= AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4×2，解得：x=1，第24页（共40页）则AE=2．故答案为：2 【点评】此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．　三、解答题（共8小题，满分60分） 21．（5分）（2016•绥化）为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1 200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表： 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 成绩（分）人数 1233675815 911 12 864成绩分组频数频率 35≤x＜38 38≤x＜41 41≤x＜44 44≤x＜47 47≤x≤50 30.03 0.12 0.20 0.35 ba20 35 30 请根据所提供的信息解答下列问题：（1）样本的中位数是　44.5　分；第25页（共40页）（2）频率统计表中a=　12　，b=　0.30　；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．菁优网版权所有【专题】统计与概率．【分析】（1）根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数，本题得以解决；（2）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a、b的值，本题得以解决；（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．【解答】解：（1）∵随机抽取了100名学生的成绩，由表格可得，1+2+3+3+6+7+5+8+15=50，50+9+59， ∴中位数为： =44.5，故答案为：44.5；（2）由表格可得，a=100×0.12=12， b=30÷100=0.30，故答案为：12，0.30；第26页（共40页）（3）补全的频数分布直方图如右图所示，（4）由题意可得， 1200×（0.20+0.35+0.30）=1020（人），即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人．【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．　22．（6分）（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围； 22（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x1 +x2 =8，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结 22合完全平方公式可得出x1 +x2 = ﹣2×1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．第27页（共40页）【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜． ∴m的取值范围为m＜．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根， ∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m， 22∴x1 +x2 = ﹣2×1•x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0． ∴m的值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．　23．（6分）（2016•绥化）某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20 件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．（1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设A两种商品的进价是a元，B两种商品的进价是b元，根据题意列方程组即可得到结论第28页（共40页）（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，根据题意了不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设A商品的进价是a元，B商品的进价是b元，根据题意得：，解得：，答：A商品的进价是16元，B商品的进价是4元；（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（100﹣x）件，根据题意得：16x+4（100﹣x）≤900，解得：x≤41 ，∵x为整数， ∴x的最大整数解为41， ∴最多能购进A种商品41件【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．　24．（8分）（2016•绥化）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆第29页（共40页）与内心．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）先根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，再由圆周角定理得出∠C AD=∠CBD，故可得出∠BAD=∠CBD，进而可得出结论；（2）连接BE，根据点E是△ABC的内心得出∠ABE=∠CBE．由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD． ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD． ∵∠BDF=∠ADB， ∴△BFD∽△ABD；（2）证明：连接BE， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE=∠CBE．又∵∠CBD=∠BAD， ∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD． ∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，即∠DBE=∠BED， ∴DE=DB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，利用三角形内心的性质求解是解答此题的关键．　第30页（共40页） 25．（8分）（2016•绥化）自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0 ，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　①　和　③　．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　0＜x＜5　．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有【分析】（1）根据题意容易得出结论；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜ 0，即可得出结果；（3）设x2﹣2x﹣3=0，解方程得出抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标，画出二次函数y=x2﹣，2x﹣3的大致图象，由图象可知：当x＜﹣1，或x＞5时函数图第31页（共40页）象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5=2x﹣3＞0，即可得出结果．【解答】解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0， ∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．（3）设x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1， ∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0， ∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．【点评】本题考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x 轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握二次函数与不等式组的关系是解决问题的关键．　第32页（共40页） 26．（8分）（2016•绥化）周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．（1）小芳骑车的速度为　20　km/h，H点坐标　（，20）　．（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有【分析】（1）根据函数图中的数据，由小芳从家到甲地的路程和时间可以求出小芳骑车的速度；（2）先求出直线AB的解析式，再根据直线AB∥CD，求出直线CD的解析式，再求出直线EF的解析式，联立直线CD和直线EF的解析式，求出交点D的坐标即可；（3）将y=0，分别代入直线CD和直线EF的解析式，分别求出当y=0时候的横坐标，再求出两横坐标的差值即可．【解答】解：（1）由函数图可以得出，小芳家距离甲地的路程为10km，花费时间为0.5h，第33页（共40页）故小芳骑车的速度为：10÷0.5=20（km/h），由题意可得出，点H的纵坐标为20，横坐标为： + = ，故点H的坐标为（，20）；（2）设直线AB的解析式为：y1=k1x+b1，将点A（0，30），B（0.5，20）代入得：y1=﹣20x+30， ∵AB∥CD， ∴设直线CD的解析式为：y2=﹣20x+b2，将点C（1，20）代入得：b2=40，故y2=﹣20x+40，设直线EF的解析式为：y3=k3x+b3，将点E（，30），H（，20）代入得：k3=﹣60，b3=110， ∴y3=﹣60x+110，解方程组，得，∴点D坐标为（1.75，5）， 30﹣5=25（km），所以小芳出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km；（3）将y=0代入直线CD解析式有：﹣20x+40=0，解得x=2，将y=0代入直线EF的解析式有：﹣60x+110=0，解得x= ，2﹣ = （h）=10（分钟），故小芳比预计时间早10分钟到达乙地．第34页（共40页）【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解．　27．（9分）（2016•绥化）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C 不重合），点Q在CD边上，且BP=CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ 所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．（1）求证：AP⊥BQ；（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM的长．【考点】四边形综合题．菁优网版权所有【分析】（1）证明△ABP≌△BCQ，则∠BAP=∠CBQ，从而证明∠CBQ+∠APB=9 0°，进而得证；（2）设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．在直角△MBN中，利用勾股定理即可列方程求解；（3）设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN 第35页（共40页） =（y+m+n）﹣m=y+n，利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC． ∴在△ABP和△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ， ∴∠BAP=∠CBQ． ∵∠BAP+∠APB=90°， ∴∠CBQ+∠APB=90°， ∴∠BEP=90°， ∴AP⊥BQ；（2）解：∵正方形ABCD中，AB=3，BP=2CP， ∴BP=2，由（1）可得NQ=CQ=BP=2，NB=3．又∵∠NQB=∠CQB=∠ABQ， ∴MQ=MB．设MQ=MB=x，则MN=x﹣2．在直角△MBN中，MB2=BN2+MN2，即x2=32+（x﹣2）2，解得：x= ，即MQ= （3）∵BP=m，CP=n，；由（1）（2）得MQ=BM，CQ=QN=BP=m，设AM=y，BN=BC=m+n，在直角△BNM中，MB=y+m+n，MN=MQ﹣QN=（y+m+n）﹣m=y+n，（y+m+n）2=（m+n）2+（y+n）2，即y2+2（m+n）y+（m+n）2=（m+n）2+y2+2ny+n2，第36页（共40页）则y= ，AM= ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确利用m和n表示△BMN的边长是关键．　28．（10分）（2016•绥化）如图，抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B （5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO ，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径，进而得出答案；（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，第37页（共40页）交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△ PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣ 经过点A（1，0）和点B（5，0）， ∴把A、B两点坐标代入可得，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x﹣ ；（2）相交，理由：过A作AD⊥BC于点D，如图1， ∵⊙A与BC相切， ∴AD为⊙A的半径，由（1）可知C（0，﹣ ），且A（1，0），B（5，0）， ∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC= ，在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC= ==，∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO， ∴△ABD∽△CBO， ∴=，即 =，解得AD= ，即⊙A的半径为＞1， ∴⊙A与y轴相交；，∵第38页（共40页）（3）∵C（0，﹣ ）， ∴可设直线BC解析式为y=kx﹣ ，把B点坐标代入可求得k= ， ∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，﹣ x2+2x﹣ ），则Q（x， x﹣ ）， ∴PQ=（﹣ x2+2x﹣ ）﹣（ x﹣ ）=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣ ）2+ ，∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ= PQ•OE+ PQ•BE= PQ（OE+BE）= PQ•OB= PQ=﹣ （x﹣ ）2+ ∴当x= 时，S△PBC有最大值，，此时P点坐标为（，）， ∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标第39页（共40页）表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．　第40页（共40页）