2016年福建省三明市中考数学试卷（含解析版）

2016年福建省三明市中考数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） ﹣1． 2的倒数是（　　） 121A．﹣2 B．﹣ C． D．2 22．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．a3+a2=2a5 B．a3•a2=a6 C．a3÷a2=a D．（a3）2=a9 4．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（　　） A．某市明天将有75%的时间下雨 B．某市明天将有75%的地区下雨 C．某市明天一定下雨 D．某市明天下雨的可能性较大 6．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（　　） A．20° B．35° C．45° D．70° 7．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，7 6，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（　　）第1页（共29页） A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　） A．msin35° B．mcos35° C． D． 10．如图，P，Q分别是双曲线y= 在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有（　　） A．S1=S2≠S3 B．S1=S3≠S2 C．S2=S3≠S1 D．S1=S2=S3 　二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置） 2﹣11．因式分解：2x 18=　　． 12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　　（写出一个即可）． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　　．第2页（共29页） 14．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是　　． 15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个 ﹣﹣单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1， 1），P5（2， 1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是　　． 16．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是　　．　三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置） 22﹣﹣﹣17．先化简，再求值：（a b） +b（3a b） a ，其中a= ，b= ．﹣18．解方程： =1 ．第3页（共29页） 19．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了　　名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是　　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有　　名． 20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．第4页（共29页） 21．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB= ，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．（1）求直线l的表达式；（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值． 22．小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A 型服装的时间为x天，月收入为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的，那么他的月收入最高能达到多少元？第5页（共29页） 23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 22﹣﹣﹣﹣24．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（ 1， 2），抛物线F：y=x 2mx+m ﹣2与直线x= 2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2） ﹣，且x1＜x2≤ 2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．第6页（共29页） 25．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转， ①当∠EAC=90°时，求PB的长； ②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．　第7页（共29页） 2016年福建省三明市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题4分，满分40分.每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） ﹣1． 2的倒数是（　　） ﹣A． 2 B． ﹣C． D．2 菁优网版权所有【考点】倒数．【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答． ﹣【解答】解：∵ 2× =1． ﹣∴﹣，2的倒数是故选：B．【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．　2．如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（　　） A． B． C． D．菁优网版权所有【考点】由三视图判断几何体．【专题】推理填空题．【分析】解答此题首先要明确主视图是从物体正面看到的图形，然后根据几何体的主视图，判断出这个几何体可以是哪个图形即可．【解答】解：∵几何体的主视图由3个小正方形组成，下面两个，上面一个靠左， ∴这个几何体可以是．第8页（共29页）故选：A．【点评】此题主要考查了三视图的概念，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：主视图是从物体正面看到的图形．　3．下列计算正确的是（　　） A．a3+a2=2a5 B．a3•a2=a6 C．a3÷a2=a D．（a3）2=a9 菁优网版权所有【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则计算，判定即可．【解答】解：a3与a2不是同类项，不能合并，A错误； a3•a2=a5，B错误； a3÷a2=a，C正确；（a3）2=a6，D错误，故选：C．【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握相关的法则是解题的关键．　4．已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 菁优网版权所有【考点】多边形内角与外角．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．　5．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（　　） A．某市明天将有75%的时间下雨 B．某市明天将有75%的地区下雨 C．某市明天一定下雨第9页（共29页） D．某市明天下雨的可能性较大菁优网版权所有【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义进行解答即可．【解答】解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，故选：D．【点评】本题考查的是概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．　6．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（　　） A．20° B．35° C．45° D．70° 菁优网版权所有【考点】平行线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．【解答】解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC= AOB=35°， ∵CD∥OB， ∴∠BOC=∠C=35°，故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．　7．在一次数学测试中，某学习小组6名同学的成绩（单位：分）分别为65，82，86，82，7 6，95．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A．众数是82 B．中位数是82 C．极差是30 D．平均数是82 菁优网版权所有【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．第10页（共29页）【分析】根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解答】解：将数据从小到大排列为：65，76，82，82，86，95， A、众数是82，说法正确； B、中位数是82，说法正确； ﹣C、极差为95 65=30，说法正确； D、平均数= 故选：D． =81≠82，说法错误；【点评】本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的定义．　8．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（　　）A．2 【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD= AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用O B．3 C．4 D．5 菁优网版权所有 ﹣COD即可得到DC．【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD=BD= AB= ×8=4，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4， ∴OD= =3， ﹣﹣∴CD=OC OD=5 3=2．故选A．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．第11页（共29页）　9．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　） A．msin35° B．mcos35° C． D．菁优网版权所有【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．【解答】解：sin∠A= ，∵AB=m，∠A=35°， ∴BC=msin35°，故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．　10．如图，P，Q分别是双曲线y= 在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有（　　） A．S1=S2≠S3 B．S1=S3≠S2 C．S2=S3≠S1 D．S1=S2=S3 菁优网版权所有【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．【分析】根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S1，S2，S3的关系，本题得以解决．【解答】解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），第12页（共29页） ﹣﹣﹣∴DB=a，DQ=a c，DA= d，DP=b d， ﹣﹣﹣∵DB•DP=a•（b d）=ab ad=k ad， ﹣﹣﹣﹣﹣DA•DQ= d（a c）= ad+cd= ad+k=k ad， ∴DB•DP=DA•DQ，即，∵∠ADB=∠PDQ， ∴△DBA∽△DQP， ∴AB∥PQ， ∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离， ∴△PAB的面积等于△QAB的面积， ∵AB∥QC，AC∥BQ， ∴四边形ABQC是平行四边形， ∴AC=BQ， ∴△QAB的面积等于△QAC， ∴S1=S2=S3，故选D．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．　二、填空题（共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置） 2﹣﹣11．因式分解：2x 18=　2（x+3）（x 3）　．菁优网版权所有【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式2，再运用平方差公式因式分解． 22﹣﹣﹣【解答】解：2x 18=2（x 9）=2（x+3）（x 3），第13页（共29页） ﹣故答案为：2（x+3）（x 3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　12．若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　1　（写出一个即可）．菁优网版权所有【考点】根的判别式．【分析】直接利用根的判别式，得出△＞0，进而求出c的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根， ﹣∴△=16 4c＞0，解得：c＜4，故c的值可以是1．故答案为：1 【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．一元二次方程ax2+bx+ 2﹣c=0（a≠0）的根与△=b 4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．　13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=　4.5　．菁优网版权所有【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出 == ，求出DE的长即可．【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1 ，0），D点坐标为（3，0）， ∴AO=2，DO=5，第14页（共29页） ∴== ， ∵AB=1.5， ∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 == 是解题关键．　14．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是　．菁优网版权所有【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率= = ．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．　15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个 ﹣﹣单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1， 1），P5（2， 1），P6（2，0），…，则点P60的坐标是　（20，0）　．第15页（共29页）菁优网版权所有【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据图形分别求出n=3、6、9时对应的点的坐标，可知点P3n（n，0），将n=20代入可得．【解答】解：∵P3（1，0），P6（2，0），P9（3，0），…， ∴P3n（n，0）当n=20时，P60（20，0），故答案为：（20，0）．【点评】本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=3、6、9时对应的点的对应的坐标是解题的关键．　16．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是　6≤MN≤4 　．菁优网版权所有【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质．【分析】当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN（或CM）的长度，由此即可得出MN的取值范围．【解答】解：如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点， ∴PE= AC，PF= AB，EF= BC， ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，第16页（共29页） ∴CG=2 （BH=2 ）， CM=4 （BN=4 ）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4 ．故答案为：6≤MN≤4 ．【点评】本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．　三、解答题（共9题，满分86分．请将解答过程写在答题卡的相应位置） 22﹣﹣﹣17．先化简，再求值：（a b） +b（3a b） a ，其中a= ，b= ．菁优网版权所有【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值． 22﹣﹣﹣【解答】解：（a b） +b（3a b） a2222﹣﹣ ﹣ b a =a 2ab+b+3ab =ab，当a= ，b= 时，原式= ×=2 ．﹣【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　﹣18．解方程： =1 ．菁优网版权所有【考点】解分式方程．【专题】方程与不等式．【分析】根据解分式方程的方法先将分式方程转化为整式方程，然后解答即可，最好要验根． ﹣=1 【解答】解： ﹣方程两边同乘以x 2，得第17页（共29页） ﹣﹣ ﹣ 2 3 1x=x 解得，x=3， ﹣检验：当x=3时，x 2≠0，故原分式方程的解是x=3．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是明确分式方程的解法，注意最后要验根．　19．某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次调查一共抽取了　120　名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是　30%　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有　450　名．菁优网版权所有【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数1800乘以对应的比例即可．【解答】解：（1）调查的总人数是：18÷15%=120（人），安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：故答案是：120，30%； =30%．（2）安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），第18页（共29页）；（3）估计全校需要强化安全教育的学生约1800× 故答案是：450． =450（人），【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．　20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．菁优网版权所有【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点， ∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE， ∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点， ∴CB= AB，CE= AB． ∴CB=CE．第19页（共29页）又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形， ∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．　21．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB= ，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．（1）求直线l的表达式；（2）若反比例函数y= 的图象经过点P，求m的值．菁优网版权所有【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由条件可先求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线l的表达式；（2）先求得P点坐标，再代入反比例函数解析式可求得m的值．【解答】解：（1）∵A（2，0），∴OA=2． ∵tan∠OAB= =， ∴OB=1， ∴B（0，1），设直线l的表达式为y=kx+b，则，解得，﹣∴直线l的表达式为y= x+1；（2）∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧， ﹣∴点P的横坐标为 1，又∵点P在直线l上，第20页（共29页） ﹣﹣×（ 1）+1= ， ∴点P的纵坐标为： ﹣∴点P的坐标是（ 1，）， ∵反比例函数y= 的图象经过点P， ∴ = ，﹣∴m= 1× = ﹣．【点评】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数应用的关键是求得点的坐标，注意三角函数定义的应用．　22．小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A 型服装的时间为x天，月收入为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的，那么他的月收入最高能达到多少元？菁优网版权所有【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意列出关于x、y的关系式即可；（2）根据每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． ﹣﹣【解答】解：（1）由题意得，y=20×4x+12×8×（22 x）+900，即y= 16x+3012； ﹣（2）∵依题意，得4x≥ ×8×（22 x）， ∴x≥12． ﹣在y= 16x+3012中， ﹣∵16＜0， ∴y随c的增大而减小． ﹣∴当x=12时，y取最大值，此时y= 16×12+3012=2820．第21页（共29页）答：当小李每月加工A型服装12天时，月收入最高，可达2820元．【点评】本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．　23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．菁优网版权所有【考点】直线与圆的位置关系；线段垂直平分线的性质．【专题】计算题；与圆有关的位置关系．【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证； ﹣（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8 x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD， ∵OD=OA， ∴∠A=∠ODA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ODA+∠EDB=90°， ﹣∴∠ODE=180° 90°=90°， ∴直线DE与⊙O相切；第22页（共29页）（2）连接OE， ﹣设DE=x，则EB=ED=x，CE=8 x， ∵∠C=∠ODE=90°， ∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2， 2222﹣∴4 +（8 x） =2 +x ，解得：x=4.75，则DE=4.75．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．　22﹣﹣﹣﹣24．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（ 1， 2），抛物线F：y=x 2mx+m ﹣2与直线x= 2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2） ﹣，且x1＜x2≤ 2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有．第23页（共29页）【专题】函数及其图象． 22﹣﹣﹣﹣【分析】（1）根据抛物线F：y=x 2mx+m 2过点C（ 1， 2），可以求得抛物线F的表达式；（2）根据题意，可以求得yP的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y1与y2的大小；（3）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题 ﹣﹣【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（ 1， 2）， 22﹣∴﹣ ﹣﹣ ﹣ 2=（ 1） 2×m×（ 1）+m 2， ﹣解得，m= 1， 2﹣∴抛物线F的表达式是：y=x +2×1； 22﹣﹣﹣（2）当x= 2时，yp=4+4m+m 2=（m+2） 2， ﹣﹣∴当m= 2时，yp的最小值 2， 22﹣此时抛物线F的表达式是：y=x +4x+2=（x+2） 2， ﹣∴当x≤ 2时，y随x的增大而减小， ﹣∵x1＜x2≤ 2， ∴y1＞y2； ﹣（3）m的取值范围是 2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2）， ∴或，﹣解得， 2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．　25．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，第24页（共29页） ①当∠EAC=90°时，求PB的长； ②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．菁优网版权所有【考点】三角形综合题．【分析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可． ﹣（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB AE=1．由△PEB∽△AEC，得 =，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似． ②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小． b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．【解答】（1）证明：如图1中， ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． ﹣（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB AE=1．第25页（共29页） ∵∠EAC=90°， ∴CE= =，同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴∴==，，∴PB= b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE= 同（1）可证△ADB≌△AEC． =，第26页（共29页） ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴∴==，，∴PB= ，综上，PB= 或．②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小， ∵AE⊥EC， ∴EC= ==，由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1，，﹣∴PB=BD PD= ﹣1． b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．第27页（共29页）理由：此时∠BCE最，大，因此PB最大， ∵AE⊥EC， ∴EC= ==，由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC=90°，BD=CE= ∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD=AE=1，，∴PB=BD+PD= +1． ﹣综上所述，PB长的最小值是 1，最大值是 +1．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．　第28页（共29页）第29页（共29页）