2016年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷)（含解析版）

2016年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷) 一、选择题 1．（4分）（2016•兰州）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）（2016•兰州）反比例函数是y= 的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 3．（4分）（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC 与△DEF对应中线的比为（　　） A． B． C． D． 4．（4分）（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB=（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（4分）（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．（4分）（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 =，则 =（　　） A． B． C． D． 7．（4分）（2016•兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）1页（共34页） A．40° B．45° C．50° D．60° 8．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　） A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4 9．（4分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　） A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 10．（4分）（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 11．（4分）（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y= ﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1=y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1=y2＞y3 2页（共34页） 12．（4分）（2016•兰州）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 13．（4分）（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（4分）（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥ AC，AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 15．（4分）（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k2 比例函数y= ﹣k1=（　　） 3页（共34页） A．4 B． C． D．6 　二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 16．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是　　　　　　． 17．（4分）（2016•兰州）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　　　　　　个． 18．（4分）（2016•兰州）双曲线y= 的取值范围是　　　　　　．在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m 19．（4分）（2016•兰州）▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　　　　　　，使得▱ABCD为正方形． 20．（4分）（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2 ，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　　　　　　．　三、解答题（共8小题，满分70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 4页（共34页） 21．（10分）（2016•兰州）（1） +（（2）2y2+4y=y+2．）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0 22．（5分）（2016•兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 23．（6分）（2016•兰州）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，… ，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5 ，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率． 24．（7分）（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成 45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠ED B=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan53°≈1.33） 5页（共34页） 25．（10分）（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F ，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD． ①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论． 6页（共34页） 26．（10分）（2016•兰州）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A ，1）在反比例函数y= 的图象上．（（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由． 27．（10分）（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥A B于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC= ，求DE的长． 7页（共34页） 28．（12分）（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0， 4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ 沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．　8页（共34页） 2016年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷) 参考答案与试题解析一、选择题 1．（4分）（2016•兰州）如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（　　） A． B． C． D．【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，1，据此可得出图形，从而求解．【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是．故选：A．【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．　2．（4分）（2016•兰州）反比例函数是y= 的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数是y= 中，k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．故选B． 9页（共34页）【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．　3．（4分）（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC 与△DEF对应中线的比为（　　） A． B． C． D．【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为故选：A．，【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．　4．（4分）（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB=（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= = ，BC=6， ∴AB= 故选D ==10， 10页（共34页）【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．　5．（4分）（2016•兰州）一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．【解答】解：∵△=22﹣4×1×1=0， ∴一元二次方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根；故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．　6．（4分）（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 =，则 =（　　） A． B． C． D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC， ∴== ，故选C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．　11页（共34页） 7．（4分）（2016•兰州）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（　　）A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD=BD ，根据等腰三角形性质得出∠BOC= ∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=50°， ∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°， ∵点C是的中点，OC过O， ∴OA=OB， ∴∠BOC= ∠AOB=40°，故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．　8．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　） A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+3 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2+4 【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式． 12页（共34页）【解答】解：y=x2﹣2x+4配方，得 y=（x﹣1）2+3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的形式你，配方法是解题关键．　9．（4分）（2016•兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　　） A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0 C．（x﹣1）（x﹣2）=18 D．x2+3x+16=0 【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣1）（x﹣2）=18，故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．　10．（4分）（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　） A．45° B．50° C．60° D．75° 13页（共34页）【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC=∠AOC； ∵∠ADC= β，∠AOC=α；而α+β=180°， ∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．　11．（4分）（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y= ﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随 x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c， ∴对称轴为x=1， P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 14页（共34页）　12．（4分）（2016•兰州）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【解答】解：根据题意得：l= =3πcm，则重物上升了3πcm，故选C 【点评】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．　13．（4分）（2016•兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到为b=2a＜0，由抛物线与 y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b2﹣4ac ＞0，则可对②进行判断；利用b=2a可对③进行判断；利用x=﹣1时函数值为正数可对④ 进行判断． 15页（共34页）【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =﹣1， ∴b=2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＞0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵b=2a， ∴2a﹣b=0，所以③错误； ∵抛物线开口向下，x=﹣1是对称轴，所以x=﹣1对应的y值是最大值， ∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2 个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．　14．（4分）（2016•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥ AC，AD=2 ，DE=2，则四边形OCED的面积（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 16页（共34页）【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE=OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD=2 ，DE=2， ∴OE=2 ，即OF=EF= ，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF= =1，即DC=2，则S菱形ODEC 故选A =OE•DC= ×2 ×2=2 ．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．　15．（4分）（2016•兰州）如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k2 ﹣k1=（　　） 17页（共34页） A．4 B． C． D．6 【分析】设A（m，方程组即可解决问题．），B（n，）则C（m，），D（n，），根据题意列出【解答】解：设A（m，），B（n，）则C（m，），D（n，），由题意：故选A．解得k2﹣k1=4．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．　二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 16．（4分）（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是　﹣7　．【分析】利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题．【解答】解：∵y=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7， ∵a=1＞0， ∴x=﹣2时，y有最小值=﹣7． 18页（共34页）故答案为﹣7．【点评】本题考查二次函数的最值，记住a＞O函数有最小值，a＜O函数有最大值，学会利用配方法确定函数最值问题，属于中考常考题型．　17．（4分）（2016•兰州）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　20　个．【分析】由于摸到黄球的频率稳定在30%，由此可以确定摸到黄球的概率，而袋中有6个黄球，由此即可求出．【解答】解：∵摸到黄球的频率稳定在30%， ∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个， ∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），故答案为：20．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．　18．（4分）（2016•兰州）双曲线y= 的取值范围是　m＜1　．在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m 【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵双曲线y= 在每个象限内，函数值y随x的增大而增大， ∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案为：m＜1． 19页（共34页）【点评】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是找出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质找出反比例系数k的取值范围是关键．　19．（4分）（2016•兰州）▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：　∠BAD=90°　，使得▱ABCD为正方形．【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，当∠BAD=90°时，▱ABCD为正方形．故答案为：∠BAD=90°．【点评】本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角．　20．（4分）（2016•兰州）对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2 ，矩形ABCD沿直线运动（BD在直线l上），BD=2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为　（ ﹣，﹣ ）或（，）　．【分析】根据“伴侣矩形”的定义可知：圆上的点一定在矩形的对角线交点上，因为只有对角线交点到四个顶点的距离相等，由此画出图形，先求出直线与x轴和y轴两交点的坐标，和矩形的长和宽； 20页（共34页）有两种情况：①矩形在x轴下方时，作辅助线构建相似三角形得比例式，分别求出DG和D H的长，从而求出CG的长，根据坐标特点写出点C的坐标；②矩形在x轴上方时，也分别过C、B两点向两坐标轴作垂线，利用平行相似得比例式，求出：C（，）．【解答】解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：y= x﹣3得：OM= ，ON=3，由勾股定理得：MN= ①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD=cos∠ONM= ，AB= ，则AD=1， =2 ，=，∴=∵DG∥y轴， ∴△MDG∽△MON， ∴，∴，∴DG= ∴CG= ，+=，同理可得：，∴=，∴DH= ∴C（，﹣，﹣ ）； ②矩形在x轴上方时，同理可得：C（故答案为：（，﹣ ）或（，，）；）． ﹣21页（共34页）【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和矩形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．同时，正确理解题意准确画出符合条件的矩形是本题的关键，这就需要熟练掌握矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等．　三、解答题（共8小题，满分70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（10分）（2016•兰州）（1） +（（2）2y2+4y=y+2．）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0 【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用利用零指数幂法则计算即可得到结果；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1） +（ =2 +2﹣2× ﹣1 +1；）﹣1﹣2cos45°﹣（π﹣2016）0 =（2）2y2+4y=y+2， 2y2+3y﹣2=0，（2y﹣1）（y+2）=0， 2y﹣1=0或y+2=0， 22页（共34页）所以y1= ，y2=﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了实数的运算．　22．（5分）（2016•兰州）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．【解答】解：如图所示，四边形ABCD即为所求：【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．　23．（6分）（2016•兰州）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，… ，8中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负．若小军事先选择的数是5 ，用列表或画树状图的方法求他获胜的概率． 23页（共34页）【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为5情况数，即可确定小军胜的概率．【解答】解：列表如下： 123452345634567456781234所有等可能的情况有16种，其中两指针所指数字的和为5的情况有4种，所以小军获胜的概率= =．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　24．（7分）（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成 45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠ED B=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据题意，可以得到BC=BD，由∠CDB=45°，∠EDB=53°，由三角函数值可以求得 BD的长，从而可以求得DE的长．【解答】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米， 24页（共34页）在Rt△BDE中，tan∠EDB= ，即，解得，x≈6.06， ∵sin∠EDB= 即0.8= ，，解得，ED≈10 即钢线ED的长度约为10米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．　25．（10分）（2016•兰州）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F ，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD． ①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明； ②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论． 25页（共34页）【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF= AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，于是得到当AC= BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC， ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF= AC，同理HG∥AC，HG= AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC， ∴当AC=BD时，FG=HG， ∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD，GH∥AC， ∴GH⊥BD， ∵GF∥BD， ∴GH⊥GF， ∴∠HGF=90°， 26页（共34页） ∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．　26．（10分）（2016•兰州）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A （，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【分析】（1）将点A（，1）代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB =××4=2 ．则 S△AOP S△AOB ．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可； ==（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣ ，﹣1），即可求解．【解答】解：（1）∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上， 27页（共34页） ∴k= ×1= ，∴反比例函数的表达式为y= ；（2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C， ∴OC= ，AC=1，由射影定理得OC2=AC•BC，可得BC=3，B（，﹣3）， S△AOB =××4=2 ．．∴S△AOP =S△AOB =设点P的坐标为（m，0）， ×|m|×1= ∴，∴|m|=2 ，∵P是x轴的负半轴上的点， ∴m=﹣2 ，∴点P的坐标为（﹣2 ，0）；（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4， ∴sin∠ABO= = = ， ∴∠ABO=30°， ∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE， ∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°， ∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1， ∴E（﹣ ，﹣1）， ∵﹣ ×（﹣1）= ，∴点E在该反比例函数的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，旋转的性质，正确求出解析式是解题的关键． 28页（共34页）　27．（10分）（2016•兰州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥A B于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，BC= ，求DE的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CF是⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°．（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得，得到，求出DE即可． =求出AE，EC，再根据sin∠A=sin∠EDH =【解答】证明：连接OC， ∵OA=OC， ∴∠A=∠OCA， ∵OD⊥AB， ∴∠A+∠AEO=90°， ∵DE=DC， ∴∠DEC=∠DCE， ∵∠AEO=∠DEC， ∴∠AEO=∠DCE， ∴∠OCE+∠DCE=90°， ∴∠OCF=90°， 29页（共34页） ∴OC⊥CF， ∴CF是⊙O切线．（2）作DH⊥AC于H，则∠EDH=∠A， ∵DE=DC， ∴EH=HC= EC， ∵⊙O的半径为5，BC= ，∴AB=10，AC=3 ，∵△AEO∽△ABC， ∴=，∴AE= =，∴EC=AC﹣AE= ，∴EH= EC= ，∵∠EDH=∠A， ∴sin∠A=sin∠EDH， ∴=，∴DE= ==．，【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形，属于中考常考题型．　28．（12分）（2016•兰州）如图1，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0， 4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接BC，当t= 时，求△BCP的面积；（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ 30页（共34页）沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．【分析】（1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD ，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤ 时，如图2所示，重合部＜t≤2.5时，如图4 分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当所示，△PDN就是重合部分的面积S．【解答】解：（1）把A（3，0），B（0，4）代入y=﹣x2+bx+c中得：解得，∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为：y=﹣x2+ x+4；（2）如图1，当t= 时，AP=2t， ∵PC∥x轴， ∴，，∴∴OD= = × = ，当y= 时， =﹣x2+ x+4， 3×2﹣5x﹣8=0， x1=﹣1，x2= ，31页（共34页） ∴C（﹣1，），由得，则PD=2， ∴S△BCP= ×PC×BD= ×3× =4；（3）如图3，当点E在AB上时，由（2）得OD=QM=ME= ，∴EQ= ，由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴 ∴，∴，∴t= ，同理得：PD=3﹣ ，∴当0≤t≤ S=﹣ 时，S=S△PDQ t； =×PD×MQ= ×（3﹣ ）× ，t2+ 当＜t≤2.5时，如图4，P′D′=3﹣ ，点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t， ∵AB的解析式为：y=﹣ x+4，）， D′E的解析式为：y= x+ t，则交点N（ ∴S=S△P′D′N ，）， =×P′D′×FN= ×（3﹣ ）（ ﹣）， 32页（共34页） ∴S= t2﹣ t+ ．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．　参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；CJX；1286697702；sks；733599；sjzx；zjx111；2 300680618；王学峰；守拙；gsls；弯弯的小河；三界无我；曹先生；tcm123；HLing；wd1 899；zgm666（排名不分先后） 33页（共34页） 34页（共34页）