2016年湖南省株洲市中考数学试卷（含解析版）

2016年湖南省株洲市中考数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共30分） 1．（3分）（2016•株洲）下列数中，﹣3的倒数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 2．（3分）（2016•株洲）下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2=4m2n2 C．（2m2n2）3=8m6n6 B．（﹣2mn）2=4m2n2 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5 3．（3分）（2016•株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（　　）队员甲平均成绩 9.7 方差 2.12 0.56 0.56 1.34 乙9.6 丙9.7 丁9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（3分）（2016•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O ，则∠COA′的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（3分）（2016•株洲）不等式 A．的解集在数轴上表示为（　　） B．第1页（共24页） C． D． 6．（3分）（2016•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1） C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） 7．（3分）（2016•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是 BC的中点，以下说法错误的是（　　） A．OE= DC B．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE 8．（3分）（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）（2016•株洲）已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）第2页（共24页） A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5 10．（3分）（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2）， B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（　　） A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1 　二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 11．（3分）（2016•株洲）计算：3a﹣（2a﹣1）=______． 12．（3分）（2016•株洲）据民政部网站消息，截至2014年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为______． 13．（3分）（2016•株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是______． 14．（3分）（2016•株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为______． 15．（3分）（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=______． 16．（3分）（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=4 5°，则圆心角∠EOF=______度． 17．（3分）（2016•株洲）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌ △COD．设直线AB的表达式为y1=k1x+b1，直线CD的表达式为y2=k2x+b2，则k1•k2=______ ．第3页（共24页） 18．（3分）（2016•株洲）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+P F=______．　三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）（2016•株洲）计算：．20．（6分）（2016•株洲）先化简，再求值：，其中x=3．第4页（共24页） 21．（8分）（2016•株洲）某社区从2011年开始，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下列题（1）2015年比2011年增加______人；（2）请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数；（3）组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%，名各活动项目参与人数的百分比与2016年相同，请根据以上统计结果，估计2016年参加太极拳的人数． 22．（8分）（2016•株洲）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？第5页（共24页） 23．（8分）（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值． 24．（8分）（2016•株洲）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．第6页（共24页） 25．（10分）（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA= AF，求证：CF⊥AB．第7页（共24页） 26．（12分）（2016•株洲）已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．　第8页（共24页） 2016年湖南省株洲市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，本题共10小题，共30分） 1．（3分）（2016•株洲）下列数中，﹣3的倒数是（　　） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 【分析】根据倒数的定义，用1÷（﹣3），算出结果即是﹣3的倒数．【解答】解：1÷（﹣3）= =﹣ ．故选A．　2．（3分）（2016•株洲）下列等式错误的是（　　） A．（2mn）2=4m2n2 B．（﹣2mn）2=4m2n2 C．（2m2n2）3=8m6n6 D．（﹣2m2n2）3=﹣8m5n5 【分析】根据幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、结果是4m2n2，故本选项错误； B、结果是4m2n2，故本选项错误； C、结果是8m6n6，故本选项错误； B、结果是﹣8m6n6，故本选项正确；故选D．　3．（3分）（2016•株洲）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（　　）队员甲平均成绩 9.7 方差 2.12 0.56 0.56 1.34 乙9.6 丙9.7 丁9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】首先比较平均数，然后比较方差，方差越小，越稳定．【解答】解：∵ ==9.7，S2甲＞S2 ，乙∴选择丙．故选C．　4．（3分）（2016•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O ，则∠COA′的度数是（　　）第9页（共24页） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由三角形的内角和为180°可得出∠A=40°，由旋转的性质可得出BC=B′C，从而得出∠B=∠BB′C=50°，再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°， ∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋转的性质可知： BC=B′C， ∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′， ∴∠ACB′=10°， ∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．　5．（3分）（2016•株洲）不等式的解集在数轴上表示为（　　） C． A． B． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则判断即可．【解答】解：解不等式2x﹣1≥1，得：x≥1，解不等式x﹣2＜0，得：x＜2， ∴不等式组的解集为：1≤x＜2，故选：C．　6．（3分）（2016•株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（　　） A．2x﹣1+6x=3（3x+1） B．2（x﹣1）+6x=3（3x+1） C．2（x﹣1）+x=3（3x+1） D．（x﹣1）+x=3（x+1）【分析】方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程两边同时乘以6得：2（x﹣1）+6x=3（3x+1），故选B．　第10页（共24页） 7．（3分）（2016•株洲）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是 BC的中点，以下说法错误的是（　　） A．OE= DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE 【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE= DC，OE∥DC， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=∠OBA， ∴选项A、B、C正确； ∵OB≠OC， ∴∠OBE≠∠OCE， ∴选项D错误；故选：D．　8．（3分）（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2．（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c 2，可得S1+S2=S3．（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3．第11页（共24页）（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a 2+b2=c2，可得S1+S2=S3．【解答】解：（1）S1= ∵a2+b2=c2， a2，S2= b2，S3= c2， ∴a2+ b2= c2， ∴S1+S2=S3．（2）S1= a2，S2= b2，S3= c2， ∵a2+b2=c2， ∴a2+ b2= c2， ∴S1+S2=S3．（3）S1= a2，S2= b2，S3= c2， ∵a2+b2=c2， ∴a2+ b2= c2， ∴S1+S2=S3．（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2， ∵a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3．综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．故选：D．　9．（3分）（2016•株洲）已知，如图一次函数y1=ax+b与反比例函数y2= 的图象如图示，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5 第12页（共24页）【分析】根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的范围即可．【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5．故选：D．　10．（3分）（2016•株洲）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，2）， B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（　　） A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1 【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3﹣2a＜3，b=1﹣a＜1，求得二，根据二次函数的顶点坐标即可得到结次函数的对称轴为x=﹣ 论． =﹣ =﹣＜【解答】解：由已知可知：，消去b得：c=3﹣2a＜3，消去c得：b=1﹣a＜1，对称轴：x=﹣ =﹣ =﹣＜， ∵A（﹣1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值， ∴n≤2，故B错．　二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 11．（3分）（2016•株洲）计算：3a﹣（2a﹣1）=　a+1　．【分析】原式去括号合并即可得到结果．【解答】解：原式=3a﹣2a+1=a+1，故答案为：a+1．　12．（3分）（2016•株洲）据民政部网站消息，截至2014年底，我国60岁以上老年人口已经达到2.12亿，其中2.12亿用科学记数法表示为　2.12×108　．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2.12亿=212000000=2.12×108，故答案为：2.12×108．　13．（3分）（2016•株洲）从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率是　0.4　．【分析】直接利用概率公式计算．【解答】解：从1，2，3…99，100个整数中，任取一个数，这个数大于60的概率= =0.4 ．第13页（共24页）故答案为0.4．　14．（3分）（2016•株洲）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为　π　．【分析】求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵ABCDEF为正六边形， ∴∠AOB=360°× =60°，的长为 =π．故答案为：π．　15．（3分）（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=　（x+4）（x﹣4）　．【分析】原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x =x2﹣16 =（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．　16．（3分）（2016•株洲）△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=4 5°，则圆心角∠EOF=　120　度．第14页（共24页）【分析】首先根据∠A=75°，∠B=45°，求出∠C=60°；然后根据△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，可得∠OEC=∠OFC=90°，再根据四边形OEFC的内角和等于360°，求出圆心角∠EOF的度数是多少即可．【解答】解：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°﹣75°﹣45° =105°﹣45° =60° ∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F， ∴∠OEC=∠OFC=90°， ∵四边形OECF的内角和等于360°， ∴∠EOF=360°﹣（90°+90°+60°） =360°﹣240° =120° 故答案为：120．　17．（3分）（2016•株洲）已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌ △COD．设直线AB的表达式为y1=k1x+b1，直线CD的表达式为y2=k2x+b2，则k1•k2=　1　．【分析】根据A（0，a）、B（b，0），得到OA=a，OB=﹣b，根据全等三角形的性质得到 OC=a，OD=﹣b，得到C（a，0），D（0，b），求得k1= ，k2= ，即可得到结论．【解答】解：设点A（0，a）、B（b，0）， ∴OA=a，OB=﹣b， ∵△AOB≌△COD， ∴OC=a，OD=﹣b， ∴C（a，0），D（0，b）， ∴k1= =，k2= =，∴k1•k2=1，故答案为：1．　18．（3分）（2016•株洲）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+P F=　 +1　．第15页（共24页）【分析】根据题意首先画出图形，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP =30°就可以得到满足条件的点P，根据特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的长，进而得出答案．【解答】解：如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF= ，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cos30°= ，解得：PE=PF= =，则PM= ，故DP=1﹣ ，则PD+PE+PF=2× +1﹣ =+1．故答案为： +1．　三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）（2016•株洲）计算：．【分析】原式利用算术平方根定义，乘方的意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=3+1﹣2=2．　20．（6分）（2016•株洲）先化简，再求值：，其中x=3．【分析】首先通分计算括号里面的，再计算乘法，把多项式分解因式后约分，得出化简结果，再代入x的值计算即可．【解答】解： ==•，当x=3时，原式= = ．　第16页（共24页） 21．（8分）（2016•株洲）某社区从2011年开始，组织全民健身活动，结合社区条件，开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数进行统计，并绘制成每年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图，请你根据统计图解答下列题（1）2015年比2011年增加　990　人；（2）请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数；（3）组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%，名各活动项目参与人数的百分比与2016年相同，请根据以上统计结果，估计2016年参加太极拳的人数．【分析】（1）用2015年的人数﹣2011年的人数即可；（2）用2015年总人数×参与跑步项目的人数所占的百分数即可；（3）2015年总人数×（1+15%）×参加太极拳的人数所占的百分数即可．【解答】解：（1）1600﹣610=（人）；故答案为：990人；（2）1600×55%=880（人）；答：2015年参与跑步项目的人数为880人；（3）1600×（1+15%）×（1﹣55%﹣30%﹣5%）=184（人）；答：估计2016年参加太极拳的人数为184人．　22．（8分）（2016•株洲）某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%，平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等．（1）孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？（2）某同学测试成绩为70分，他的综合评价得分有可能达到A等吗？为什么？（3）如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？【分析】（1）分别利用孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分，分别得出等式求出答案；（2）利用测试成绩占80%，平时成绩占20%，进而得出答案；（3）首先假设平时成绩为满分，进而得出不等式，求出测试成绩的最小值．【解答】解：（1）设孔明同学测试成绩为x分，平时成绩为y分，依题意得：解之得：第17页（共24页）答：孔明同学测试成绩位90分，平时成绩为95分；（2）由题意可得：80﹣70×80%=24， 24÷20%=120＞100，故不可能．（3）设平时成绩为满分，即100分，综合成绩为100×20%=20，设测试成绩为a分，根据题意可得：20+80%a≥80，解得：a≥75 答：他的测试成绩应该至少为75分．　23．（8分）（2016•株洲）已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE=1，求tan∠AED的值．【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到 ∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE= 角形的面积S△AED AD×BA= ，S△ADE ED×AH= ，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．，ED= =5，根据三 ==【解答】解：（1）正方形ABCD中， ∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°， ∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE中，，∴△ADF≌△ABE；（2）过点A作AH⊥DE于点H，在Rt△ABE中，∵AB=BC=3， ∵BE=1， ∴AE= ，ED= =5，第18页（共24页） ∵S△AED S△ADE 解出AH=1.8， =AD×BA= ，=ED×AH= ，在Rt△AHE中，EH=2.6， ∴tan∠AED= ．　24．（8分）（2016•株洲）平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据等积法可以求得点D到直线AC的距离．【解答】解：（1）∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称， ∴3= ，点C与点A关于原点O对称， ∴k=6，C（﹣2，﹣3），第19页（共24页）即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）∵△APO的面积为2，点A的坐标是（2，3）， ∴，得OP=2，设过点P（0，2），点A（2，3）的直线解析式为y=ax+b，解得，，即直线PC的解析式为y= ，将y=0代入y= ∴OP=4，，得x═﹣4， ∵A（2，3），C（﹣2，﹣3）， ∴AC= ，设点D到AC的距离为m， ∵S△ACD=S△ODA+S△ODC ，∴，解得，m= ，即点D到直线AC的距离是．　25．（10分）（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA= AF，求证：CF⊥AB．【分析】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB =∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；第20页（共24页）（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a，AM= a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2 a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB=∠EFA=60°， ∴∠B=30°， ∵∠EFA=∠B+∠FDB， ∴∠B=∠FDB=30°， ∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a， ∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM= a，在Rt△DAM中，AD= AF=2 a，AM= ∴DM=5a，∴DF=BF=6a， ∴AB=AF+BF=8a，，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a， ∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC， ∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°， ∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°， ∴CF⊥AB．　26．（12分）（2016•株洲）已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．第21页（共24页）【分析】（1）直接将k的值代入函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标；（2）利用根的判别式得出△=1，进而得出答案；（3）根据题意首先表示出Q点坐标，以及表示出OA，AB的长，再利用两点之间距离求出 AQ的长，进而求出答案．【解答】解：（1）将k= 代入二次函数可求得， y=x2﹣2x+ =（x﹣1）2﹣ ，故抛物线的顶点坐标为：（1，﹣ ）；（2）∵一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0， ∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0， ∴关于x的一元次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根；（3）由题意可得：点P的坐标为（0，﹣1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k 0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，yBC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+ ，第22页（共24页）则代入原式可得：y= 则点Q坐标为，运用距离公式得：AQ2=（则OA2=k2，AB2=1，）2+（）2= ，故+=+1= =，则．　第23页（共24页）参与本试卷答题和审题的老师有：曹先生；zjx111；zcx；三界无我；sks；wdzyzmsy@126. com；放飞梦想；nhx600；王学峰；gsls；sd2011；gbl210；zgm666（排名不分先后）菁优网 2016年9月21日第24页（共24页）