2016年湖北省鄂州市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 341. － 的相反数是（） 34344343A. － B. － C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2a=5 a2 B. a6÷a2= a3 C. (-3a3)2=9a6 D. (a+2)2=a2+4 3. 钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为4400000m2，数据4400000用科学记数法 表示为（ ）A. 4.4×106 B. 44×105 C. 4×106 D. 0.44×107 4. 一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是（ ） 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 6. 如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A. 50° B. 40°C. 45° D. 25° 7. 如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始 沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) ，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（ ） ABCD8. 如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、B N上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与O D相交于点Q，已知AD=4，BC=9. 以下结论： 13 218 13 23①⊙O的半径为 ②OD∥BE ③PB= 13 ④tan∠CEP= 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=O C. 则下列结论： 1a①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ 其中正确的结论个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 10．如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3 ,Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′。当CA′的长度最小时， CQ的长为（ ） 13 A．5 B．7 C．8 D． 2二、填空题（每小题3分，共18分） 11．方程x2－3=0的根是 2x 3 3x 2 12．不等式组 的解集是 2(x 2) 3x 6 13．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是 .14．如图，已知直线 k2 xy k1x b 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y= 的图像相交于A（－2，m）、B（1， 12n）两点，连接OA、OB. 给出下列结论： ①k1k2<0；②m+ n=0； ③S =△AOP k2 xS△BOQ；④不等式k1x+b＞ 的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论的序号是 . 15．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△AP B为直角三角形时，AP＝ .4316．如图，直线l：y=－ x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴 于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交 x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .三、解答题（17题6分，18. 19题8分，20. 21题9分，22. 23题10分，24题12分） 11 17. 计算（本题满分6分） 3 2 ( 20151) 2sin45 2cos30 ( )2015 18.（本题满分8分）如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。 （1）（4分）求证：四边形CMAN是平行四边形。 （2）（4分）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长。 19. （本题满分8分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐 器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的 统计图。 请你根据统计图解答下列问题： （1）（3分）在这次调查中，一共抽查了 名学生。其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 。扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 度。 （2）（1分）请你补全条形统计图。 （3）（4分）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用 列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率。 20. （本题满分9分）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）（4分）求证：无论k为何值，方程总有实数根。[来源:Z_xx_k.Com] x2 x1 x1 x2 （2）（5分）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S= ++x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值。若不能，请说明理由。 21.（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。 一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明 国籍的船只停在C处海域。如图所示，AB＝60 6 2 海里，在B处测得C在北偏东4 5º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝ 120 6 2 海里。 （1）（4分）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号） （2）（5分）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处 盘查，途中有无触礁的危险？ （参考数据： 2 ＝1.41， 3 ＝1.73， 6 ＝2.45） 22.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线。以O为 圆心，OC为半径作⊙O。 （1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。 AE AC 1（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， tanD＝ ，求 的值。 2（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。 23.（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全 部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住 房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。 ⑴（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。 ⑵（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获 利 润最大，最大利润是多少？ ⑶（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低 于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住 满2人。问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 24．（本题满分12分）如图在平面直角坐标系xoy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交 14于B点，抛物线C1：y=－ x²＋bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C。 （1）（3分）求抛物线解析式及C点坐标。 （2）（4分）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1 、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积。 （3）（5分）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一 点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P 点坐标，不存在，请说明理由。 图（1） 图（2） 2016年湖北省鄂州市中考数学试卷 参考答案及试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 341. － 的相反数是（） 34344343A. － B. － C. D. 【考点】相反数． 【分析】本题根据相反数的定义，可得答案． 3434【解答】解：因为 与－ 是符号不同的两个数 3434所以－ 的相反数是 .故选C. 【点评】只有符号不同的两个数，我们就说其中一个是另一个的相反数；0的相反数是0。 一般地，任意的一个有理数a，它的相反数是- a。a本身既可以是正数，也可以是负数，还可以是零。解答相反数的题时，一要注意“两个 数”成对出现，二要注意只有“符号”不同。 2. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2a=5 a2 B. a6÷a2= a3 C. (-3a3)2=9a6 D. (a+2)2=a2+4 【考点】合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方式。 【分析】根据同类项合并、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则和完全平方式计算即可 ．【解答】解：A. 根据同类项合并法则，3a+2a=5 a，故本选项错误； B. 根据同底数幂的除法，a6÷a2= a4，故本选项错误； C．根据积的乘方，(-3a3)2=9a6，故本选项正确； D. 根据完全平方式，(a+2)2=a2+4a+4，故本选项错误. 故选C． 【点评】本题是基础题，弄清法则是关键。合并同类项是把多项式中的同类项（所含字母 相同，并且相同字母的指数也相同的项）合并成一项；同底数幂是指底数相同的幂；同底 数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的 幂相乘，要注意符号；完全平方式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方的和加上（ 或者减去）它们的积的2倍。 3. 钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为4400000m2，数据4400000用科学记数法 表示为（ A. 4.4×106 ）B. 44×105 C. 4×106 D. 0.44×107 【考点】用科学记数法表示较大的数. 【分析】根据科学记数法是把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a<10，n是正整 数）.确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，本题4400000有7位，所以可 以确定n=7-1=6，再表示成a×10n的形式即可。 【解答】解：将4400000用科学记数法表示为：4.4×106． 故选A． 【点评】本题考查的是用科学记数法表示较大的数. 解题时要注意：①科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的；②因数为a（1≤a<10）中 ，a是正整数数位只有一位的正数，a可以取1，但不能取10；③因数10n（n正整数）中，10 的指数（n）比原数的整数位数少1。如原数是12位数的整数，则10的指数为11；④用科学 记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已；⑤负数也可以用科学记 数法表示，“-”照写，其它与正数一样。 4. 一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是（ ） 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”分析，找到从左面 看所得到的图形即可；注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．从俯视图可 知，本题几何体是正六棱柱，所以棱应该在正中间。 【解答】解：从物体的左面看是正六棱柱的两个侧面，因C项只有1个面，D项有 3个面，故排除C，D； 从俯视图可知，本题几何体是正六棱柱，所以棱应该在正中间，故排除A. 故选B． 【点评】本题考查的是简单组合体的三视图（由几何体判断三视图）. 解题的关键，一是要熟知“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”口诀，二 是注意所有的看到的棱都应表现在左视图中. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B. 一组数据3，6，6，7，9的中位数是6 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 一组数据1，2，3，4，5的方差是10 【考点】抽样调查、中位数、样本容量、方差. 【分析】根据全面调查以及抽样调查的知识对A选项进行判断；根据中位数的定 义对B选项作出判断；根据样本容量的知识对C选项作出判断；根据方差的计算 公式对D选项作出判断． 【解答】解：A、了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，故此选项错误； B、一组数据3，6，6，7，9的数的个数是奇数，故中位数是处于中间位置的数 6，故此选项正确； C、从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量应该是200，故 此选项错误； D. 一组数据1，2，3，4，5的平均数= 15 （1+2+3+4+5）=3，∴方差= 15 ［（1- 3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2］=2，故此选项错误． 故选B． 【点评】本题考查的是统计知识。全面调查和抽样调查是按调查对象范围不同划分的调查 方式。全面调查是对调查对象中的所有单位全部加以调查，通过基层单位按照一定的报表 填报要求进行逐一登记、逐级上报、层层汇总，最后取得调查结果的一种调查方式，如人 口普查、经济普查等。抽样调查是一种非全面调查，它是从研究的总体中按随机原则抽取 部分样本单位进行调查，并根据样本单位的调查结果来推断总体，以达到认识总体的一种 统计调查方式； 中位数是指将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数 ，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数；样本容量又称”样本数”，是指一个样本的必要抽样单位 数目；样本容量是对于你研究的总体而言的，是在抽样调查中总体的一些抽样。比如:中国 人的身高值为一个总体，你随机取一百个人的身高，这一百个人的身高数据就是总体的一 个样本。某一个样本中的个体的数量就是样本容量；注意：不能说样本的数量就是样本容 量，因为总体中的若干个个体只组成一个样本；样本容量不需要带单位；方差是各个数据 与其算术平均数的离差平方和的平均数；方差的公式s2=1n ）2+…+（xn- ）2]（其中n是样本容量， 表示平均数）． [（x1- ）2+（x2- 6. 如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（ ） A. 50° C. 45° B. 40° D. 25° 【考点】平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理. 【分析】根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，得出∠2=∠D；再根据垂线 的性质和三角形的内角和定理，得出∠D=40°，从而得出∠2的度数. 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠2=∠D; 又∵EF⊥BD ∴∠DEF=90°; ∴在△DEF中，∠D=180°―∠DEF―∠1=180°―90°―50°=40° ∴∠2=∠D=40°. 故选B． 【点评】本题解题的关键是弄清性质和定理。平行线的性质之一：两直线平行同位角 相等；垂直的性质：如果两直线互相垂直，则它们相交所组成的角为直角；三 角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 7. 如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始 沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) ，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（ ） ABCD【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所 围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 【解答】解：点P在AB上分别运动时，围成的三角形面积为S(cm2)随着时间的增 多不断增大，到达点B时，面积为整个正方形面积的四分之一，即4 cm2； 点P在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2) 随着时间的增多继续增大，S=4+S△OBP；动点P由A开始沿折线A—B— M方向匀速运动，故排除C，D； 到达点M时，面积为4 +2=6(cm2)，故排除B. 故选A． 【点评】动点函数的图像问题. 解答此类题目应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际求解. 注意排除法在本题中的灵活运用. 8. 如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、B N上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与O D相交于点Q，已知AD=4，BC=9. 以下结论： 18 13 ①⊙O的半径为 13 ②OD∥BE ③PB= 13 ④tan∠CEP= 23 2其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 【考点】直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切），平行线的 判定，矩形的判定和性质，直角三角形的性质及判定，相似三角形的判定和性 质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等. 【分析】①连接OE，则OE⊥DC，易证明四边形ABCD是梯形，则其中位线长等于 2 （4+9）= 13 ，而梯形ABCD的中位线平行于两底，显而易见，中位线的长（斜边 12）大于直角边（或运用垂线段最短判定），故可判断①错误；另外的方法是直接 计算出⊙O的半径的长（做选择题时，不宜）； 1②先证明△AOD≌△EOD，得出∠AOD=∠EOD= 2 ∠AOE，再运用同弧所对的圆 周角等于圆心角的一半证明∠AOD=∠ABE，从而得出OD∥BE，故②正确； PB BC OB OC ③由①知OB=6，根据勾股定理示出OC，再证明△OPB∽△OBC，则 =，可得出PB的长. ④易知∠CEP＞∠ECP，所以CP＞PE，故tan∠CEP= 32 错误. 【解答】①解法一：易知四边形ABCD是梯形，则其中位线长等于 12 （4+9）= 13 ， 2OE为⊙O的半径，且OE⊥DC，而梯形ABCD的中位线平行于两底，显而易见，中 位线的长（斜边）大于直角边的长（或运用垂线段最短判定），故可判断①错误 ；解法二：过点D作DF⊥BC于点F， ∴AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF，AB=DF， 又∵AD=4，BC=9， ∴FC=9﹣4=5， ∴AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E， ∴DA=DE，CB=CE， ∴DC=AD+BC=4+9=13， 在RT△DFC中，DC2=DF2+FC2， 2222∴DF= ==12， DC FC13 5 ∴AB=12， ∴⊙O的半径R是6． 故①错误； ②连接OE， ∵AM、DE是⊙O的切线， ∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°， 又∵OD=OD， 在△AOD和△EOD中， DA=DE OD=OD ∴△AOD≌△EOD， 1∴∠AOD=∠EOD= 2 ∠AOE， 1∵∠ABE= 2 ∠AOE， ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE. 故②正确； 2③根据勾股定理，OC= 由①知OB=6， 2 =2 2 =3 13 ；BC OB9 6 PB BC OB OC 易知△OPB∽△OBC，则 =，BCOB OC 96 318 13 ∴PB= ==13 13 .故③正确； ④易知∠CEP＞∠ECP，所以CP＞PE，故tan∠CEP= 32 错误. 综上，正确的答案为：B． 【点评】在解决切线的问题中，一般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直 于经过切点的半径. 在做判断题时，不需要计算出结果时，一定要灵活运用多种方法，以节约时间. 9. 如图，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=O C. 则下列结论： ①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ 1a 其中正确的结论个数有（ ）A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 【考点】二次函数图象与系数的关系，数形结合思想． 【分析】①由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴 的交点位置可得c＜0，则可对①进行判断；②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，则可对 ②进行判断；③ 【解答】①解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∴①正确； ②当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0， ∴②9a+3b+c＜0错误； ③∵C（0，c），OA=OC， ∴A（﹣c，0）， 由图知，A在1的左边 ∴﹣c＜1 ，即c＞－1 ∴③正确； ④把－ 1a 代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得 ac﹣b+1=0， 把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0， 即ac﹣b+1=0， ∴关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ 1a .综上，正确的答案为：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二 次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线 向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0） ，对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与 y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时， 抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛 物线与x轴没有交点． 10. 如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯 形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ） 13 2A. 5 B. 7 C. 8 D. 【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题． 【分析】如下图所示，由题意可知，△ABC为等边三角形；过C作CH⊥AB，则AH=HB；连 接DH；要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且 对称轴PQ应满足PQ∥DH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7. 【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，连接DH； ∵ABCD是菱形，∠B=60° ∴△ABC为等边三角形； ∴AH=HB= 82 =4； ∵BP=3， ∴HP=1 要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且 对称轴PQ应满足PQ∥DH； 由作图知，DHPQ为平行四边形 ∴DQ=HP= 1， CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为：B． 【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质 ，最值问题．本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。 弄清在什么情况下CA′的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．方程x2－3=0的根是 【考点】解一元二次方程． 【分析】先移项，写成x2=3，把问题转化为求3的平方根． 【解答】解：移项得x2=3， 开方得x1= ，x2= – ．答案为：x1= ，x2= – ．【点评】用直接开平方法求一元二次方程的解，要注意仔细观察方程的特点. 2x 3 3x 2 12．不等式组 的解集是 2(x 2) 3x 6 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 2x 3 3x 2 【解答】解： 2(x 2) 3x 6 ∵解不等式2x-3＜3x-2，得： x＞﹣1， 解不等式2(x-2)≥3x-6，得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 故答案为：﹣1＜x≤2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式 组的解集，难度适中． 13．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是 .【考点】扇形的面积． 【分析】利用阴影部分面积=扇形的面积-三角形的面积进行计算． 3211【解答】解：S阴影=S扇= 360 π n R2－S△AOB = 3 . 360 π×60×62－ 12 ×6×6× =6π-9 故答案为：（6π-9 3）cm2． 12【点评】本题考查了求扇形的面积．要熟知不同条件下的扇形的面积的求法：S扇 =L121R（L为扇形弧长，R为半径）= α R2（α为弧度制下的扇形圆心角，R为半径）= 360 π n 1R2（n为圆心角的度数，R为半径）；C扇 （n为圆心角的度数，R为半径）= =360 2 πnR+2R R(α+2) （α为弧度制下的扇形圆心角，R为半径）；S扇=πRM. 14．如图，已知直线 k2 y k1x b 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y= 的图像相交于A（－2，m）、B（1， xn）两点，连接OA、OB. 给出下列结论： ①k1k2<0；②m+ 12 n=0； ③S =△AOP k2 S△BOQ；④不等式k1x+b＞ 的解集是x<－2或0<x<1，其中正确的结论的序号是 . x【考点】反比例函数，一次函数，不等式． 【分析】①由直线 y k1x b 的图像在二、四象限，知k- k2 1<0；y= 的图像在二、四象限，知k2<0；因此k1k2＞0，所以①错误； xk2 k2 ②A，B两点在y= 的图像上，故将A（－2，m）、B（1，n）代入，得m= ，n= x2 k2；从而得出m+ 12 n=0，故②正确； 12③令x=0，则y=b，所以Q（0，b），则S =×1×｜b｜= -△BOQ 12b；将A（－2，m）、B（1，n）分别代入 y k1x b ，解得k- nm ，所以y= nm x+b；令y=0，则x=- 12 b，所以P（- 12 b，0），则S 12==△AOP ×|-2|×｜- 13312b｜= – 12 b；所以S△AOP= S△BOQ，故③正确； k2 ④由图像知，在A点左边，不等式k1x+b的图像在 的图像的上边，故满足k- xk2 k2 x1x+b＞ ；在Q点与A点之间，不等式k1x+b的图像在 的图像的上边，故满足k- xk2 k2 x1x+b＞ ；因此不等式k1x+b＞ 的解集是x<－2或0<x<1. 故④正确. x【解答】解：①由直线 y k1x b 的图像在二、四象限，知k1<0； k2 双曲线y= 的图像在二、四象限，知k2<0； x∴k1k2＞0； ∴①错误； k2 k2 ②A，B两点在y= 的图像上，故将A（－2，m）、B（1，n）代入，得m= ，n= x2 k2； k2 n将n= k2代入m= 中，得m= 2 ，2 即m+ 12 n=0. ∴②正确； 12③令x=0，则y=b，所以Q（0，b），则S =×1×｜b｜= – 12 b； △BOQ 将A（－2，m）、B（1，n）分别代入 y k1x b 解得k1= nm ，，3∴y= nm x+b； 3令y=0，则x=- 12 b， ∴P（- 12 b，0）， 12∴S =×|-2|×｜- 12 b｜= – 12 b； △AOP ∴S△AOP= S .△BOQ ∴③正确； k2 ④由图像知，在A点左边，不等式k1x+b的图像在 的图像的上边，故满足k- xk2 1x+b＞ ；xk2 k2 ；x在Q点与A点之间，不等式k1x+b的图像在 的图像的上边，故满足k1x+b＞ xk2 因此不等式k1x+b＞ 的解集是x<－2或0<x<1. x∴④正确. 综上，正确的答案为：②③④ 【点评】本题考查了反比例函数，一次函数，不等式．注意反比例函数的单调性：当k>0 时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0 时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。本题中 k2 要注意 y k1x b 中的b<0，不等式k1x+b＞ 的解集可以直接从图中得出. x15．如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△AP B为直角三角形时，AP＝ .【考点】外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想． 【分析】确定P点在直线l上的位置是解决本题的关键。要使△APB为直角三角形，我们就联 想到以AB为直径的外接圆，但AB也有可能为直角边，所以要分类讨论。我们将满足 条件的P逐一画在图上。如图，P1，P2在以O为圆心的外接圆上，P1，P2在⊙O的切线 上，再根据题目的已知条件逐一解答即可。 【解答】解：分类讨论如下： （1）在Rt△A P1B中，∵∠1＝120°，O P1=OB， ∴∠O B P1 =∠O P1B=30°， ∴AP1 = 12 AB= 12 ×6=3； （2）在Rt△A P2B中，∵∠1＝120°，O P2=OB， ∴∠P2 B O =∠O P2B=60°， 32∴AP2 = 12 AB=cos∠O B P2×6= ×6=3 3；（3）P3B为以B为切点的⊙O的切线， ∵∠1＝120°，O P2=OB， ∴∠P2 B O =∠O P2B=60°， ∴∠P3O B=60°， 在Rt△O P3B中，∴BP3 =tan∠P3O B×3 = 3×3=3 3;22在Rt△A P3B中，AP3 = 2 =2 =3 7 ； BAB 6 (33) P3 （4）P4B为以A为切点的⊙O的切线， ∵∠1＝120°，O P1=OA， ∴∠P1 A O =∠O P1A=60°， ∴∠P4O A=60°， 在Rt△O P4A中，∴AP4 =tan∠P4O A×3 = 综上，当△APB为直角三角形时，AP＝3，或3 3 ×3=3 3 . 3，或3 7 . 故答案为：3或3 3 或3 7 . 【点评】本题考查了外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论 思想．注意分类讨论思想的运用；本题难度虽然不大，但容易遗漏. 四种情况中，有两种情况的结果相同。 16．如图，直线l：y=－ 43 x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴 于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交 x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类． 【分析】由直线l：y=－ 34 x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从 而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－ 43 x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理 ，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律． 【解答】解：∵点A1坐标为（－3，0），知O A1=3， 把x=－3代入直线y=－ 43 x中，得y= 4 ，即A1B1=4. 根据勾股定理，OB1= 2 =2 2 =5， 234OA1 A B 1 1 ∴A2坐标为（－5，0），O A2=5； 把x=－5代入直线y=－ 43 x中，得y= 20 ，即A2B2= 20 .3325 52 2根据勾股定理，OB2= 2 =2 ==，220 ( 3 ) 135OA2 A B2 2352 352 ；1∴A3坐标为（－ ，0），O A3= 1352 把x=－ 代入直线y=－ 43 x中，得y= 100 ，即A3B3= 100 .1993125 53 2根据勾股定理，OB3= 2 =2 ==，2(235) (100) 32 9OA3 A B 3 3 953 53 ∴A4坐标为（－ ，0），O A4= ；32 32 …… 5n1 5n1 3n2 同理可得An坐标为（－ ，0），O An= ；3n2 52015 ∴A2016坐标为（－ ，0） 32014 52015 故答案为：（− ，0） 32014 【点评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像 上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙 得出结论。 三、解答题（17题6分，18. 19题8分，20. 21题9分，22. 23题10分，24题12分） 11 17. 计算（本题满分6分） 3 2 ( 20151) 2sin45 2cos30 ( )2015 【考点】绝对值，0指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算． 【分析】 3＞2，故可直接去掉绝对值符号，计算0次幂和负整数指数幂，代入特殊角 的三角函数值然后进行加减运算，最后合并同类二次根式即可． 2232【解答】解：原式=（ ＋1＋ =2016 3-2）＋1＋2× －2× ＋2015 （3分） =3-22 － 3 ＋2015 （6分） 【点评】本题考查了绝对值，0指数幂，副整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算 ．求正确记忆特殊角的三角函数值及熟练掌握运算法则是解题的关键。 18.（本题满分8分）如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF ⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。 （1）（4分）求证：四边形CMAN是平行四边形。 （2）（4分）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长。 【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． 【分析】（1）通过AE⊥BD，CF⊥BD证明AE∥CF，再由四边形ABCD是平行四边形得到AB ∥CD，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形CMAN是平行四边形 ；（2）先证明两三角形全等得DE=BF=4，再由勾股定理得BN=5． 【解答】⑴证明：∵AE⊥BD CF⊥BD ∴AE∥CF 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD ∴四边形CMAN是平行四边形 ⑵由⑴知四边形CMAN是平行四边形 ∴CM=AN. （4分） 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD，∠MDE=∠NBF. ∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN. 在△MDE和∠NBF中 ∠MDE=∠NBF ∠DEM=∠BFN=90° DM=BN ∴△MDE≌∠NBF ∴DE=BF=4，（2分） 2 =2 2 =5（4分）. 2由勾股定理得BN= FN 34BF 答：BN的长为5. 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及其性质，全等三角形的判定与性质，勾股定 理；灵活运用判定、性质及定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键． 19. （本题满分8分）为了解学生的艺术特长发展情况，某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐 器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题， 在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的 统计图。 请你根据统计图解答下列问题： （1）（3分）在这次调查中，一共抽查了 名学生。其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为 。扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为 度。 （2）（1分）请你补全条形统计图。 （3）（4分）若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组，请用 列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率。 【考点】条形统计图，扇形统计图，列表法或树状图法，概率． 【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以所占的百分比，进行计算即可得出一共抽查了的学生 人数；喜欢“舞蹈”活动项目的人数除以被调查的总人数即可；先求出喜欢“戏曲”部分 的百分比，再根据扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比× 360°，即可得出答案； （2）求出喜欢“戏曲”的人数，然后补全统计图即可； （3）列表或画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可. 【解答】解：（1）8÷16%=50， 12 50 ×100%=24%， 12 50 16 50 10 50 100%－ ×100%－ ×100%―16%― ×100%=100%－24%－32%－16%－20%=8% 喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角的度数=8%×360°=28.8°； （2）补全条形统计图如图 （1分） （3）图表或树状图正确 画树状图如下： （2分 ） 共有12种情况，其中恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的有2种结果， 2故恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率是： 12 = 16 . （4分） 用列表法如下： 乐器 声乐 戏曲 舞蹈 (舞蹈、乐器) (舞蹈、声乐) (舞蹈、戏曲) (乐器、声乐) (乐器、戏曲) 舞蹈 乐器 声乐 戏曲 (乐器、舞蹈) (声乐、舞蹈) (声乐、乐器) (声乐、戏曲) (戏曲、舞蹈) (戏曲、乐器) (戏曲、声乐) 【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率．读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解题的关键. 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分 比大小. 20. （本题满分9分）关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0 （1）（4分）求证：无论k为何值，方程总有实数根。[来源:Z_xx_k.Com] x2 x1 （2）（5分）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S= ++x1 x2 x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值。若不能，请说明理由。 【考点】一元二次方程，根的判别式． 【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方 程总有实数根，就必须使△＞0恒成立； （2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入 数值计算即可． 【解答】解：⑴①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=1/2有一个解； （2分） ②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8=4(k-1) ² ＋4＞0 方程有两不等根 综合①②得不论k为何值，方程总有实根 （4分） （1分） ⑵∵x ₁＋x ₂＝－2k/ k-1,x ₁ x ₂=2 /k-1, ∴s= (x ₁ ²＋ x ₂ ²)/x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂ ) =[ ( x ₁＋x ₂) ²－2 x ₁ x ₂ ]/ x ₁ x ₂＋(x ₁＋x ₂) =(4k²-8k＋4)/2（k-1）=2 k²－3k＋2=0 （2分） k ₁=1 k₂＝2 （3分） ∵方程为一元二次方程，k-1≠0 ∴k ₁=1 应 舍去 ∴当k=2时，S的值为2 ∴S的值能为2，此时k的值为2. 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系. （5分） 要熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，那么x1+x2=- ba，x1x2=ac ．文字表述：两个根的和等于一次项系数与二次项的比的相反数，两个根的积 等于常数项与二次项系数的比。 21.（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。 一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明 国籍的船只停在C处海域。如图所示，AB＝60 6 2 海里，在B处测得C在北偏东4 5º的方向上，A处测得C在北偏西30º的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝ 120 6 2 海里。 （1）（4分）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC （结果保留根号） （2）（5分）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群， 我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁 的危险？ （参考数据： ＝1.41， ＝1.73， 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 236 ＝2.45） 第21题图 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可求出A与C及B与C的距离AC，BC ；（2）过点D作DF⊥AC于F，解直角三角形即可求出DF的长，再比较与100的大小 ，从而得出结论有无触礁的危险. 【解答】解：⑴ 作CE⊥AB于E, 设AE＝x （1分） 则在△ACE中,CE=√3 x AC=2x 在△BCE中，BE=CE=√3 x BC=√6 x （2分） 由AB=AE＋BE 解得x=60√2 所以AC=120√2(海里) ，BC=120√3 (海里) ∴x＋√3 x=60(√6＋√2) （3分） （4分） ⑵作DF⊥AC于F, （1分） 在△AFD中,DF=√3/2DA （2分） ∴DF=√3/2×60(√6－√2)=60(3√2－√6) ≈106.8＞100 （4分） 所以无触礁危险. （5分） 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用- 方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法 就是作高线． 22.（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线。以O为 圆心，OC为半径作⊙O。 （1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。 （2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于 AE AC 1点D， tanD＝ ，求 的值。 2（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求 AB的长。 第22题图 【考点】切线，角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程 组. 【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证； （2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得AE/AC=CE/CD=tanD=1/2； （3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△B0F∽△BAC，得BF/BC＝BO/ BA=0F/AC，设BO=y ，BF=z，列二元一次方程组即可解决问题. 【解答】⑴证明：作OF⊥AB于F （1分） ∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º ∴OC=OF （2分） （3分） ∴AB是⊙O的切线 ⑵连接CE （1分） ∵AO是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE=∠CAD ∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧 ∴∠ACE=∠CDE ∴△ACE∽△ADC AE AC CE CD ∴==tanD= 12 （3分） ⑶先在△ACO中，设AE=x, 由勾股定理得 (x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2, ∵∠BFO=90°=∠ACO （1分） 易证Rt△B0F∽Rt△BAC （2分） 得BF/BC＝BO/BA=0F/AC， 设BO=y BF=z y/4＋z=z/3＋y=3/4 即 4z=9＋3y 4y=12＋3z 解得z= 27 y= 75 （4分） 77∴AB= 27 ＋4= 100 （5分） 77【点评】本题主要考查了切线，角平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理， 二元一次方程组. 作OF⊥AB于F是解题的关键. 23.（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全 部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住 房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10 x元（x为整数）。 ⑴（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。 ⑵（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获 利 润最大，最大利润是多少？ ⑶（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低 于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住 满2人。 问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？ 【考点】二次函数的应用，不等式组的应用. 【分析】（1）通过总房间50个可直接写出房间数量y与x的函数关系式； （2）设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即 可求得结论； （3）因当日所获利润不低于5000元，由（2）知－10 ²＋9000≧5000；由②可知：20 (x－20) (－x＋50) ≦600；由③每个房间刚好住满2人可知：y个房间住满2y人，即2y=2 (－x＋50)，即可得出结果. 【解答】解：⑴y=－x＋50 ⑵设该宾馆房间的定价为（120+10x-20）元（x为整数），那么宾馆内有（50- x）个房间被旅客居住，依题意，得 （2分） W=(－x＋50)（120+10x-20） W=(－x＋50) (10x＋100) = －10(x－20) ²＋9000 （2分） （3分） 所以当x＝20，即每间房价定价为10×20＋120=320元时，每天利润最大，最 大利润为9000元 ⑶ 由 （4分）[来源:学§科§网Z§X§X§K] －10 (x－20) ²＋9000≧5000 20 (－x＋50) ≦600 得20 ≦ x ≦ 40) （2分） 当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少有: 2y=2 (－x＋50)=2 (－40＋50)=20 (人) （4分） 【点评】本题考查了二次函数的应用，，不等式组的应用，要求同学们仔细审题，将实际 问题转化为数学模型；注意配方法的求二次函数最值的应用. 24．（本题满分12分）如图在平面直角坐标系xoy中，直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交 于B点，抛物线C1：y=－ 14 x²＋bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C。 （1）（3分）求抛物线解析式及C点坐标。 （2）（4分）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1 、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积。 （3）（5分）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一 点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P 点坐标，不存在，请说明理由。 图（1） 图（2） 【考点】二次函数综合题. 【分析】（1）在y＝2x+4中，令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)；令y=0，可得x =－2，则点B的坐标为(－2，0)；因为抛物线C1：y=－ 14 x²＋bx+c过A、B两点，故将A( 0，4)，B(－2，0)代入y=－ 14 x²＋bx+c，联立方程组，求解b，c的值即可求得抛物 11线解析式y=－ 4 x²＋ 23 x＋4，再令－ 4 x²＋ 32 x＋4=0，即可不就得C点坐标； （2）先证明△ABC是直角三角形，得△ABC的斜边BC的中点为(3，0)即E点坐 标为(3,0) ，由平移可得F点坐标为F (13，0)，从而得出抛物线C₂的解析式，再将C1、C₂联立方程组解出x，y的值， 最后根据S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD即可得出四边形AOCD的面积； （3）分情况讨论可能的情形即可得出结论. 【解答】解： ⑴∵直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点， ∴令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A(0，4)； 令y=0，可得x=－2，则点B的坐标为(－2，0)； 将A(0，4)，B(－2，0)代入y=－ 14 x²＋bx+c，联立方程组， 4=c 0=－ 14 ×(-2)²-2b+c 解得， b= 32 c=4 1∴抛物线C₁的解析式为: y=－ 4 x²＋ 32 x＋4 （2分） ∵抛物线C1：y=－ 14 x²＋bx+c与x轴交于点C 1令－ 4 x²＋ 32 x＋4=0， 解得，x=8 ∴C点坐标为C(8，0) （3分） ⑵如图， 由（1）知，C(8，0)，A(0，4)，B (－2，0) ∴AC2=AO2+OC2=42+82=80， AB2= AO2+OB2=42+22=20， 又BC=BO+OC=8+2=10，∴BC2= 102=100 ∴BC2= AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形. △ABC的斜边BC的中点为(8+2)÷2=5 ∴OE=5-OB=5-2=3 ∴△ABC的斜边BC的中点为(3,0) （1分） ∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心， ∴ E为△ABC的外心，E点坐标为(3,0) ∴F点坐标为(3+8+2，0)，即F(13，0) 由E (3,0) ，F(13，0)得抛物线C₂∶y= – 14 (x-3 ) (x-13 ) 即C₂∶y= – 14 x²＋4x－ 39 （2分） 4联立方程组 y=－ 14 x²＋ 23 x＋4 y = – 14 x²＋4x－ 39 4解得 x= 11 275 y= （3分） 16 ∴S四边形AOCD= S三角形AOD＋S三角形 OCD 75 16 119 4＝ 12 ×4× 11 ＋ 12 ×8× =2答：四边形AOCD的面积为 119 .（4分） 4⑶分情况讨论如下： ①BM为对角线时，中点在直线x=3上，Q（3， 25 ）4所以P（3，0）（2分） ②当四边形PQBM为平行四边形时PQ∥MB， Q（-7，- 75 ）, 4所以P(3，- 25 ）（4分） 2③当四边形PQMB为平行四边形时PQ∥BM，Q（13，- 75 ）, 4所以P(3，-25）（5分） （直接写出结果就可，答对一个点直接得2分） 【点评】本题综合性较强，知识点较多，主要考查了二次函数的综合运用，涉及 待定系数法，平移，三角形的外心，平行四边形的判定和性质，直角三角形的 判定和性质，一次函数，解二元二次方程组等知识点。在（3）中要注意分类讨 论思想的应用。
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