2016年湖北省宜昌市中考数学试卷（含解析版）

2016 年湖北省宜昌市中考数学试卷一、选择题（共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分） 1．（3 分）（2016•宜昌）如果“盈利 5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　） A．亏损 3% B．亏损 8% C．盈利 2% D．少赚 3% 2．（3 分）（2016•宜昌）下列各数：1.414，，﹣ ，0，其中是无理数的为（　　） A．1.414B． C．﹣ D．0 3．（3 分）（2016•宜昌）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）（2016•宜昌）把 0.22×105 改成科学记数法的形式，正确的是（　　） A．2.2×103 B．2.2×104 C．2.2×105 D．2.2×106 5．（3 分）（2016•宜昌）设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则 a 与 b 的关系是（　　） A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 6．（3 分）（2016•宜昌）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为 10 次、50 次、100 次，200 次，其中实验相对科学的是（　　） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 7．（3 分）（2016•宜昌）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3 分）（2016•宜昌）分式方程 =1 的解为（　　） A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2 第 1 页（共 23 页） 9．（3 分）（2016•宜昌）已知 M、N、P、Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（　　） A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补 10．（3 分）（2016•宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 11．（3 分）（2016•宜昌）在 6 月 26 日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命，远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在 17 至 21 岁的统计结果如图所示，则这些年龄的众数是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 12．（3 分）（2016•宜昌）任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　）第 2 页（共 23 页） A．△EGH 为等腰三角形 B．△EGF 为等边三角形 C．四边形 EGFH 为菱形 D．△EHF 为等腰三角形 13．（3 分）（2016•宜昌）在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 14．（3 分）（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2 分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 15．（3 分）（2016•宜昌）函数 y= 的图象可能是（　　） A． B． C． D．　二、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．（6 分）（2016•宜昌）计算：（﹣2）2×（1﹣ ）．第 3 页（共 23 页） 17．（6 分）（2016•宜昌）先化简，再求值：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中 x= ．18．（7 分）（2016•宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足为 D，已知 AB=20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度． 19．（7 分）（2016•宜昌）如图，直线 y= x+ 与两坐标轴分别交于 A、B 两点．（1）求∠ABO 的度数；（2）过 A 的直线 l 交 x 轴正半轴于 C，AB=AC，求直线 l 的函数解析式．第 4 页（共 23 页） 20．（8 分）（2016•宜昌）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是______事件；（可能，必然，不可能）（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 21．（8 分）（2016•宜昌）如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD∥AB，连接 AC、 AD、OD，其中 AC=CD，过点 B 的切线交 CD 的延长线于 E．（1）求证：DA 平分∠CDO；（2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）． 22．（10 分）（2016•宜昌）某蛋糕产销公司 A 品牌产销线，2015 年的销售量为 9.5 万份，平均每份获利 1.9 元，预计以后四年每年销售量按 5000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2014 年底就投入资金 10.89 万元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线 2015 年的销售量为 1.8 万份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的 2 倍逐年递增；这样，2016 年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到 11.4 万份，B 品牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求 A 品牌产销线 2018 年的销售量；（2）求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数．第 5 页（共 23 页） 23．（11 分）（2016•宜昌）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 是△ABC 内部或 BC 边上的一个动点（与 B、C 不重合），以 D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比 k＞ 1），EF∥BC．（1）求∠D 的度数；（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH． ①如图 1，连接 GH、AD，当 GH⊥AD 时，请判断四边形 AGDH 的形状，并证明； ②当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 AP⊥EF 于 P，且 AP=AD，求 k 的值．第 6 页（共 23 页） 24．（12 分）（2016•宜昌）已知抛物线 y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m 为常数，﹣1≤m≤ 4）．A（﹣m﹣1，y1），B（，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°得到直线 a，过抛物线顶点 P 作 PH⊥a 于 H．（1）用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）若无论 m 取何值，抛物线与直线 y=x﹣km（k 为常数）有且仅有一个公共点，求 k 的值；（3）当 1＜PH≤6 时，试比较 y1，y2，y3 之间的大小．　第 7 页（共 23 页） 2016 年湖北省宜昌市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分） 1．（3 分）（2016•宜昌）如果“盈利 5%”记作+5%，那么﹣3%表示（　　） A．亏损 3% B．亏损 8% C．盈利 2% D．少赚 3% 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵盈利 5%”记作+5%， ∴﹣3%表示表示亏损 3%．故选：A．　2．（3 分）（2016•宜昌）下列各数：1.414，，﹣ ，0，其中是无理数的为（　　） A．1.414B． C．﹣ D．0 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有 π 的数，解答即可．【解答】解：是无理数．故选 B．　3．（3 分）（2016•宜昌）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（　　） A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选 A．　4．（3 分）（2016•宜昌）把 0.22×105 改成科学记数法的形式，正确的是（　　） A．2.2×103 B．2.2×104 C．2.2×105 D．2.2×106 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：将 0.22×105 用科学记数法表示为 2.2×104．故选 B．第 8 页（共 23 页）　5．（3 分）（2016•宜昌）设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则 a 与 b 的关系是（　　） A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形的内角和等于 a， ∴a=（4﹣2）•180°=360°． ∵五边形的外角和等于 b， ∴b=360°， ∴a=b．故选 B．　6．（3 分）（2016•宜昌）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为 10 次、50 次、100 次，200 次，其中实验相对科学的是（　　） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故选：D．　7．（3 分）（2016•宜昌）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（　　） A． B． C． D．【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可．【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置， ∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是一个，，，，主视图是它们中 ∴主视图不可能是．故选 A，　8．（3 分）（2016•宜昌）分式方程 A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2 =1 的解为（　　）第 9 页（共 23 页）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，解得：x=﹣1，经检验 x=﹣1 是分式方程的解，则分式方程的解为 x=﹣1．故选：A．　9．（3 分）（2016•宜昌）已知 M、N、P、Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（　　） A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项 A 错误； ∠NOP=48°，故选项 B 错误；如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON 比∠MOQ 大，故选项 C 正确；由以上可得，∠MOQ 与∠MOP 不互补，故选项 D 错误．故选：C．　10．（3 分）（2016•宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段 AB 的长小于点 A 绕点 C 到 B 的长度，从而确定答案．【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， ∴线段 AB 的长小于点 A 绕点 C 到 B 的长度， ∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选 D．第 10 页（共 23 页）　11．（3 分）（2016•宜昌）在 6 月 26 日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命，远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在 17 至 21 岁的统计结果如图所示，则这些年龄的众数是（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可．【解答】解：由条形图可得：年龄为 20 岁的人数最多，故众数为 20．故选 C．　12．（3 分）（2016•宜昌）任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（　　） A．△EGH 为等腰三角形 B．△EGF 为等边三角形 C．四边形 EGFH 为菱形 D．△EHF 为等腰三角形【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．【解答】解：A、正确．∵EG=EH， ∴△EGH 是等边三角形． B、错误．∵EG=GF， ∴△EFG 是等腰三角形，若△EFG 是等边三角形，则 EF=EG，显然不可能． C、正确．∵EG=EH=HF=FG， ∴四边形 EHFG 是菱形． D、正确．∵EH=FH， ∴△EFH 是等边三角形．第 11 页（共 23 页）故选 B．　13．（3 分）（2016•宜昌）在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（　　） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH 然后和 OA 比较大小．最后得到哪些树需要移除．【解答】解：∵OA= =，∴OE=2＜OA，所以点 E 在⊙O 内， OF=2＜OA，所以点 F 在⊙O 内， OG=1＜OA，所以点 G 在⊙O 内， OH= =2 ＞OA，所以点 H 在⊙O 外，故选 A 　14．（3 分）（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2 分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）， ∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌， ∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选 C．　15．（3 分）（2016•宜昌）函数 y= 的图象可能是（　　）第 12 页（共 23 页） A． B． C． D．【分析】函数 y= 是反比例 y= 的图象向左移动一个单位，根据反比例函数的图象特点判断即可．【解答】解：函数 y= 是反比例 y= 的图象向左移动一个单位，即函数 y= 是图象是反比例 y= 的图象双曲线向左移动一个单位．故选 C 　二、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．（6 分）（2016•宜昌）计算：（﹣2）2×（1﹣ ）．【分析】直接利用有理数乘方运算法则化简，进而去括号求出答案．【解答】解：（﹣2）2×（1﹣ ）=4×（1﹣ =4× ）=1．　17．（6 分）（2016•宜昌）先化简，再求值：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中 x= ．【分析】直接利用整式乘法运算法则计算，再去括号，进而合并同类项，把已知代入求出答案．【解答】解：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x） =4×2+（2x﹣4×2﹣1+2x） =4×2+4x﹣4×2﹣1 =4x﹣1，当 x= 时，原式=4× ﹣1=﹣ ．　18．（7 分）（2016•宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足为 D，已知 AB=20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度．第 13 页（共 23 页）【分析】由 AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠ CDO=90°，易得 OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得 OD=OB，利用 ASA 定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即 OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD=OB，在△ABO 与△CDO 中，，∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m）　19．（7 分）（2016•宜昌）如图，直线 y= x+ 与两坐标轴分别交于 A、B 两点．（1）求∠ABO 的度数；（2）过 A 的直线 l 交 x 轴正半轴于 C，AB=AC，求直线 l 的函数解析式．【分析】（1）根据函数解析式求出点 A、B 的坐标，然后在 Rt△ABO 中，利用三角函数求出 tan∠ABO 的值，继而可求出∠ABO 的度数；（2）根据题意可得，AB=AC，AO⊥BC，可得 AO 为 BC 的中垂线，根据点 B 的坐标，得出点 C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线 l 的函数解析式．【解答】解：（1）对于直线 y= x+ 令 x=0，则 y= 令 y=0，则 x=﹣1，，，故点 A 的坐标为（0，），点B 的坐标为（﹣1，0），则 AO= ，BO=1，在 Rt△ABO 中，第 14 页（共 23 页） ∵tan∠ABO= =，∴∠ABO=60°；（2）在△ABC 中， ∵AB=AC，AO⊥BC， ∴AO 为 BC 的中垂线，即 BO=CO，则 C 点的坐标为（1，0），设直线 l 的解析式为：y=kx+b（k，b 为常数），则，解得：，即函数解析式为：y=﹣ x+ ．　20．（8 分）（2016•宜昌）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是　不可能　事件；（可能，必然，不可能）（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．【分析】（1）根据随机事件的概念可知是随机事件；（2）求概率要画出树状图分析后得出．【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；（2）树状图法即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为　= ． 21．（8 分）（2016•宜昌）如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD∥AB，连接 AC、 AD、OD，其中 AC=CD，过点 B 的切线交 CD 的延长线于 E．（1）求证：DA 平分∠CDO；（2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）．第 15 页（共 23 页）【分析】（1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO 即可．（2）首先证明 ==，再证明∠DOB=60°得△BOD 是等边三角形，由此即可解决问题．【解答】证明：（1）∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD，又∵OA=OD， ∴∠ADO=∠BAD， ∴∠ADO=∠CDA， ∴DA 平分∠CDO．（2）如图，连接 BD， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA，又∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴∠CDA=∠BAD=∠CAD， ∴==，又∵∠AOB=180°， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△DOB 是等边三角形， ∴BD=OB= AB=6， ∵=，∴AC=BD=6， ∵BE 切⊙O 于 B， ∴BE⊥AB， ∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°， ∵CD∥AB， ∴BE⊥CE， ∴DE= BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6× =3 ，∴的长= =2π， ∴图中阴影部分周长之和为 2 =4π+9+3 =4×3.1+9+3×1.7=26.5．第 16 页（共 23 页）　22．（10 分）（2016•宜昌）某蛋糕产销公司 A 品牌产销线，2015 年的销售量为 9.5 万份，平均每份获利 1.9 元，预计以后四年每年销售量按 5000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2014 年底就投入资金 10.89 万元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线 2015 年的销售量为 1.8 万份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的 2 倍逐年递增；这样，2016 年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到 11.4 万份，B 品牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求 A 品牌产销线 2018 年的销售量；（2）求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数．【分析】（1）根据题意容易得出结果；（2）设 A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为 x，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为 k 万份；根据题意列出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）；答：品牌产销线 2018 年的销售量为 8 万份；（2）设 A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为 x，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为 k 万份；根据题意得：解得：，，或（不合题意，舍去）， ∴，∴2x=10%；答：B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数为 10%．　23．（11 分）（2016•宜昌）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 是△ABC 内部或 BC 边上的一个动点（与 B、C 不重合），以 D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比 k＞ 1），EF∥BC．（1）求∠D 的度数；（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH． ①如图 1，连接 GH、AD，当 GH⊥AD 时，请判断四边形 AGDH 的形状，并证明； ②当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 AP⊥EF 于 P，且 AP=AD，求 k 的值．第 17 页（共 23 页）【分析】（1）先判断△ABC 是直角三角形，即可；（2）①先判断 AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形； ②先判断面积最大时点 D 的位置，由△BGD∽△BAC，找出 AH=8﹣ GA，得到 S 矩形 AGDH=﹣ AG2+8AG，确定极值，AG=3 时，面积最大，最后求 k 得值．【解答】解：（1）∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠D=∠BAC=90°，（2）①四边形 AGDH 为正方形，理由：如图 1，延长 ED 交 BC 于 M，延长 FD 交 BC 于 N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠C， ∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE，同理：DF∥AC， ∴四边形 AGDH 为平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形 AGDH 为矩形， ∵GH⊥AD， ∴四边形 AGDH 为正方形； ②当点 D 在△ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大，理由：如图 2，第 18 页（共 23 页）点 D 在内部时（N 在△ABC 内部或 BC 边上），延长 GD 至 N，过 N 作 NM⊥AC 于 M， ∴矩形 GNMA 面积大于矩形 AGDH， ∴点 D 在△ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大，只有点 D 在 BC 边上时，面积才有可能最大，如图 3，点 D 在 BC 上， ∵DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴∴∴，，，∴AH=8﹣ GA，矩形 AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG， S当 AG=﹣ =3 时，S 矩形 AGDH 最大，此时，DG=AH=4，即：当 AG=3，AH=4 时，S 矩形 AGDH 最大，在 Rt△BGD 中，BD=5， ∴DC=BC﹣BD=5，即：点 D 为 BC 的中点， ∵AD= BC=5， ∴PA=AD=5，延长 PA，∵EF∥BC，QP⊥EF， ∴QP⊥BC， ∴PQ 是 EF，BC 之间的距离， ∴D 是 EF 的距离为 PQ 的长，第 19 页（共 23 页）在△ABC 中， AB×AC= BC×AQ ∴AQ=4.8 ∵△DEF∽△ABC， ∴k= ==．　24．（12 分）（2016•宜昌）已知抛物线 y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m 为常数，﹣1≤m≤ 4）．A（﹣m﹣1，y1），B（，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点 O 逆时针旋转 90°得到直线 a，过抛物线顶点 P 作 PH⊥a 于 H．（1）用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）若无论 m 取何值，抛物线与直线 y=x﹣km（k 为常数）有且仅有一个公共点，求 k 的值；（3）当 1＜PH≤6 时，试比较 y1，y2，y3 之间的大小．【分析】（1）根据顶点坐标公式即可解决问题．（2）列方程组根据△=0 解决问题．（3）首先证明 y1=y3，再根据点 B 的位置，分类讨论，①令＜﹣m﹣1，求出 m 的范围即可判断，②令 =﹣m﹣1，则 A 与 B 重合，此情形不合题意，舍弃． ③令＞﹣m﹣1，求出 m 的范围即可判断，④令﹣ ≤ ＜﹣m，求出 m 的范围即可判断，⑤令 =﹣m，B，C 重合，不合题意舍弃．⑥令＞﹣m，求出 m 的范围即可判断．【解答】解：（1）∵﹣ =﹣ ，==﹣ ，∴顶点坐标（﹣ （2）由，﹣ ）．消去 y 得 x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0， ∵抛物线与 x 轴有且仅有一个公共点， ∴△=0，即（k﹣3）m=0， ∵无论 m 取何值，方程总是成立，第 20 页（共 23 页） ∴k﹣3=0， ∴k=3，（3）PH=|﹣ ∵1＜PH≤6， ﹣（﹣ ）|=| |， ∴当 ∴＞0 时，有 1＜ ≤6，又﹣1≤m≤4，＜m ，＜0 时，1＜﹣ ，当≤6，又∵﹣1≤m≤4， ∴﹣1 ∴﹣1≤m＜﹣ 或＜m≤ ，∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上， ∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m， ∵C（﹣m，y3）在抛物线上， ∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m， ∴y1=y3， ①令＜﹣m﹣1，则有 m＜﹣ ，结合﹣1≤m≤﹣ ∴﹣1≤m＜﹣ ，，此时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，如图 1， ∴y2＞y1=y3，即当﹣1≤m＜﹣ 时，有 y2＞y1=y3． ②令 =﹣m﹣1，则 A 与 B 重合，此情形不合题意，舍弃． ③令＞﹣m﹣1，且 ≤﹣ ∴﹣ ＜m≤﹣ 时，有﹣ ＜m≤﹣ ，结合﹣1≤m＜﹣ ，，此时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，如图 2， ∴y1=y3＞y2，即当﹣ ＜m≤﹣ 时，有 y1=y3＞y2， ④令﹣ ≤ ＜﹣m，有﹣ ≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣ ， ∴﹣ ≤m＜﹣ ，此时，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，如图 3， ∴y2＜y3=y1．第 21 页（共 23 页） ⑤令 =﹣m，B，C 重合，不合题意舍弃． ⑥令＞﹣m，有 m＞0，结合＜m≤ ＜m≤ ，∴，此时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，如图 4， ∴y2＞y3=y1，即当＜m≤ 时，有 y2＞y3=y1，＜m≤ ＜m＜﹣ 时，有 y2＜y1=y3．综上所述，﹣1≤m＜﹣ 或时，有 y2＞y1=y3， ﹣　第 22 页（共 23 页）参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；caicl；CJX；星月相随；sd2011；sjzx；弯弯的小河；王学峰；gbl210；fangcao；733599；wdzyzmsy@126.com（排名不分先后）菁优网 2016 年 9 月 19 日第 23 页（共 23 页）