2016年江苏省南京市中考数学试卷（含解析版）

2016年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（　　） A．0.7×105B．7×104 C．7×105 D．70×103 2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（　　） A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5| 3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（　　） A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3 4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．2 6．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（　　） A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）化简： =　； =　．第1页（共35页） 8．（2分）若式子 9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=　． 10．（2分）比较大小： ﹣3　11．（2分）分式方程的解是　　．在实数范围内有意义，则x的取值范围是　．．12．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=　，m=　． 13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=　°． 14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的序号是　． 15．（2分）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为　．第2页（共35页） 16．（2分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　cm．　三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组，并写出它的整数解． 18．（7分）计算 ﹣．19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（　　） A．九年级学生成绩的众数与平均数相等第3页（共35页） B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等 C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数 D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论 AA′=BB′ 平移（1）　AA′∥BB′ 轴对称（2）　（3）　旋转（4）　AB=A′B′；对应线段AB和A′B′ 所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．第4页（共35页） 21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．证法1：∵　， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵　， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2． 22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．第5页（共35页） 23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　 L/km．　L/km、　（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？ 24．（7分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE ．第6页（共35页）（1）求证：∠D=∠F；（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）． 25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tan x轴建立直角坐标系．，以O为原点，OA所在直线为（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？第7页（共35页） 26．（8分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC 分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．（1）求证：AB=AC．（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．第8页（共35页） 27．（11分）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的　倍，横坐标不变，得到函数y= 的图象；也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的　倍，纵坐标不变，得到函数y= 的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　的图象；（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点　． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3）函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣ 的图象？（写出一种即可）　第9页（共35页） 2016年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统，根据规划，全市公共自行车总量明年将达70000辆，用科学记数法表示70000是（　　） A．0.7×105B．7×104 C．7×105 D．70×103 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：70000=7×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　2．（2分）数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（　　） A．﹣3+5 B．﹣3﹣5 C．|﹣3+5| D．|﹣3﹣5| 【分析】由距离的定义和绝对值的关系容易得出结果．第10页（共35页）【解答】解：∵点A、B表示的数分别是5、﹣3， ∴它们之间的距离=|﹣3﹣5|=8，故选：D．【点评】本题考查绝对值的意义、数轴上两点间的距离；理解数轴上两点间的距离与绝对值的关系是解决问题的关键．　3．（2分）下列计算中，结果是a6的是（　　） A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3 【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可． B：根据同底数幂的乘法法则计算即可． C：根据同底数幂的除法法则计算即可． D：幂的乘方的计算法则：（am）n=amn（m，n是正整数），据此判断即可．【解答】解：∵a2+a4≠a6， ∴选项A的结果不是a6； ∵a2•a3=a5， ∴选项B的结果不是a6； ∵a12÷a2=a10， ∴选项C的结果不是a6； ∵（a2）3=a6， ∴选项D的结果是a6．故选：D．【点评】（1）此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法第11页（共35页）则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．（2）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．（3）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．　4．（2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（　　） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．【解答】解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意； C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意； D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2 =c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键．第12页（共35页）　5．（2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．2 【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，连接OA、OB，OG； ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=2， ∴OG=OA•sin60°=2× =，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为故选B．．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算，记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型．　6．（2分）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（　　） A．1 B．6 C．1或6 D．5或6 【分析】根据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题．第13页（共35页）【解答】解：∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等， ∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5， ∴x=1或6，故选C．【点评】本题考查方差、平均数等知识，解题的关键利用结论：数据x1，x2，… xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同解决问题，属于中考常考题型．　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．（2分）化简： =　2 　； =　2　．【分析】根据二次根式的性质和立方根的定义化简即可．【解答】解： ==2 ；=2．故答案为：2 ；2．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．　8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴x﹣1≥0，解得x≥1．第14页（共35页）故答案为：x≥1．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．　9．（2分）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）=　（b+c）（2a﹣3）　．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．　10．（2分）比较大小： ﹣3　＜　．【分析】先判断出 ﹣3与 ﹣2的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴∴﹣3＜0， ﹣2＞0， ﹣3＜．故答案为：＜．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数与负数比较大小的法则是解答此题的关键．　11．（2分）分式方程的解是　3　．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x=3（x﹣2），去括号得：x=3x﹣6，第15页（共35页）解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．　12．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=　 4　，m=　3　．【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣ =4，x1x2= =m，将其代入等式x1+x2 ﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根， ∴x1+x2=﹣ =4，x1x2= =m． ∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1， ∴m=3．故答案为：4；3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=4，x1x2=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．　13．（2分）如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=　119　 °．第16页（共35页）【分析】在⊙O上取点D，连接AD，BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD， ∵∠AOB=122°， ∴∠ADB= ∠AOB= ×122°=61°． ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ACB=180°﹣61°=119°．故答案为：119．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．　14．（2分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论： ①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的序号是　①②③　．第17页（共35页）【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．【解答】解：∵△ABO≌△ADO， ∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD， ∴AC⊥BD，故①正确； ∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴∠COB=∠COD=90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确 ∴BC=DC，故②正确；故答案为①②③．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法：S SS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解题的关键．　15．（2分）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为　．第18页（共35页）【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位线， ∴DB=2EF=2×2=4， ∵AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴=，即= ，解得AC= ．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．　16．（2分）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为　13　cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC= cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD= cm，第19页（共35页）所以菱形的边长= 故答案为：13． cm．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．　三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）解不等式组，并写出它的整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，最后求其整数解即可．【解答】解：解不等式3x+1≤2（x+1），得：x≤1，解不等式﹣x＜5x+12，得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．　18．（7分）计算【分析】首先进行通分运算，进而合并分子，进而化简求出答案．【解答】解： ﹣．﹣=﹣==．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．第20页（共35页）　19．（7分）某校九年级有24个班，共1000名学生，他们参加了一次数学测试，学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（　　） A．九年级学生成绩的众数与平均数相等 B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等 C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数 D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数【分析】（1）用九年级学生的总分除以总人数即可得出答案；（2）根据条形统计图和扇形统计图不能求出众数和中位数，从而得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：（80×1000×60%+82.5×1000×40%）÷1000 =81（分），答：该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数是81分；（2）A、根据统计图不能求出九年级学生成绩的众数，故本选项错误； B．根据统计图不能求出九年级学生成绩的中位数，故本选项错误；第21页（共35页） C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数不一定等于九年级学生成绩的平均数，故本选项错误； D．随机抽取300名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．　20．（8分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论图形的变化AA′=BB′ （1）　AB=A′B′，AB∥A′B′　平移AA′∥BB′ （2）　（3）　轴对AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交 l垂直平分A A′　，交点在对称轴l上．　第22页（共35页）称（4）　旋转AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成 OA=OA′，∠ 的角与旋转角相等或互补． AOA′=∠BO B′　【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；（2）根据轴对称的性质即可得到结论；（3）同（2）；（4）由旋转的性质即可得到结论．【解答】解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）轴对称的性质：AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为：l垂直平分AA′．（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．故答案为：（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AO A′=∠BOB′．【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质，余角和补角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．　21．（8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．第23页（共35页）求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．证法1：∵　平角等于180°　， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵　∠1+∠2+∠3=180°　， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540° ，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2 +∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+ ∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．【解答】证明：证法1：∵平角等于180°， ∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）． ∵∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2， ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）， ∵∠1+∠2+∠3=180°，第24页（共35页） ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．故答案为：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．【点评】本题考查了多边形的外角和：n边形的外角和为360°．也考查了三角形内角和定理和外角性质．　22．（8分）某景区7月1日﹣7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游，求下列事件的概率：（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．【分析】（1）由天气预报是晴的有4天，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先利用列举法可得：随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴，晴阴，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵天气预报是晴的有4天， ∴随机选择一天，恰好天气预报是晴的概率为：；（2）∵随机选择连续的两天等可能的结果有：晴晴，晴雨，雨阴，阴晴，晴晴第25页（共35页），晴阴， ∴随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴的概率为： = ．【点评】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　23．（8分）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为　0.13　L/km、　 0.14　L/km．（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【分析】（1）和（2）：先求线段AB的解析式，因为速度为50km/h的点在AB上，所以将x=50代入计算即可，速度是100km/h的点在线段BC上，可由已知中的“ 该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km”列式求得，也可以利用解析式求解；（3）观察图形发现，两线段的交点即为最低点，因此求两函数解析式组成的方程组的解即可．【解答】解：（1）设AB的解析式为：y=kx+b，第26页（共35页）把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得：解得 ∴AB：y=﹣0.001x+0.18，当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+（100﹣90）×0.002=0.14， ∴当x=100时，y=0.14，故答案为：0.13，0.14；（2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18；（3）设BC的解析式为：y=kx+b，把（90，0.12）和（100，0.14）代入y=kx+b中得：解得，∴BC：y=0.002x﹣0.06，根据题意得解得，答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km．【点评】本题考查了一次函数的应用，正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．　24．（7分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使∠FBC=∠DCE ．第27页（共35页）（1）求证：∠D=∠F；（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．【分析】（1）BF交AD于G，先利用AD∥BC得到∠FBC=∠FGE，加上∠FBC=∠DC E，所以∠FGE=∠DCE，然后根据三角形内角和定理易得∠D=∠F；（2）分别作BC和BF的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O为圆心，OC为半径作△BCF的外接圆⊙O，⊙O交AD于P，连结BP、CP，则根据圆周角定理得到 ∠F=∠BPC，而∠F=∠D，所以∠D=∠BPC，接着可证明∠PCD=∠APB=∠PBC，于是可判断△BPC∽△CDP．【解答】（1）证明：BF交AD于G，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FBC=∠FGE，而∠FBC=∠DCE， ∴∠FGE=∠DCE， ∵∠GEF=∠DEC， ∴∠D=∠F；（2）解：如图，点P为所作．第28页（共35页）【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了平行四边形的性质．解决（2）小题的关键是利用圆周角定理作∠BPC=∠F．　25．（9分）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tan x轴建立直角坐标系．，以O为原点，OA所在直线为（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m，水面宽多少（取1.41，结果精确到0.1m）？【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x ，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．第29页（共35页）【解答】解：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．设PH=3x，在Rt△OHP中， ∵tanα= = ， ∴OH=6x．在Rt△AHP中， ∵tanβ= = ， ∴AH=2x， ∴OA=OH+AH=8x=4， ∴x= ， ∴OH=3，PH= ， ∴点P的坐标为（3，）；（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4）， ∵P（3，）在抛物线y=ax（x﹣4）上， ∴3a（3﹣4）= ，解得a=﹣ ， ∴抛物线的解析式为y=﹣ x（x﹣4）．当y=1时，﹣ x（x﹣4）=1，解得x1=2+ ，x2=2﹣ ，∴BC=（2+ ）﹣（2﹣ ）=2 =2×1.41=2.82≈2.8．答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．第30页（共35页）【点评】本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．　26．（8分）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC 分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．（1）求证：AB=AC．（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O 半径为r，由△AOD∽△ABN得，列出方程即可解决问题． =，得到AD= r，再由△GBD∽△ABN得 =【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，第31页（共35页） ∴AD=AE， ∴∠ADE=∠AED， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC；（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设 ⊙O半径为r， ∵四边形DFGE是矩形， ∴∠DFG=90°， ∴DG是⊙O直径， ∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∵OD=OE，OE⊥AC， ∵OD=OE． ∴AN平分∠BAC，∵AB=AC， ∴AN⊥BC，BN= BC=6，在RT△ABN中，AN= ==8， ∵OD⊥AB，AN⊥BC， ∴∠ADO=∠ANB=90°， ∵∠OAD=∠BAN， ∴△AOD∽△ABN，第32页（共35页） ∴=，即 = ，∴AD= r， ∴BD=AB﹣AD=10﹣ r， ∵OD⊥AB， ∴∠GDB=∠ANB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△GBD∽△ABN， ∴=，即 =，∴r= ，∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为．【点评】本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．　27．（11分）如图，把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=2x的图象；也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的　6　倍，横坐标不变，得到函数y= 的图象；也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的　6　倍，纵坐标不变，得到函数y= 的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原第33页（共35页）来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数　 y=4（x﹣1）2﹣2　的图象；（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点　D　． A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥ （3）函数y= 的图象可以经过怎样的变化得到函数y=﹣ 的图象？（写出一种即可）【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；（2）根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解；（3）首先把函数解析式变为y=﹣ 的规律即可求解． ==﹣1，然后根据（2）【解答】解：（1）把函数y= 的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，设y′=6y，x′=x，将y= 也可以把函数y= 的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，设y′=y，x′=6x，将y=y′，x= 代入xy=1可得y′= ，得到函数y= 的图象；，x=x′带入xy=1可得y′= ，得到函数y= 的图象；（2）（Ⅰ）函数y=x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不第34页（共35页）变”的变化后，得到y=4×2的图象；y=4×2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y=4（x﹣1）2的图象；y=4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y=4（x﹣1）2﹣2的图象．（Ⅱ）为了得到函数y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y=﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y=﹣x2﹣2的图象，再把y=﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y=﹣（x﹣ ）2﹣2的图象；最后把y=﹣（x﹣ ）2 ﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y=﹣（ x﹣ ）2﹣2的图象，即y=﹣ （x﹣1）2﹣2的图象．（3）∵y=﹣ ∴函数y= 的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y= ；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y=﹣ 的图象． ==﹣1，故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y=4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．　第35页（共35页）