2016年广西省南宁市中考数学试卷（含解析版）

试2016年广西省南宁市中考数学卷选择题题题题一、（本大共12小，每小 3分，共36分） ﹣1． 2的相反数是（　　） ﹣A． 2B．0 C．2 D．4 图摆 1线时放，光由上向下照射此正六棱柱的正投影是（　　） 2．把一个正六棱柱如 A． B． C． D．报报报道：2016年广西高考名人数约为创历 332000人，史新高，其中数 3．据《南国早》记为据332000用科学数法表示（　　） A．0.332×106 B．3.32×105 C．3.32×104 D．33.2×104 图经过则点（1，m）， m的值为（　　） 4．已知正比例函数y=3x的象﹣﹣3A． B．3 C． D．规5．某校定学生的学期数学成绩满为习绩成占40%，期末卷面成分100分，其中研究性学绩项绩则这绩（百分制）依次是80分，90分，小明学期的数学成是（　　占60%，小明的两成）A．80分 B．82分 C．84分 D．86分图顶钢则6．如，厂房屋人字形（等腰三角形）架的跨度BC=10米，∠B=36°，中柱AD（D 为边长中点）的是（　　）底A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米 7．下列运算正确的是（　　） 2A．a a=a B．ax+ay=axy C．m2•m4=m6 D．（y3）2=y5 ﹣线8．下列各曲中表示y是x的函数的是（　　）第1页（共28页） A． B． C． D．图9．如，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°，则为∠P的度数（　　） A．140° B．70° C．60° D．40° 庆销书，某种包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减1 10．超市店促经为则0元，两次降价后售价 90元，得到方程（　　） ﹣﹣﹣﹣﹣A．0.8x 10=90B．0.08x 10=90C．90 0.8x=10D．x 0.8x 10=90 图积记为则S1，S2， S1：S2等于（　　） 11．有3个正方形如所示放置，阴影部分的面依次 A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 22图图则﹣12．二次函数y=ax +bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的象如所示，方程ax +（b ）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定　第2页（共28页）题题题题二、填空（本大共6小，每小 3分，共18分）义则值围范是　　　　　　． 13．若二次根式有意，x的取图线线则14．如，平行 AB，CD被直 AE所截，∠1=50°， ∠A=　　　　　　． 2﹣15．分解因式：a 9=　　　　　　．图经16．如，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正图图经过对矩形OABC的方形（2016•南宁）如所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的积为值为　　　　　　．象线则8， k的角AC的中点D．若矩形OABC的面观18．察下列等式：层在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第　　　　　　．　题题题三、解答（本大共8小，共66分） ﹣3计﹣﹣19．算：| 2|+4cos30° （） +．第3页（共28页）组轴，并把解集在数上表示出来． 20．解不等式图标顶标别分是A（2，2），B（4，0 21．如，在平面直角坐系中，已知△ABC三个点的坐 ﹣），C（4， 4）请（1）画出△ABC向左平移6个单长位度后得到的△A1B1C1；为（2）以点O 位似中心，将△ABC 缩为请原来的，得到△A2B2C2，在y 轴侧右画出△A2 小值B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦．图书 “阅读圆读动设书诵读讲、演、征 22．在香八桂，梦” 数活中，某中学置了法、国学、赛项项赛该长文四个比目（每人只参加一个目），九（2）班全班同学都参加了比，班班赛绘线统计图的情况，收集整理数据后，制以下不完整的折为项了了解本班同学参加各比图统计图图图2），根据表中的信息解答下列各题（1）和扇形（：请（1）求出九（2）全班人数；请（2）把折线统计图补充完整；第4页（共28页）赛请树图们赛项（3）南南和宁宁参加了比，用“列表法”或“画状法”求出他参加的比目相同的概率． 23. 图线，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分，点O在AB上，以点O 为圆为心，OB 半径如的圆经过点D，交BC于点E．证（1）求：AC是⊙O的切线；长（2）若OB=10，CD=8，求BE的．第5页（共28页）铁线设队单这项队单独施 24．在南宁市地 1号某段工程建中，甲独完成工程需要150天，甲工30天后增加乙，两又共同工作了15天，共完成工程的．队单这项队队总（1）求乙独完成工程需要多少天？为进队队（2）了加快工程度，甲、乙两各自提高工作效率，提高后乙的工作效率是，队队队请的工作效率是乙的m倍（1≤m≤2），若两合作40天完成剩余的工程，写出a关于甲队m的函数关系式，并求出乙的最大工作效率是原来的几倍？边25．已知四形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边别线与射 CB，DC相交分于点E，F，且∠EAF=60°．图线时线间（1）如 1，当点E是段CB的中点，直接写出段AE，EF，AF之的数量关系；图线时证（2）如 2，当点E是段CB上任意一点（点E不与B、C重合），求：BE=CF；图线长线时上，且∠EAB=15° ，求点F到BC的距离．（3）如 3，当点E在段CB的延第6页（共28页）图26．如，已知抛物线经过顶为线﹣ A（1，1），且与直 y=x 2交于B，C两点．原点O，点线（1）求抛物的解析式及点C的坐标；证（2）求：△ABC是直角三角形；为轴动过轴线则上的一个点，点N作MN⊥x 与抛物交于点M，是否存在以O，（3）若点N x为顶请标请说 M，N 点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐；若不存在，明理由．　第7页（共28页）试2016年广西省南宁市中考数学卷试题参考答案与解析选择题题题题一、（本大共12小，每小 3分，共36分） ﹣1． 2的相反数是（　　） ﹣A． 2 B．0 C．2 D．4 【考点】相反数．为【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互相反数解答． ﹣【解答】解： 2的相反数是2．选故C．评【点】本　题查义了相反数的定，是基础题记，熟概念是解的关．题键考图摆线时放，光由上向下照射此正六棱柱的正投影是（　　） 2．把一个正六棱柱如 1A． B． C． D．【考点】平行投影．图摆【分析】根据平行投影特点以及中正六棱柱的放位置即可求解．图摆线时放，光由上向下照射此正六棱柱的正投影是正六【解答】解：把一个正六棱柱如边形．选故A．评【点】本题查时间了平行投影特点，不同位置，不同，影子的大小、形状可能不同，考应线具体形状按照物体的外形即光情况而定．　报报报道：2016年广西高考名人数约为创历 332000人，史新高，其中数 3．据《南国早》记为据332000用科学数法表示（　　） A．0.332×106B．3.32×105C．3.32×104D．33.2×104 记较【考点】科学数法—表示大的数．第8页（共28页） n记为为值时，【分析】科学数法的表示形式 a×10 的形式，其中1≤|a|＜10，n 整数．确定n的变时动绝对值动与小数点移的位数相同．当原数要看把原数成a ，小数点移了多少位，n的绝对值时＞1 ，n是正数；当原数的绝对值时负＜1 ，n是数． 5记为【解答】解：将332000用科学数法表示：3.32×10 ．选故：B． n评【点】此题查记记为了科学数法的表示方法．科学数法的表示形式 a×10 的形式，其考为中1≤|a|＜10，n 整数，表示时键值值关要正确确定a的以及n的．　图经过则值为 4．已知正比例函数y=3x的象点（1，m）， m的（　　） ﹣﹣3A． B．3 C．【考点】一次函数象上点的坐特征．题较为简单 D．图标标值．【分析】本，把坐代入解析式即可求出m的【解答】解：把点（1，m）代入y=3x，可得：m=3，选故B评【点】此题查问题较简单，利用待定系数法直接代入求出未知系数m，比考一次函数的．　规5．某校定学生的学期数学成绩满为习绩成占40%，期末卷面成分100分，其中研究性学绩项绩则这绩（百分制）依次是80分，90分，小明学期的数学成是（　　占60%，小明的两成）A．80分 B．82分 C．84分 D．86分权【考点】加平均数．权计【分析】利用加平均数的公式直接算即可得出答案．【解答】解：权由加平均数的公式可知= ==86，选故D．评题【点】本主要考查权计权平均数的算，掌握加平均数的公式= 加题是解的关键．第9页（共28页）　图顶钢则6．如，厂房屋人字形（等腰三角形）架的跨度BC=10米，∠B=36°，中柱AD（D 为边长中点）的是（　　）底A．5sin36°米 B．5cos36°米 C．5tan36°米 D．10tan36°米应【考点】解直角三角形的用．质【分析】根据等腰三角形的性得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进计行长算即可得到AD的度．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米， ∴DC=BD=5米，在Rt△ADC中，∠B=36°， ∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．选故：C．评【点】本题查应了解直角三角形的用．解决此问题键的关在于正确理解意的基上题础考实际问题转为问题．建立数学模型，把　化数学 7．下列运算正确的是（　　） 2246325﹣A．a a=aB．ax+ay=axy C．m •m =m D．（y ） =y 幂积【考点】的乘方与的乘方；合并同类项幂；同底数的乘法．类项幂、同底数的乘法等运算，结选项别进分幂积【分析】选择合行的乘方与的乘方、合并同然后正确答案． 2类项选项错误；【解答】解：A、a 和a不是同，不能合并，故本类项选项错误；B、ax和ay不是同，不能合并，故本 246计C、m •m =m ，算正确，故本选项正确； 3265选项错误 D、（y ） =y ≠y ，故本．选故C．第10页（共28页）评【点】本题查幂积的乘方与的乘方、合并同类项幂识、同底数的乘法的知，解答本考了题键识的关在于掌握各知点的运算法．则　线8．下列各曲中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D．【考点】函数的概念．义【分析】根据函数的意求解即可求出答案．义对变值值对应，【解答】解：根据函数的意可知：于自量x的任何，y都有唯一的与之相故D正确．选故D．评查义义【点】主要考了函数的定．注意函数的意反映在象上的判断方法是：做垂图简单轴线过图直x 的直在左右平移的程中与函数象只会有一个交点．　图9．如，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，∠DCE=40°，则为∠P的度数（　　） A．140° B．70° C．60° D．40° 圆【考点】周角定理．边圆结论．【分析】先根据四形内角和定理求出∠DOE的度数，再由周角定理即可得出别为【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分 D，E，∠DCE=40°， ﹣∴∠DOE=180° 40°=140°， ∴∠P= ∠DOE=70°．第11页（共28页）选故B．评【点】本题查圆圆圆的是周角定理，熟知在同或等中，同弧或等弧所对圆的周角相等考这，都等于条弧所对圆题键心角的一半是解答此的关．的　庆销书，某种包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个又减1 10．超市店促经为则0元，两次降价后售价 90元，得到方程（　　） ﹣﹣﹣﹣﹣A．0.8x 10=90B．0.08x 10=90C．90 0.8x=10D．x 0.8x 10=90 实际问题【考点】由抽象出一元一次方程．设书题【分析】某种包原价每个x元，根据意列出方程解答即可．设书﹣【解答】解：某种包原价每个x元，可得：0.8x 10=90，选故A评【点】本　题查题键题一元一次方程，解的关是明确意，能列出每次降价后的售价．考图积记为则S1，S2， S1：S2等于（　　） 11．有3个正方形如所示放置，阴影部分的面依次 A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9 质【考点】正方形的性．设【分析】小正方形的边长为质积 x，再根据相似的性求出S1、S2与正方形面的关系，然进计算即可得出答案．后行设【解答】解：小正方形的边长为图x，根据形可得： ∵∴= ， = ， ∴=，∴S1= S正方形ABCD ，第12页（共28页） ∴S1= x2， ∵∴= ， = ， ∴S2= S正方形ABCD ∴S2= x2， ∴S1：S2= x2： x2=4：9；，选故D．评【点】此题查质识了正方形的性，用到的知点是正方形的性、相似三角形的性、质质考积键题积正方形的面公式，关是根据意求出S1、S2与正方形面的关系．　22图图则﹣12．二次函数y=ax +bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的象如所示，方程ax +（b ）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定线轴【考点】抛物与x 的交点． 2设为图【分析】 ax +bx+c=0（a≠0）的两根 x1，x2，由二次函数的象可知x1+x2＞0，a＞0， 2设﹣为结论方程ax +（b ）x+c=0（a≠0）的两根 a，b再根据根与系数的关系即可得出． 2设为【解答】解： ax +bx+c=0（a≠0）的两根 x1，x2，第13页（共28页）图∵由二次函数的象可知x1+x2＞0，a＞0， ﹣∴＞0． 2设﹣为则﹣﹣= + 方程ax +（b ）x+c=0（a≠0）的两根 a，b， a+b= ，∵a＞0， ∴＞0， ∴a+b＞0．选故C．评【点】本题查线轴线轴的是抛物与x 的交点，熟知抛物与x 的交点与一元二次方程根的考题关系是解答此的关　键．题题题题二、填空（本大共6小，每小 3分，共18分）义则值围范是　x≥1　． 13．若二次根式有意，x的取义【考点】二次根式有意的条件．质【分析】根据二次根式的性可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．义﹣【解答】解：根据二次根式有意的条件，x 1≥0， ∴x≥1．为故答案：x≥1．评【点】此题查义证了二次根式有意的条件，只要保被开方数为负非数即可．考　图线线则14．如，平行 AB，CD被直 AE所截，∠1=50°， ∠A=　50°　．线【考点】平行的性质．线【分析】根据两直平行，同位角相等可得∠1=∠A．【解答】解：∵AB∥CD，第14页（共28页） ∴∠A=∠1， ∵∠1=50°， ∴∠A=50°，为故答案 50°．评题查线质题【点】本主要考了平行的性，解的关是掌握两直平行，同位角相等．键线　2﹣﹣15．分解因式：a 9=　（a+3）（a 3）　．【考点】因式分解-运用公式法．进【分析】直接利用平方差公式分解因式而得出答案． 2﹣﹣【解答】解：a 9=（a+3）（a 3）．为﹣故答案：（a+3）（a 3）．评【点】此主要考了公式法分解因式，熟题查练应题键关．用平方差公式是解　图经16．如，在4×4正方形网格中，有3个小正方形已涂黑，若再涂黑任意一个白色的小正图方形（2016•南宁）如所示，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图经过对矩形OABC的象线积为则值为 8， k的角AC的中点D．若矩形OABC的面　2　．义【考点】反比例函数系数k的几何意．过设【分析】 D作DE⊥OA于E， D（m，），于是得到OA=2m，OC= ，根据矩形的面积结论列方程即可得到．过【解答】解： D作DE⊥OA于E，设D（m，）， ∴OE=m．DE= ，对线AC的中点， ∵点D是矩形OABC的角第15页（共28页） ∴OA=2m，OC= ∵矩形OABC的面，积为 8， ∴OA•OC=2m• =8， ∴k=2，为故答案：2．评【点】本题查义质积了反比例函数系数k的几何意，矩形的性，根据矩形的面列出方考题程是解的关键．　观18．察下列等式：层在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第　44　．规【考点】律型：数字的变类化．图规计层算出每一的第一个数和最后一个数；发现过计别第一个数分是每一【分析】先按示律2层层数的平方，那么只要知道2016介于哪两个数的平方即可，通算可知：44 ＜2016 2则＜45 ， 2016在第44 层．22为 ﹣ 层为【解答】解：第一：第一个数 1 =1，最后一个数 2 1=3， 23为 ﹣ 层为第二：第一个数 2 =4，最后一个数 21=8， 24为 ﹣ 层为第三：第一个数 3 =9，最后一个数 21=15， ∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，层∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44 ，为故答案：44 第16页（共28页）评【点】本题查变类规题这类题题认考了数学化的律，的解思路是：①从第一个数起，真观细规察、仔思考，能不能用平方或奇偶或加、减、乘、除等律来表示；②利用方程来解问题设题为，先一个未知数，找到符合条件的方程即可；本以每一行的第一个数突破口决规，找出其律，得出　结论．题题题三、解答（本大共8小，共66分） ﹣3计﹣﹣19．算：| 2|+4cos30° （） +．实负幂【考点】数的运算；整数指数；特殊角的三角函数值．绝对值质值负幂质整数指数的性、二次根【分析】直接利用的性以及特殊角的三角函数进而求出答案．、质简，式的性化﹣【解答】解：原式=2+4× 8+2 ﹣=4 6．评题查实负幂数运算，正确利用整数指数的性质简题键关．【点】此主要考　了化是解组轴，并把解集在数上表示出来． 20．解不等式组轴【考点】解一元一次不等式；在数上表示不等式的解集．组【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式的解集．【解答】解：，解①得x≤1， ﹣解②得x＞ 3，，组﹣不等式的解集是： 3＜x≤1．评【点】本题查组组时了一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，一般先求出其中考这规各不等式的解集，再求出些解集的公共部分，解集的律：同大取大；同小取小；大小间小大中找；大大小小找不到．　第17页（共28页）图标顶标别分是A（2，2），B（4，0 21．如，在平面直角坐系中，已知△ABC三个点的坐 ﹣），C（4， 4）请（1）画出△ABC向左平移6个单长位度后得到的△A1B1C1；为（2）以点O 位似中心，将△ABC 缩为请原来的，得到△A2B2C2，在y 轴侧右画出△A2 小值B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦．图【考点】作 -位似变换图；作 -平移变换．别单【分析】（1）将A、B、C三点分向左平移6个位即可得到的△A1B1C1；连别线（2）接OA、OC，分取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直 AC与OB的值交点，求出∠ACB的正弦即可解决问题．请【解答】解：（1）画出△ABC向左平移6个单长图度后得到的△A1B1C1，如 1所示，位为（2）以点O 位似中心，将△ABC 缩为请原来的，得到△A2B2C2，在y 轴侧右画出△A2 小图B2C2，如 2所示，第18页（共28页） ﹣∵A（2，2），C（4， 4），B（4，0），线为﹣轴∴直 AC解析式 y= 3x+8，与x 交于点D（，0）， ∵∠CBD=90°， ∴CD= =，∴sin∠DCB= ==．．∵∠A2C2B2=∠ACB， ∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= 评【点】本题查变换变换识锐识题键角三角函数等知，解的关是理解考位似、平移等知，变换变换记锐住义题角三角函数的定，属于中考常考型．位似　、平移的概念，图书 “阅读圆读动设书诵读讲、演、征 22．在香八桂，梦” 数活中，某中学置了法、国学、赛项项赛该长文四个比目（每人只参加一个目），九（2）班全班同学都参加了比，班班赛绘线统计图的情况，收集整理数据后，制以下不完整的折为项了了解本班同学参加各比图统计图图图2），根据表中的信息解答下列各题（1）和扇形（：请（1）求出九（2）全班人数；请（2）把折线统计图补充完整；赛请树图们赛项（3）南南和宁宁参加了比，用“列表法”或“画状法”求出他参加的比目相同的概率．第19页（共28页）讲【分析】（1）由演人数12人，占25%，即可求得九（2）全班人数；书（2）首先求得法与国学诵读继补线统计图全折；人数，而题（3）首先根据意画出树图树图结们求得所有等可能的果与他参加的比赛状，然后由状项目相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．讲【解答】解：（1）∵演人数12人，占25%，为∴出九（2）全班人数：12÷25%=48（人）；诵读（2）∵国学诵读占50%，为人数：48×50%=24（人）， ∴国学书∴为﹣﹣﹣法人数：48 24 12 6=6（人）；补线统计图全折；别书诵读讲、演、征文，（3）分用A，B，C，D表示法、国学树图得：画状第20页（共28页）结们赛项 ∵共有16种等可能的果，他参加的比目相同的有4种情况，们∴他参加的比赛项为：目相同的概率 =．评【点】此题查树图线法求概率以及折与扇形统计图识的知．注意掌握折考了列表法或统计图对应关系．状线统计图与扇形的　23. 图线，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分，点O在AB上，以点O 为圆为心，OB 半径如的圆经过点D，交BC于点E．证（1）求：AC是⊙O的切线；长（2）若OB=10，CD=8，求BE的．线【考点】切的判定．专题计圆算题；与有关的位置关系．【】连为线对边对【分析】（1）接OD，由BD 角平分得到一角相等，根据OB=OD，等等角得对换到一角相等，等量代得到一对错进线内角相等，而确定出OD与BC平行，利用两直平为行同位角相等得到∠ODA 直径，即可得证；长进（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的，长连过长接EF， O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的，由BG+GC 而确定出AB的，长长求出BC的，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的即可．证连【解答】（1）明：接OD，为∵BD ∠ABC平分线，∴∠1=∠2， ∵OB=OD，第21页（共28页） ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°，则为圆线；AC O的切过（2）解： O作OG⊥BC，边为∴四形ODCG 矩形， ∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6， ∴BC=BG+GC=6+10=16， ∵OD∥BC， ∴△AOD∽△ABC， ∴=，即 =，解得：OA= ，∴AB= +10= ，连接EF，为圆 ∵BF 的直径， ∴∠BEF=90°， ∴∠BEF=∠C=90°， ∴EF∥AC， ∴=，即 =，解得：BE=12．第22页（共28页）评【点】此题查线质线质了切的判定，相似三角形的判定与性，平行的判定与性，以及考质练线题等腰三角形的性，熟掌握切的判定方法是解本的关键．　铁线设队单这项队单独施 24．在南宁市地 1号某段工程建中，甲独完成工程需要150天，甲工30天后增加乙，两又共同工作了15天，共完成工程的．队单这项队队总（1）求乙独完成工程需要多少天？为进队队（2）了加快工程度，甲、乙两各自提高工作效率，提高后乙的工作效率是，队队队请的工作效率是乙的m倍（1≤m≤2），若两合作40天完成剩余的工程，写出a关于甲队m的函数关系式，并求出乙的最大工作效率是原来的几倍？应应【考点】一次函数的用；分式方程的用．设队单这项题结论；【分析】（1）乙独完成（2）根据意得（ + ）×40= ，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性得到 = 结论工程需要x天，根据意得方程即可得到题质，即可得到．设队单这项工程需要x天，【解答】解：（1）乙独完成题根据意得 ×（30+15）+ ×15= ，解得：x=450，经检验 x=450是方程的根，队单这项工程需要450天；答：乙独完成题（2）根据意得（ + ）×40= ， ∴a=60m+60， ∵60＞0， ∴a随m的增大增大，时∴当m=1 ，最大， ∴ = ，∴÷=7.5倍，队答：乙的最大工作效率是原来的7.5倍第23页（共28页）评【点】此题查实际应应题键题用．分式方程的用，解的关是理解意，能考了一次函数的题结应根据意求得函数解析式，注意数形合与方程思想的用．　边25．已知四形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边别线与射 CB，DC相交分于点E，F，且∠EAF=60°．图线时线间（1）如 1，当点E是段CB的中点，直接写出段AE，EF，AF之的数量关系；图线时证（2）如 2，当点E是段CB上任意一点（点E不与B、C重合），求：BE=CF；图线长线时上，且∠EAB=15° ，求点F到BC的距离．（3）如 3，当点E在段CB的延边综题合．【考点】四形结论证证边【分析】（1） AE=EF=AF．只要明AE=AF即可明△AEF是等三角形．证证（2）欲明BE=CF，只要明△BAE≌△CAF即可．过过为（3）点A作AG⊥BC于点G，点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因 CF=BE，问题只要求出BE即可解决．结论【解答】（1）解： AE=EF=AF．图连理由：如 1中，接AC，边∵四形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，边∴△ABC，△ADC是等三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC， ∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等），第24页（共28页）边∴△AEF是等三角形， ∴AE=EF=AF．证图（2）明：如 2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．过过（3）解：点A作AG⊥BC于点G，点F作FH⊥EC于点H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°， ∴AG=GE=2 ，，﹣∴EB=EG BG=2 ∵△AEB≌△AFC， ﹣2， ﹣∴AE=AF，EB=CF=2 ∵∠EAF=60°，AE=AF， 2，∠AEB=∠AFC=45°，边∴△AEF是等三角形， ∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ﹣∴∠CEF=∠AEF ∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°， ﹣∴∠AFH=∠EFH ∠AFE=15°， ﹣∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC ∠AFH=30°，第25页（共28页） ﹣在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 2， ﹣﹣∴FH=CF•cos30°=（2 2）• =3 ．为 ﹣ 3∴点F到BC的距离．评【点】本题查边综题质边、菱形的性、等三角形的判定、全等三角形的判定和考四形合质识等知，解的关是灵活题键应这识些知解决问题辅线助，属于中考性用，学会添加常用压轴题．　图26．如，已知抛物线经过顶为线﹣ A（1，1），且与直 y=x 2交于B，C两点．原点O，点线（1）求抛物的解析式及点C的坐标；证（2）求：△ABC是直角三角形；为轴 x动过轴线则（3）若点N 上的一个点，点N作MN⊥x 与抛物交于点M，是否存在以O，请说明理由为顶请标M，N 点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐；若不存在，．综题．【考点】二次函数合设顶标线联点式，把原点坐代入可求得抛物解析式，立直与抛物解线线【分析】（1）可标析式，可求得C点坐；别过轴线轴结标（2）分 A、C两点作x 的垂，交x 于点D、E两点，合A、B、C三点的坐可求证结论得∠ABO=∠CBO=45°，可得；第26页（共28页）设标标长（3）出N点坐，可表示出M点坐，从而可表示出MN、ON的度，当△MON和△A 时质标，可求得N点的坐． BC相似，利用三角形相似的性可得 =或=【解答】解：顶（1）∵ 点坐标为（1，1）， 2设∴线为 ﹣ 抛物解析式 y=a（x 1） +1，线过又抛物原点， 2﹣﹣∴0=a（0 1） +1，解得a= 1， 2线为﹣﹣∴抛物解析式 y= （x 1） +1， 2﹣即y= x+2x，联线线立抛物和直解析式可得，解得或，﹣﹣∴B（2，0），C（ 1， 3）；图（2）如，分别过轴线轴 A、C两点作x 的垂，交x 于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3， ∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形； 2设满设则﹣（3）假存在足条件的点N， N（x，0）， M（x， x +2x）， 2﹣∴ON=|x|，MN=| x+2x|，别由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分求得AB= ，BC=3 ，轴∵MN⊥x 于点N ∴∠ABC=∠MNO=90°， ∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，第27页（共28页）时则﹣，即|x|| x+2|= |x|， ①当 =，有=时∵当x=0 M、O、N不能构成三角形， ∴x≠0， ﹣﹣∴| x+2|= ，即 x+2=± ，解得x= 或x= ，时标为时此N点坐（，0）或（，0）；则﹣，即|x|| x+2|=3|x|， ②当 =，有=﹣﹣﹣∴| x+2|=3，即 x+2=±3，解得x=5或x= 1，时标为 ﹣（1，0）或（5，0），此N点坐综满标为 ﹣（，0）或（，0）或（ 1，0）或（5，0）上可知存在足条件的N点，其坐．评【点】本题为综应识图用，涉及知点有待定系数法、象的交点问题二次函数的合、直角质三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性及分类讨论顶等．在（1）中注意点式的运设标质标题用，在（3）中出N、M的坐，利用相似三角形的性得到关于坐的方程是解的关键对应题查识较综多，合性较强难，度适中．，注意相似三角形点的．本考知点　第28页（共28页）