2016年山东省潍坊市中考数学试卷（含解析版）

2016年山东省潍坊市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 1．（3分）（2016•潍坊）计算：20•2﹣3=（　　） A．﹣ B． C．0 D．8 2．（3分）（2016•潍坊）下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（2016•潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（2016•潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（　　） A．1.2×1011 B．1.3×1011 C．1.26×1011 D．0.13×1012 5．（3分）（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 6．（3分）（2016•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 7．（3分）（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　）第1页（共24页） A． C． B． D． 8．（3分）（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 9．（3分）（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 10．（3分）（2016•潍坊）若关于x的方程 +=3的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣ 11．（3分）（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）第2页（共24页） A． ﹣B． ﹣C． ﹣D． ﹣12．（3分）（2016•潍坊）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95” 为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 13．（3分）（2016•潍坊）计算：（+）=　　　　　　． 14．（3分）（2016•潍坊）若3x2nym与x4﹣n n﹣1 y是同类项，则m+n=　　　　　　． 15．（3分）（2016•潍坊）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数） 70 80 92 将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　　　　　　分． 16．（3分）（2016•潍坊）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y ＜3时，自变量x的取值范围是　　　　　　． 17．（3分）（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边 OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　　　　　　． 18．（3分）（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A 3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　　　　　　．第3页（共24页）　三、解答题：本大题共7小题，共66分 19．（6分）（2016•潍坊）关于x的方程3×2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．20．（9分）（2016•潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n（分） 90≤n≤100 评定等级频数 ABCD280≤n＜90 70≤n＜80 15 6n＜70 根据以上信息解答下列问题：（1）求m的值；（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．第4页（共24页） 21．（8分）（2016•潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE． 22．（9分）（2016•潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端 A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）第5页（共24页） 23．（10分）（2016•潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 24．（12分）（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．第6页（共24页） 25．（12分）（2016•潍坊）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F ，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．　第7页（共24页） 2016年山东省潍坊市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分 1．（3分）（2016•潍坊）计算：20•2﹣3=（　　） A．﹣ B． C．0 D．8 【考点】负整数指数幂；零指数幂．菁优网版权所有【分析】直接利用负整数指数幂的性质结合零指数幂的性质分析得出答案．【解答】解：20•2﹣3=1× = ．故选：B．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质和零指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．　2．（3分）（2016•潍坊）下列科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　3．（3分）（2016•潍坊）如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（　　） A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有第8页（共24页）【分析】根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即可．【解答】解：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．故选：C．【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，掌握主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形是解题的关键．　4．（3分）（2016•潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2016年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）（　　） A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012 【考点】科学记数法与有效数字．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011．故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤| a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　5．（3分）（2016•潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．菁优网版权所有【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，则|a|+ =﹣a﹣（a﹣b） =﹣2a+b．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题关键．　6．（3分）（2016•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα= ，再由α为锐角，即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ x+sinα=0有两个相等的实数根，第9页（共24页） ∴△= ﹣4sinα=2﹣4sinα=0，解得：sinα= ，∵α为锐角， ∴α=30°．故选B．【点评】本题考查了根的判别式以及特殊角的三角形函数值，解题的关键是求出sinα= ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．　7．（3分）（2016•潍坊）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（　　） A． B． C． D．【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有【分析】先连接OP，易知OP是Rt△AOB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP= AB，由于木杆不管如何滑动，长度都不变，那么OP就是一个定值，那么P点就在以O为圆心的圆弧上．【解答】解：如右图，连接OP，由于OP是Rt△AOB斜边上的中线，所以OP= AB，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP是一个定值，点P就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线．故选D．【点评】本题考查了轨迹，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．　8．（3分）（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）第10页（共24页） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1）， a2+a=a（a+1）， a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2， ∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．　9．（3分）（2016•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（　　） A．10 B．8 C．4 D．2 【考点】切线的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H． ∵⊙M与x轴相切于点A（8，0）， ∴AM⊥OA，OA=8， ∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°， ∴四边形OAMH是矩形， ∴AM=OH， ∵MH⊥BC， ∴HC=HB=6， ∴OH=AM=10，在RT△AOM中，OM= ==2 ．第11页（共24页）故选D．【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．　10．（3分）（2016•潍坊）若关于x的方程 +=3的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＜且m≠ C．m＞﹣ D．m＞﹣ 且m≠﹣ 【考点】分式方程的解．菁优网版权所有【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．【解答】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，∵关于x的方程 ∴﹣2m+9＞0， +=3的解为正数，级的：m＜，当x=3时，x= =3，解得：m= ，故m的取值范围是：m＜且m≠ 故选：B．．【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．　11．（3分）（2016•潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2 ，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（　　） A． ﹣B． ﹣C． ﹣D． ﹣【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有第12页（共24页）【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可解决问题．【解答】解：如图连接OD、CD． ∵AC是直径， ∴∠ADC=90°， ∵∠A=30°， ∴∠ACD=90°﹣∠A=60°， ∵OC=OD， ∴△OCD是等边三角形， ∵BC是切线． ∴∠ACB=90°，∵BC=2 ∴AB=4 ，AC=6，，∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD ）==×6×2 ﹣×3× ﹣（ ﹣×32） ﹣π．故选A．【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．　12．（3分）（2016•潍坊）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95” 为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 【考点】一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：由题意得，解不等式①得，x≤47，，第13页（共24页）解不等式②得，x≤23，解不等式③得，x＞11，所以，x的取值范围是11＜x≤23．故选C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．　二、填空题：本大题共6小题，每小题3分 13．（3分）（2016•潍坊）计算：【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有【专题】计算题．（+）=　12　．【分析】先把【解答】解：原式= •（ +3 ×4 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算．）==12．故答案为12．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．　14．（3分）（2016•潍坊）若3x2nym与x4﹣n n﹣1 是同类项，则m+n=　． y【考点】同类项．菁优网版权所有【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．【解答】解：∵3x2nym与x4﹣n n﹣1 y是同类项， ∴，解得：则m+n= +=．故答案为：．【点评】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．　15．（3分）（2016•潍坊）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分数） 70 80 92 第14页（共24页）将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是　77.4　分．【考点】加权平均数．菁优网版权所有【分析】根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达× 所占的比值即可求得．【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70× 故答案为：77.4． +80× +92× =77.4（分），【点评】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．　16．（3分）（2016•潍坊）已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1），则当1＜y ＜3时，自变量x的取值范围是　﹣3＜x＜﹣1　．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】根据反比例函数过点（3，﹣1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，根据k值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别代入y=1、y=3求出x值，即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过（3，﹣1）， ∴k=3×（﹣1）=﹣3， ∴反比例函数的解析式为y= ∵反比例函数y= 中k=﹣3， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增．．当y=1时，x= 当y=3时，x= =﹣3； =﹣1． ∴1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．故答案为：﹣3＜x＜﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出k值，再根据反比例函数的性质找出去增减性是关键．　17．（3分）（2016•潍坊）已知∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边 OA上，且OM=4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是　2 　．【考点】轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有【分析】过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，则MN′的长度等于PM+PN的最小值，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值， ∵∠ON′M=90°，OM=4，第15页（共24页） ∴MN′=OM•sin60°=2 ，∴点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2 ．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．　18．（3分）（2016•潍坊）在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn﹣1，使得点A1、A2、A 3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是　（2n﹣1，2n﹣1）　．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．菁优网版权所有【专题】规律型．【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．【解答】解：∵y=x﹣1与x轴交于点A1， ∴A1点坐标（1，0）， ∵四边形A1B1C1O是正方形， ∴B1坐标（1，1）， ∵C1A2∥x轴， ∴A2坐标（2，1）， ∵四边形A2B2C2C1是正方形， ∴B2坐标（2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3坐标（4，3）， ∵四边形A3B3C3C2是正方形， ∴B3（4，7）， ∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…， ∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．第16页（共24页）【点评】本题考查一次函数图象上点的特征，正方形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．　三、解答题：本大题共7小题，共66分 19．（6分）（2016•潍坊）关于x的方程3×2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有【分析】由于x= 是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为t．依题意得：3×（）2+ m﹣8=0，解得m=10．又t=﹣ ，所以t=﹣4．综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，把方程的根代入原方程就可以确定待定系数m的值．　20．（9分）（2016•潍坊）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n（分） 90≤n≤100 评定等级频数 ABCD280≤n＜90 70≤n＜80 15 6n＜70 根据以上信息解答下列问题：（1）求m的值；（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）第17页（共24页）（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．菁优网版权所有【分析】（1）由C等级频数为15，占60%，即可求得m的值；（2）首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是 A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵C等级频数为15，占60%， ∴m=15÷60%=25；（2）∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2， ∴B等级所在扇形的圆心角的大小为： ×360°=28.8°=28°48′；（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况， ∴其中至少有一家是A等级的概率为： =．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　21．（8分）（2016•潍坊）正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE．【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．菁优网版权所有第18页（共24页）【专题】证明题．【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD= 90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE， ∴∠EDF+∠BED=180°， ∴∠EDF=90°， ∴四边形EBFD是矩形；（2））∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴的度数是90°， ∴∠AFD=45°，又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF，又∵在矩形EBFD中，BE=DF， ∴BE=DG．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及圆周角定理和矩形的判定等知识，正确应用正方形的性质是解题关键．　22．（9分）（2016•潍坊）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端 A的仰角为30°，试求电线杆的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据正切的定义求出EF，得到BE的长，根据正切的定义解答即可．【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F， ∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，CF= =2 ，由题意得∠E=30°，第19页（共24页） ∴EF= =2 ，∴BE=BC+CF+EF=6+4 ，∴AB=BE×tanE=（6+4 ）× =（2 +4）米，答：电线杆的高度为（2 +4）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．　23．（10分）（2016•潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入﹣管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可；（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数， ∴每辆车的日租金至少应为25元；（2）设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100， ∵y1随x的增大而增大， ∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；当x＞100时， y2=（50﹣ ）x﹣1100 =﹣ x2+70x﹣1100 =﹣ （x﹣175）2+5025，第20页（共24页）当x=175时，y2的最大值为5025， 5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．【点评】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，解决问题的关键是弄清题意，分清收费方式．　24．（12分）（2016•潍坊）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN= AC；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3 时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【考点】旋转的性质；菱形的性质．菁优网版权所有【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=E B，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB， ∴△ABD为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴AE=EB， ∵AB∥DC， ∴== ，同理， = ， ∴MN= AC；（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°， ∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°， ∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°， DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，第21页（共24页），∴△DEG≌△DFP， ∴DG=DP， ∴△DGP为等边三角形， ∴△DGP的面积= DG2=3 ，解得，DG=2 则cos∠EDG= ，=，∴∠EDG=60°， ∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 ，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3 ，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3 ．【点评】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等是解题的关键．　25．（12分）（2016•潍坊）如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F ，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；第22页（共24页）（2）设点P（m， m2+2m+1），表示出PE=﹣ m2﹣3m，再用S四边形AECP=S△AEC+S△APC AC×PE，建立函数关系式，求出极值即可； =（3）先判断出PF=CF，再得到∠PCF=∠EAF，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上， ∴∴，，∴抛物线的解析式为y= x2+2x+1，（2）∵AC∥x轴，A（0，1） ∴x2+2x+1=1， ∴x1=6，x2=0， ∴点C的坐标（﹣6，1）， ∵点A（0，1）．B（﹣9，10）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，设点P（m， m2+2m+1） ∴E（m，﹣m+1） ∴PE=﹣m+1﹣（ m2+2m+1）=﹣ m2﹣3m， ∵AC⊥EP，AC=6， ∴S四边形AECP =S△AEC+S△APC ====AC×EF+ AC×PF AC×（EF+PF） AC×PE ×6×（﹣ m2﹣3m） =﹣m2﹣9m =﹣（m+ ）2+ ，∵﹣6＜m＜0 ∴当m=﹣ 时，四边形AECP的面积的最大值是，第23页（共24页）此时点P（﹣ ，﹣ ）．（3）∵y= x2+2x+1= （x+3）2﹣2， ∴P（﹣3，﹣2）， ∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3， ∴PF=CF， ∴∠PCF=45° 同理可得：∠EAF=45°， ∴∠PCF=∠EAF， ∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，1）且AB=9 ，AC=6，CP=3 ∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ①当△CPQ∽△ABC时， ∴，∴，∴t=﹣4， ∴Q（﹣4，1） ②当△CQP∽△ABC时， ∴，∴，∴t=3， ∴Q（3，1）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．　第24页（共24页）