2016年四川省广元市中考数学试卷（含解析版）

2016年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）﹣ 的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x6=x12 B．（﹣6×6）÷（﹣2×2）=3×3 D．（x﹣2）2=x2﹣4 C．2a﹣3a=﹣a 3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（3分）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（　　） A．32000名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体 C．1500名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查 5．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠A ED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．90° B．180° C．120° D．270° 6．（3分）设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（　　）第1页（共37页） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=10°，P是的中点，则∠PAB的大小是（　　） A．35° B．40° C．60° D．70° 8．（3分）某市2015年国内生产总值GDP比2014年增长10%，由于受到客观条件影响，预计2016年的GDP比2015年增长7%．若这两年GDP平均增长率为x% ，则x应满足的等量关系是（　　） A．10%+7%=x% B．（1+10%）（1+7%）=2（1+x%） D．（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2 C．（10%+7%）=2x% 9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2 ，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　） A． ﹣B． ﹣C．π﹣ D．π﹣ 10．（3分）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且 AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（　　）第2页（共37页） A． B． C． D．　二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）分解因式：25﹣a2=　　． 12．（3分）已知数据7，9，8，6，10，则这组数据的方差是　　． 13．（3分）适合关于x的不等式组的整数解是　　． 14．（3分）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组腰三角形的周长为　　．，则此等 15．（3分）函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0），（ m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随x增大而减小，下列结论： ①abc＞0； ②a+b＜0； ③若点A（﹣3，y1），B（3，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0； ⑤c≤﹣1时，则b2﹣4ac≤4a．其中结论正确的有　　．　三、解答题（共9小题，满分75分）第3页（共37页） 16．（6分）计算：（）﹣2+（ 0°． ﹣）0+| ﹣1|+（ ﹣3 ）•tan6 17．（6分）先化简，再求值：，其中x=﹣4． 18．（7分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN， AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°． 19．（8分）中央电视台举办的“2016年春节联欢晚会”受到广泛关注，某民间组织就2016年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在丽州广场进行了问卷调查，并将问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图所示的“扇形统计图”和“条形统计图”，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次被调查对象共有　　人，被调查者“不太喜欢”有　　人；（2）补全扇形统计图和条形统计图；（3）在“非常喜欢”调查结果里有5人为80后，分别为3男2女，在这5人中，该民间组织打算随机抽取2人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选2人均为男生的概率．第4页（共37页） 20．（8分）节能电动车越来越受到人们的喜欢，新开发的各种品牌电动车相继投入市场．小李车行经营的A型节能电动车2015年销售总额为m万元，2016年每辆A型节能电动车的销售价比2015年降低2000年，若2015年和2016年卖出的节能电动车的数量相同（同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同），则2016 年的销售总额比2015年减少20%．（1）2016年A型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程方法解答）（2）小李车行计划端午节后新购进一批A型节能电动车和新型B型节能电动车，每购进3辆节能电动车，批发商就给车行返回1500元．若新款B型节能电动车第5页（共37页）的进货数量是A型节能电动车的进货数量的2倍，全部销售获得的利润不少于18 万元，且2016年A，B两种型号节能电动车的进货和销售价格如表，那么2016年新款B型节能电动车至少要购进多少辆？ A型节能电动车 B型节能电动车 0.55 0.7 进货价格（万元/辆） 2销售价格（万元/辆） 2016年的销售价格 21．（8分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB 为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号） 22．（10分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y= 的图象交于P、G 两点，过点P作PA⊥x轴，一次函数图象分别交x轴、y轴于C、D两点， = ，且S△ADP=6．（1）求点D坐标；第6页（共37页）（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量x的取值范围．23．（10分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线P M方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为t s．（1）求PQ的长；（2）当直线AB与⊙O相切时，求证：AB⊥PN；（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A 第7页（共37页）（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D ，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点 G的坐标．　第8页（共37页） 2016年四川省广元市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2013•北京）﹣ 的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】倒数．菁优网版权所有【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵（﹣ ）×（﹣ ）=1， ∴﹣ 的倒数是﹣ ．故选D．【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．　2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．x2•x6=x12 B．（﹣6×6）÷（﹣2×2）=3×3 C．2a﹣3a=﹣a D．（x﹣2）2=x2﹣4 【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有【分析】由整式的运算法则分别进行计算，即可得出结论．【解答】解：∵x2•x6=x8≠x12．∴选项A错误； ∵（﹣6×6）÷（﹣2×2）=3×4，∴选项B错误； ∵2a﹣3a=﹣a，∴选项C正确； ∵（x﹣2）2=x2﹣4x+4，∴选项D错误；第9页（共37页）故选：C．【点评】本题考查了整式的运算法则；熟练掌握这是的运算法则是解决问题的关键．　3．（3分）（2012•肥城市校级模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵x2≥0， ∴x2+1≥1， ∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．故选B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．　4．（3分）为了解某市参加中考的32000名学生的体重情况，抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（　　） A．32000名学生是总体 B．每名学生是总体的一个个体 C．1500名学生的体重是总体的一个样本 D．以上调查是普查第10页（共37页）【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．菁优网版权所有【分析】分别根据总体、个体、样本及调查的定义逐项判断即可．【解答】解：某市参加中考的32000名学生的体重情况是总体，故A错误；每名学生的体重情况是总体的一个个体，故B错误； 1500名学生的体重情况是一个样本，故C正确；该调查属于抽样调查，故D错误；故选C．【点评】本题主要考查总体、个体与样本定义，解题的关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，不同的是范围的大小．　5．（3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠A ED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．90° B．180° C．120° D．270° 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先利用平行线的性质得到∠4+∠5=180°，然后根据多边形的外角和为36 0°得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，从而得到∠1+∠2+∠3=180°．【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠4+∠5=180°，第11页（共37页） ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=180°．故选B．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和为（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数），外角和永远为360°．也考查了平行线的性质．　6．（3分）设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系；反比例函数的性质．菁优网版权所有【分析】如图1，根据当x1＜x2＜0时，y1＞y2可知：反比例函数y= 图象上，y 随x的增大而减小，得k＞0；如图2，再根据一次函数性质：﹣2＜0，所以图象在二、四象限，由k＞0得，与y轴交于正半轴，得出结论．【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2， ∴反比例函数y= 图象上，y随x的增大而减小， ∴图象在一、三象限，如图1， ∴k＞0， ∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过二、四象限，且与y轴交于正半轴， ∴一次函数y=﹣2x+k的图象经过一、二、四象限，如图2，第12页（共37页）故选C．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，知道：①当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；②当 k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；反之也成立；③一次函数y=kx+b中，当k＞0，图象在一、三象限；k＜0，图象在二、四象限；b＞0时，与y轴交于正半轴，当b＜0时，与y轴交于负半轴．　7．（3分）如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=10°，P是的中点，则∠PAB的大小是（　　）第13页（共37页） A．35° B．40° C．60° D．70° 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】连接OP，OB，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，求出∠BOC度数，进而求出∠AOB度数，再利用圆心角、弦、弧之间的关系求出所求角度数即可．【解答】解：连接OP，OB， ∵∠BAC=10°， ∴∠BOC=2∠BAC=20°， ∴∠AOB=160°， ∵P为的中点， ∴∠BOP= ∠AOB=80°， ∴∠PAB=40°，故选B 【点评】此题考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．　8．（3分）某市2015年国内生产总值GDP比2014年增长10%，由于受到客观条第14页（共37页）件影响，预计2016年的GDP比2015年增长7%．若这两年GDP平均增长率为x% ，则x应满足的等量关系是（　　） A．10%+7%=x% B．（1+10%）（1+7%）=2（1+x%） C．（10%+7%）=2x% D．（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有【专题】增长率问题．【分析】根据平均增长率：a（1+x）n，可得答案．【解答】解：由题意，得（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2，故选：D．【点评】本题考查了实际问题与一元二次方程，利用平均增长率：a（1+x）n是解题关键．　9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2 ，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　） A． ﹣B． ﹣C．π﹣ D．π﹣ 【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．菁优网版权所有【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．第15页（共37页）【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△DAB是等边三角形， ∵AB=2， ∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH（ASA）， ∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD 故选：A． =﹣ ×2× =﹣．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．　10．（3分）（2011•内江）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上第16页（共37页），边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（　　） A． B． C． D．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x ，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F， ∵点B的坐标为（1，3）， ∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO， ∴△CDE≌△AOE， ∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3﹣x，DE=x， ∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2， ∴（3﹣x）2=x2+12，第17页（共37页） ∴x= ，又DF⊥AF， ∴DF∥EO， ∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3， ∴AE=CE=3﹣ = ， ∴，，即∴DF= ，AF= ， ∴OF= ﹣1= ， ∴D的坐标为（﹣ ，）．故选A．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．　二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2014•来宾）分解因式：25﹣a2=　（5﹣a）（5+a）　．【考点】因式分解-运用公式法．菁优网版权所有【专题】因式分解．第18页（共37页）【分析】利用平方差公式解答即可．【解答】解：25﹣a2， =52﹣a2， =（5﹣a）（5+a）．故答案为：（5﹣a）（5+a）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．　12．（3分）已知数据7，9，8，6，10，则这组数据的方差是　2　．【考点】方差．菁优网版权所有【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】根据已知数据确定出方差即可．【解答】解：数据的平均数为 =8，则方差S2= [（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=2，故答案为：2 【点评】此题考查了方差，熟练掌握方差的计算方法是解本题的关键．　13．（3分）适合关于x的不等式组的整数解是　﹣2　．【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有【分析】根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．【解答】解：解①得2x＜﹣2，即x＜﹣1，第19页（共37页）解②得2x＞x﹣3，即x＞﹣3，综上可得﹣3＜x＜﹣1， ∵x为整数，故x=﹣2 故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键在于根据x的取值范围，得出x的整数解．　14．（3分）（2013•襄城区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组，则此等腰三角形的周长为　5　．【考点】等腰三角形的性质；解二元一次方程组．菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想．【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．【解答】解：解方程组得所以，等腰三角形的两边长为2，1．　若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．　第20页（共37页） 15．（3分）函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0），（ m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随x增大而减小，下列结论： ①abc＞0； ②a+b＜0； ③若点A（﹣3，y1），B（3，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④a（m﹣1）+b=0； ⑤c≤﹣1时，则b2﹣4ac≤4a．其中结论正确的有　①④　．【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣ ＜，变形可得a+b＞0，则可对 ②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对 ③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断【解答】解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，第21页（共37页） ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣ ＜， ∴ + =＞0， ∴a+b＞0，所以②的结论错误； ∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2，所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确； ∵＜c，而c≤﹣1， ∴＜﹣1，第22页（共37页） ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．故答案为①④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a ≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．　三、解答题（共9小题，满分75分） 16．（6分）计算：（）﹣2+（ 0°． ﹣）0+| ﹣1|+（ ﹣3 ）•tan6 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值得到原式=9+1+ ﹣1+（2 ﹣3 ）• ，然后进行二次根式的乘法运算后合第23页（共37页）并即可．【解答】解：原式=9+1+ ﹣1+（2 ﹣3 ）• =9+ ﹣3 =6+ ．【点评】本题考查了实数的运算：实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．　17．（6分）（2008•盐城）先化简，再求值：，其中x=﹣ 4．【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．【解答】解：原式= 当x=﹣4时，原式= ==．．【点评】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．　18．（7分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN， AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．第24页（共37页）【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】根据BM=CN可得CM=AN，易证△AMC≌△BNA，得∠BNA=∠AMC，根据内角和为180°即可求得∠BQM=∠ACB=60°，即可解题．【解答】证明：∵BM=CN，BC=AC，∴CM=AN，又∵AB=AC，∠BAN=∠ACM， ∴△AMC≌△BNA，则∠BNA=∠AMC， ∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180° ∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°， ∴∠AQN=∠ACB， ∵∠BQM=∠AQN， ∴∠BQM=∠AQN=∠ACB=60°．【点评】本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，考查了等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证∠AQN=∠ACB是解题的关键．　19．（8分）中央电视台举办的“2016年春节联欢晚会”受到广泛关注，某民间组织就2016年春节联欢晚会节目的喜爱程度，在丽州广场进行了问卷调查，并将问卷调查结果分为“非常喜欢”“比较喜欢”“感觉一般”“不太喜欢”四个等级，分别记作A，B，C，D，根据调查结果绘制出如图所示的“扇形统计图”和“条形统计图”，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）这次被调查对象共有　50　人，被调查者“不太喜欢”有　5　人；第25页（共37页）（2）补全扇形统计图和条形统计图；（3）在“非常喜欢”调查结果里有5人为80后，分别为3男2女，在这5人中，该民间组织打算随机抽取2人进行采访，请你用列表法或列举法求出所选2人均为男生的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．菁优网版权所有【专题】统计与概率．【分析】（1）利用公式“该部分的人数÷部分所占的百分比=总人数”求解即可．（2）先算出项目B所占的百分比，然后再算出项目C的百分比及C、D对应的人数即可作图．（3）利用列表法求出5人中3男2女选2人接受采访均为男生的所有可能的情况，然后根据概率的计算方法求解即可．【解答】解：（1）∵15÷30%=50（人）， ∴50×10%=5（人）即：这次被调查对象共有 50人，被调查者“不太喜欢”有 5人；故答案为：50；5 （2）∵20÷50×100%=40%， ∴1﹣10%﹣30%﹣40%=20%， ∵50×20%=10（人），∴50﹣5﹣10﹣15=20（人），所求扇形统计图和条形统计图如下图所示：第26页（共37页）（3）用列表法表示选2人接受采访的所有可能如下：故：P（所选2人均为男生）= 【点评】本题考查了列表法与树状图、条形统计图、扇形统计图等问题，解题的关键是要掌握整体与部分之间的数量关系及条形统计图与扇形统计图的作法　20．（8分）节能电动车越来越受到人们的喜欢，新开发的各种品牌电动车相继投入市场．小李车行经营的A型节能电动车2015年销售总额为m万元，2016年每辆A型节能电动车的销售价比2015年降低2000年，若2015年和2016年卖出的节能电动车的数量相同（同一型号的节能电动车每辆的销售价格相同），则2016 年的销售总额比2015年减少20%．（1）2016年A型节能电动车每辆售价多少万元？（用列方程方法解答）（2）小李车行计划端午节后新购进一批A型节能电动车和新型B型节能电动车，每购进3辆节能电动车，批发商就给车行返回1500元．若新款B型节能电动车的进货数量是A型节能电动车的进货数量的2倍，全部销售获得的利润不少于18 第27页（共37页）万元，且2016年A，B两种型号节能电动车的进货和销售价格如表，那么2016年新款B型节能电动车至少要购进多少辆？ A型节能电动车 B型节能电动车 0.55 0.7 进货价格（万元/辆） 2销售价格（万元/辆） 2016年的销售价格【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设2016年A型节能电动车每辆售价x万元，则2015年售价每辆为（x+0.2）万元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设2016年新进B型节能电动车a辆，则A型节能电动车辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【解答】解：（1）设2016年A型车每辆售价x万元，则2015年售价每辆为（x+0. 2）万元，由题意，得 =，解得：x=0.8．经检验，x=0.8是原方程的根．答：2016年A型车每辆售价0.8万元；（2）设2016年新进B型节能电动车a辆，则A型节能电动车辆，获利y元，依题意得 y=a（20000﹣0.7×10000）+ （8000﹣0.55×10000）+1500× ≥180000，解得：a≥12．因为a是整数，所以a=12．答：2061年新款B型节能电动车至少要购进12辆．第28页（共37页）【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．　21．（8分）某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB 为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题．菁优网版权所有【分析】首先表示出AF的长，进而得出BC的长，再表示出CE= （x+2），利用EB=BC+CE求出答案．【解答】解：过点A作AF⊥DE，设DF=x，在Rt△ADF中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF= =，∴AF= x， AC的坡度i=1：2， ∴= ， ∵AB=2， ∴BC=4， ∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE，第29页（共37页） ∴四边形ABEF为矩形， ∴EF=AB=2，BE=AF， ∴DE=DF+EF=x+2，在Rt△DCE中，tan∠DCE= ，∵∠DCE=60°， ∴CE= （x+2）， ∵EB=BC+CE= （x+2）， ∴（x+2）+4= x， ∴x=1+2 ，∴DE=3+2 ．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，以及矩形的判定和性质，三角函数，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．　22．（10分）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y= 的图象交于P、G 两点，过点P作PA⊥x轴，一次函数图象分别交x轴、y轴于C、D两点， = ，且S△ADP=6．（1）求点D坐标；（2）求一次函数和反比例函数的表达式；（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函数值时，自变量x的取值范围．第30页（共37页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有【专题】计算题；反比例函数及其应用．【分析】（1）对于一次函数，令x=0求出y的值，即可确定出D坐标；（2）由AP与y轴平行，得比例，根据OD的长求出AP的长，由三角形ADP面积求出OA的长，确定出P坐标，代入反比例解析式求出m的值，代入一次函数求出k的值，即可确定出各自的解析式；（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，确定出G坐标，利用图象确定出一次函数值小于反比例函数值时x的范围即可．【解答】解：（1）对于y=kx+2，令x=0，得到y=2，即D（0，2）；（2）∵AP∥y轴，∴ ∵OD=2，∴AP=4， == ， ∵S△ADP= AP•OA=6， ∴OA=3，即P（3，﹣4），把P坐标代入反比例解析式得：m=﹣12， ∴反比例函数解析式为y=﹣ ，把P坐标代入y=kx+2中得：﹣4=3k+2，即k=﹣2， ∴一次函数解析式为y=﹣2x+2；第31页（共37页）（3）联立得：，解得：或，∴Q（﹣2，6），P（3，﹣4），则由图象得：当x＞3或﹣2＜x＜0时，一次函数值小于反比例函数值．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解本题的关键．　23．（10分）如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射线PN与⊙O相切于点Q．A、B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线P M方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动，设运动时间为t s．（1）求PQ的长；（2）当直线AB与⊙O相切时，求证：AB⊥PN；（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？【考点】圆的综合题．菁优网版权所有【分析】（1）连接OQ，在Rt△OPQ中，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OC⊥AB于C．只要证明△PBA∽△PQO，即可推出∠PBA =∠PQO=90°．第32页（共37页）（3）首先证明四边形OCBQ是矩形，分两种情形列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接OQ， ∵PN与⊙O相切于点Q， ∴OQ⊥PN， ∴∠OQP=90°， ∵OQ=6cm，OP=10cm， ∴PQ= ==8．（2）如图2中，过点O作OC⊥AB于C．由题意，PA=5t，PB=4t， ∵OP=10，PQ=8， ∴=，∵∠P=∠P， ∴△PBA∽△PQO， ∴∠PBA=∠PQO=90°， ∴AB⊥PN．第33页（共37页）（3）∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°， ∴四边形OCBQ是矩形， ∴BQ=OC=6， ∵OC=6cm， ∴BQ=6cm． ①当AB运动到图2位置时，BQ=PQ﹣PB=6， ∴8﹣4t=6， ∴t=0.5s， ②当AB运动到图3位置时， BQ=AB﹣PQ=6， ∴4t﹣8=6， ∴t=3.5s，综上所述，t=0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切．【点评】本题考查圆的综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．　24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A 第34页（共37页）（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D ，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点 G的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）以A为直角顶点，根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当O D⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）， ∴设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）（x+1）1），则 =a×（﹣5）×1，解得a=﹣ ．第35页（共37页）则抛物线的解析式是y=﹣ （x﹣5）（x+1）=﹣ x2+2x+ ；（2）存在．当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图． ∵AC⊥AP，OC⊥OA， ∴△OAC∽△OHA， ∴=，∴OA2=OC•OH， ∵OA=5，OC= ， ∴OH=10， ∴H（0，﹣10），A（5，0）， ∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，联立，∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．（3）∵DF⊥x轴，DE⊥y轴， ∴四边形OFDE为矩形， ∴EF=OD， ∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC= AC•OD= OA•OC， ∵A（5，0），C（0，）， ∴AC= ∴OD= ，，第36页（共37页） ∵DE⊥y轴，OD⊥AC， ∴△ODE∽△OCD， ∴=，∴OD2=OE•CO， ∵CO= ，OD= ，∴OE=2， ∴点G的纵坐标为2， ∴y=﹣ x2+2x+ =2，解得x1=2﹣ ，x2=2+ ，∴点G的坐标为（2﹣ ，2）或（2+ ，2）．【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、等腰三角形的性质、矩形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，根据矩形的性质将EF转化为OD，然后利用垂线段最短是解决第（3）小题的关键．　第37页（共37页）