2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷（含解析版）

2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）﹣5的倒数是（　　） A．5 B． C．﹣ D．25 2．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． 3．（3分）若y= A．x≠4 B．x≤4 B． C． D．有意义，则x的取值范围是（　　） C．x≥4 D．x＜4 4．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形任意两边之差小于第三边 5．（3分）某校开展“中国梦•快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随机调查了10名同学，结果如下表：阅读量/本 43546291人数关于这10名同学的阅读量，下列说法正确的是（　　） A．众数是9本 B．中位数是5.5本 C．平均数是5.3本 D．方差是3 6．（3分）如图，在口ABCD中，AB=4，∠A=120°，DE平分∠ADC交BC于点E，则△CDE 的周长为（　　） A．4 +8 B．4 +4 C．2 +8 D．2 +4 第1页（共38页） 7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0 C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数） D．3a+c＜0 8．（3分）如图，点O在线段AB上，AO=1，OB=2，OC为射线，且∠BOC=120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A．t=1 B．t=1或 C．t= D．t=1或二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）据有关部门统计，2014年全国骚扰电话高达270亿通，数据270亿可用科学记数法表示为　　　　　　． 10．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m=　　　　　　． 11．（3分）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是　　　　　　． 12．（3分）近年来食品安全问题备受人们的关注，某海关想检验一批进口食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适用　　　　　　（填“全面调查”或“抽样调查”）． 13．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　　　　　　．（结果保留π）第2页（共38页） 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E 在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为　　　　　　． 15．（3分）如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y= （k为常数，k≠0）第一象限的图象上，连接AD．若OA2﹣AD2=20，则k的值为　　　　　　． 16．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E 在同一直线上，AG是∠DAE的平分线，分别交DE，BC于点F，G，连接CE，∠GAC=25°，下面结论正确的是　　　　　　（填序号）． ①∠BAD=∠CAE；②tan∠ABE= ；③AG∥CE；④2AF+CE=BE；⑤AD=CG．第3页（共38页）　三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知α是锐角，且cos（α﹣15°）= ，计算 ﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1的值．　18．（8分）现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解压力，人们往往会通过不同的方式减压，某高校学生社团对本校部分老师的减压方式进行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制成了统计图：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名教师？（2）请补全条形统计图．（3）请计算，扇形统计图中，“K歌”所对应的圆心角是多少度？（4）请根据调查结果估计该校550名教师采用“美食”减压的人数是多少？第4页（共38页） 19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有五个乒乓球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1， ﹣ ，﹣ ，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从盒子中随机摸出一个乒乓球，记下数字不放回，再从剩下的乒乓球中随机摸出一个，记下数字．（1）用画树状图或列表的方法，求出两次摸出的数字之积不大于1的概率；（2）若直线y=﹣x﹣3与两个坐标轴围成△AOB，请直接写出以第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率．　20．（10分）如图，口ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC=2AB．（1）求证：△APG≌△FEG；（2）求证：△PEF为等腰三角形．　21．（10分）近两个月，由于受到“中东呼吸综合症”的影响，赴韩旅游的人数明显减少．某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅游的人均费用下调300元．下调后，总费用同样是2 第5页（共38页） 5200元，赴韩旅游的人数却可以比过去增加2人．求该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是多少元？　22．（10分）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，测得A地在观测站B的南偏东45°方向上，在观测站C的南偏西60°方向上，观测站B在观测站C的正西方向，此时A地与观测站B的距离为20 海里．（1）求A地与观测站C的距离是多少海里？（2）现收到故障船D的求救信号，要求巡逻船从A地马上前去救援（C，A，D共线）．已知D船位于观测站B的南偏西15°方向上，巡逻船的速度是12海里/小时，求巡逻船从A地到达故障船D处需要多少时间？（结果保留小数点后一位，参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）　23．（10分）⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：BE⊥CE；第6页（共38页）（2）若BC= ，⊙O的半径为，求线段CD的长度．　24．（10分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖6 8支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获得W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？　25．（12分）如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P 是线段CF的中点，连接PD，PG．第7页（共38页）（1）若∠BAD=∠AEF=120°，请直接写出∠DPG的度数及的值．（2）若∠BAD=∠AEF=120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC 恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．（3）若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值．　26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x 轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．第8页（共38页）（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点 H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，且速度均为每秒1 个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．　　2015年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析第9页（共38页）一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（3分）﹣5的倒数是（　　） A．5 B． C．﹣ D．25 【考点】倒数．菁优网版权所有【分析】利用倒数的意义直接选择答案即可．【解答】解：﹣5的倒数是﹣ ．故选：C．【点评】此题考查倒数的意义，掌握倒数的意义是解决问题的关键．　2．（3分）下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D．【考点】轴对称图形．菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，故选项正确； C、是轴对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，故选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．　3．（3分）若y= 有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠4 B．x≤4 C．x≥4 D．x＜4 【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有【专题】计算题．第10页（共38页）【分析】根据负数没有平方根及0不能做分母，求出x的范围即可．【解答】解：要使y= 故选D．有意义，则有4﹣x＞0，即x＜4，【点评】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　4．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．三角形任意两边之差小于第三边【考点】命题与定理．菁优网版权所有【分析】根据垂径定理及正方形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、真命题为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、真命题为：对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形，故本选项错误； C、真命题为：平分弦的直径垂直于弦（非直径），并且平分弦所对的弧，故本选项错误；D、符合三角形的三边关系，是真命题，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知垂径定理及正方形的性质是解答此题的关键．　5．（3分）某校开展“中国梦•快乐阅读”的活动，为了解某班同学寒假的阅读情况，随机调查了10名同学，结果如下表：阅读量/本 43546291人数关于这10名同学的阅读量，下列说法正确的是（　　） A．众数是9本 B．中位数是5.5本 C．平均数是5.3本 D．方差是3 第11页（共38页）【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．菁优网版权所有【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的计算公式分别进行解答即可得出答案．【解答】解：A、阅读5本的学生有4人，人数最多，则众数是5本，故本选项错误； B、共有10名同学，中位数是 =5，故本选项错误； C、平均数是（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10═5.3（本），故本选项正确； D、方差是： [3×（4﹣5.3）2+4×（5﹣5.3）2+2×（6﹣5.3）2+（9﹣5.3）2]=2.01，故本选项错误；故选C．【点评】此题考查了众数、中位数、平均数以及方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．　6．（3分）如图，在▱ABCD中，AB=4，∠A=120°，DE平分∠ADC交BC于点E，则△CDE 的周长为（　　） A．4 +8 B．4 +4 C．2 +8 D．2 +4 【考点】平行四边形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD=AB=4，∠A=∠C=120°，AD∥BC，得∠AD E=∠DEC，∠DCF=60°又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC= CD=4，根据30°角的直角三角形的性质求得CF=2，然后根据勾股定理求得DF，进而得出E D=4 ，所以求得△CDE的周长为4 +8．【解答】解：作DF⊥BC，交BC的延长线于F，第12页（共38页） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠A=∠C=120°，AB=CD=4， ∴∠ADE=∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∴∠CDE=∠DEC， ∴EC=CD， ∴∠DEC=∠EDC=30°， ∴∠DCF=60°， ∴∠CDF=30°， ∴CF= CD=2， ∴DF= =2 ，∴DE=2DF=4 ，∴△CDE的周长为4 +8．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理、勾股定理以及30°角的直角三角形的性质．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．　7．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）第13页（共38页） A．2a+b＜0 B．4a+2b+c＞0 C．m（am+b）＞a+b（m为大于1的实数） D．3a+c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有【分析】根据图象得出函数对称轴进而分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．【解答】解：A、由图象可得：x=﹣ =1，则2a+b=0， ∵a＞0，b＜0， ∴2a+b＞0，故此选项错误； B、由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故此选项错误； C、∵x=1时，二次函数取到最小值， ∴m（am+b）=am2+bm＞a+b，故此选项正确； D、由选项A得：b=﹣2a，当x=﹣1时，y=a﹣b+c=3a+c＞0，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．　8．（3分）如图，点O在线段AB上，AO=1，OB=2，OC为射线，且∠BOC=120°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC作匀速直线运动．设运动时间为t秒，当△ ABP为直角三角形时，t的值为（　　） A．t=1 B．t=1或 C．t= D．t=1或【考点】勾股定理的逆定理；一元二次方程的应用；勾股定理．菁优网版权所有【专题】几何动点问题．【分析】根据题意分三种情况考虑：当∠PAB=90°；当∠APB=90°；当∠ABP=90°，根据△A BP为直角三角形，分别求出t的值即可．第14页（共38页）【解答】解：如图1，当∠PAB=90°时， ∵∠BOC=120°， ∴∠AOP=60°， ∴∠APO=30°， ∴OP=2OA=2， ∵OP=2t， ∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P作PD⊥AB， ∵∠OPB=30°， ∴OD= OP=t，PD=OP•sin∠POD= t， ∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP中，根据勾股定理得：AP2+BP2=AB2，即（2+t）2+（ t）2+（ t）2+（1﹣t ）2=32，解得：t= （负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t= 时，△ABP是直角三角形．故选B．【点评】此题考查了勾股定理、锐角三角函数以及一元二次方程的解法，本题利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．　第15页（共38页）二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）据有关部门统计，2014年全国骚扰电话高达270亿通，数据270亿可用科学记数法表示为　2.7×1010　．【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：270亿=27000000000=2.7×1010．故答案为：2.7×1010．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　10．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m=　m（m﹣1）2　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【分析】先提取公因式m，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b 2=（a﹣b）2．【解答】解：m3﹣2m2+m=m（m2﹣2m+1）=m（m﹣1）2．故答案为m（m﹣1）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．　11．（3分）一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是　144°38′　．【考点】余角和补角；度分秒的换算．菁优网版权所有【分析】根据余角是两个角的和为90°，这两个角互为余角，两个角的和为180°，这两个角互为补角，可得答案．【解答】解：∵一个角的余角是54°38′ ∴这个角为：90°﹣54°38′=35°22′， ∴这个角的补角为：180°﹣35°22′=144°38′．故答案为：144°38′．【点评】本题考查余角和补角，通过它们的定义来解答即可．第16页（共38页） 12．（3分）近年来食品安全问题备受人们的关注，某海关想检验一批进口食品的防腐剂含量是否符合国家标准，这种调查适用　抽样调查　（填“全面调查”或“抽样调查”）．【考点】全面调查与抽样调查．菁优网版权所有【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此分析得出答案即可．【解答】解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查．故答案为：抽样调查．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．　13．（3分）一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积为　24π　．（结果保留π）【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．菁优网版权所有【分析】根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出表面积．【解答】解：∵如图所示可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6， ∴圆锥的母线为：5， ∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×3×5=15π，底面圆的面积为：πr2=9π， ∴该几何体的表面积为24π．故答案为：24π．【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式，根据已知得母线长，再利用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．第17页（共38页） 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E 在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为　　．【考点】矩形的性质；勾股定理．菁优网版权所有【分析】过B作BH⊥OC于H，过E作EM⊥BH于M，由四边形EMHN是矩形，得到EN=HM ，根据矩形的性质得到∠A=∠D=90°，AB=CD，证得△ABO≌△CDO，得到OB=OC，推出△ BEM≌△BEG，得到BG=EM，等量代换得到BH=EM+EN，由△BCH∽△CDO，得到比例式，即可得到结论．【解答】解：过B作BH⊥OC于H，过E作EM⊥BH于M，则四边形EMHN是矩形， ∴EN=HM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD， ∵O是AD的中点， ∴AO=DO，在△ABO与△CDO中，，第18页（共38页） ∴△ABO≌△CDO， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠GEB=∠OCB，在△BEM与△BGE中，，∴△BEM≌△BEG， ∴BG=EM， ∴BH=EM+EN， ∵AD∥BC， ∴∠DOC=∠OCB， ∵∠D=∠BHC=90°， ∴△BCH∽△CDO， ∴，∵OC= ∴BH= =，．，∴EM+EN的值为：【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．　15．（3分）如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y= （k为常数，k≠0）第一象限的图象上，连接AD．若OA2﹣AD2=20，则k的值为　10　．第19页（共38页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出 C（t，t﹣a），D（t+a，t﹣a），利用等腰直角三角形的性质得OA= t，AD= a，则由 OA2﹣AD2=20可得t2﹣a2=10，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得k=（t+a）（t﹣ a）=t2﹣a2=10．【解答】解：设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a， ∴C（t，t﹣a），D（t+a，t﹣a）， ∴OA= t，AD= a， ∵OA2﹣AD2=20， ∴（ t）2﹣（ a）2=20， ∴t2﹣a2=10， ∵点D在反比例函数y= 的图象上， ∴k=（t+a）（t﹣a）=t2﹣a2=10．故答案为10．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了正方形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．　16．（3分）如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E 在同一直线上，AG是∠DAE的平分线，分别交DE，BC于点F，G，连接CE，∠GAC=25°，下面结论正确的是　①③④　（填序号）． ①∠BAD=∠CAE；②tan∠ABE= ；③AG∥CE；④2AF+CE=BE；⑤AD=CG．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有【专题】计算题；图形的全等．第20页（共38页）【分析】根据已知一对直角相等，利用等式的性质得到∠BAD=∠CAE，再由两对边相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=BD，∠CAE=∠BAD，由题意确定出三角形ABF为直角三角形，求出∠ABE度数，进而求出tan∠ABE的值；根据题意确定出一对内错角相等，进而得到AG与CE平行，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ED=2AF，再由CE=DB，根据BE=ED+DB，等量代换得到2AF+CE=BE；AD不一定等于CG．【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°， ∴∠DAE﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC，即∠CAE=∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS）， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，∠CAE=∠BAD，选项①正确； ∵AG平分∠DAE， ∴∠GAE=∠GAD=45°， ∵∠GAC=20°， ∴∠CAE=∠BAD=20， ∴∠BAF=∠DAF+∠DAB=70°， ∵AD=AE，F为DE中点， ∴AG⊥DE，在Rt△ABF中，∠ABF=20°，故tan∠ABE≠ ，即选项②错误； ∵∠ACE=∠GAC=20°， ∴AG∥CE，选项③正确； ∵AF= DE，即DE=2AF，CE=BD， ∴BE=ED+DB=2AF+CE，选项④正确； AD不一定等于CG，选项⑤错误，故答案为：①③④ 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．第21页（共38页）三、解答题（共10小题，满分102分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）已知α是锐角，且cos（α﹣15°）= ，计算（）﹣1的值． ﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣ 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【分析】利用特殊角的三角函数值，求得α，进一步按照运算顺序，化简二次根式，计算0 指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，最后合并即可．【解答】解：∵cos（α﹣15°）= ，∴α﹣15°=60°，∴α=45°，则﹣6cosα+（3﹣π）0﹣tanα﹣（）﹣1 =3 ﹣3 +1﹣1﹣2 =﹣2．【点评】此题考查实数的运算，特殊角的三角函数，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．　18．（8分）现在人们学习、工作、生活压力较大，身体常常处于亚健康状态，为了缓解压力，人们往往会通过不同的方式减压，某高校学生社团对本校部分老师的减压方式进行了调查（教师可根据自己的情况必选且只选其中一项），并将调查结果分析整理后制成了统计图：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名教师？（2）请补全条形统计图．（3）请计算，扇形统计图中，“K歌”所对应的圆心角是多少度？（4）请根据调查结果估计该校550名教师采用“美食”减压的人数是多少？第22页（共38页）【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有【分析】（1）根据旅游的人数共16人，占总人数的32%求出总人数即可；（2）求出运动和美食的人数，补全条形统计图即可；（3）根据K歌人数求出其圆心角的度数即可；（4）求出总人数与k歌人数所占百分比的积即可．【解答】解：（1）∵旅游的人数共16人，占总人数的32%， ∴16÷32%=50（名）．答：一共抽查了50名教师；（2）∵喜欢运动的人数占28%， ∴50×28%=14（人）， ∴美食人数=50﹣14﹣16﹣7﹣5=8（人）．条形统计图如图；（3）∵“K歌”的人数是7人， ∴×360°=50.4°．答：“K歌”所对应的圆心角是50.4度；（4）550× =88（人）．答：该校550名教师采用“美食”减压的人数是88人．第23页（共38页）【点评】本题考查的是条形统计图，熟知条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来是解答此题的关键．　19．（10分）在一个不透明的盒子里，装有五个乒乓球，分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1， ﹣ ，﹣ ，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同，先从盒子中随机摸出一个乒乓球，记下数字不放回，再从剩下的乒乓球中随机摸出一个，记下数字．（1）用画树状图或列表的方法，求出两次摸出的数字之积不大于1的概率；（2）若直线y=﹣x﹣3与两个坐标轴围成△AOB，请直接写出以第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率．【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有【分析】（1）根据题意画出树状图，即可得到所有可能的结果，进一步计算得出两次摸出的数字之积不大于1的概率；（2）求得与x、y轴交点的坐标分别为（﹣3，0）（0，﹣3），进一步求得第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）的概率即可．【解答】解：（1）画树状图如下：第24页（共38页）共有20种情况，其中两次摸出的数字之积不大于1的有（﹣3，﹣ ）、（﹣2，﹣ ）、（ ﹣2，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1）、（﹣ ， ﹣ ）、（﹣ ，﹣3）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1），（﹣ ，﹣ ）共12种情况 P（积不大于1）= =；（2）第一次摸出的数字为横坐标，第二次摸出的数字为纵坐标的点在△AOB内部（不包括边界）共有：（﹣2，﹣ ）、（﹣2，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣1，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1）、（﹣ ，﹣ ）、（﹣ ，﹣2）、（﹣ ，﹣1），（﹣ ，﹣ ）10种情况， P（在△AOB内部）= ．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　20．（10分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，点E，F，P分别是OB，OC，AD的中点，分别连接EP，EF，PF，EP与AC相交于点G，且AC=2AB．（1）求证：△APG≌△FEG；（2）求证：△PEF为等腰三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）利用三角形的中位线求得EF∥BC，EF= BC，中点得出AP= AD，结合平行四边形的性质得出AP=EF，AP∥EF，求得∠APG=∠GEF，∠PAG=∠GFE，证得结论；第25页（共38页）（2）连接AE，求出AB=AO，得出AE⊥BD，求出EP= AD，求出EF= BC，根据AD=BC 求出即可．【解答】证明：（1）∵E，F分别是OB，OC的中点， ∴EF∥BC，EF= BC， ∵P是AD的中点， ∴AP= AD，在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∴AP=EF，AP∥EF， ∴∠APG=∠GEF，∠PAG=∠GFE，在△APG和△FEG中，，∴：△APG≌△FEG．（2）连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AC=2OA=2OC， ∵AC=2AB， ∴OA=AB， ∵E为OB中点， ∴AE⊥BD（三线合一定理）， ∴∠AED=90°， ∵P为AD中点， ∴AD=2EP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵BC=AD， ∴BC=2EP，第26页（共38页） ∵E、F分别是OB、OC中点， ∴BC=2EF， ∴EP=EF．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行四边形性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质，三角形的中位线性质的应用，题目综合性比较强．　21．（10分）近两个月，由于受到“中东呼吸综合症”的影响，赴韩旅游的人数明显减少．某旅行社为了吸引游客，决定将赴韩旅游的人均费用下调300元．下调后，总费用同样是2 5200元，赴韩旅游的人数却可以比过去增加2人．求该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是多少元？【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有【分析】可设该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是x元，根据等量关系：赴韩旅游的人数比过去增加2人，列出方程求解即可．【解答】解：设该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是x元，依题意有 ﹣2= ，解得x1=1800，x2=﹣2100，经检验：x1=1800，x2=﹣2100都是原方程的解． x2=﹣2100＜0，不符合实际舍去．答：该旅游社下调后的赴韩旅游的人均费用是1800元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．　22．（10分）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，测得A地在观测站B的南偏东45°方向上，在观测站C的南偏西60°方向上，观测站B在观测站C的正西方向，此时A地与观测站B的距离为20 海里．（1）求A地与观测站C的距离是多少海里？（2）现收到故障船D的求救信号，要求巡逻船从A地马上前去救援（C，A，D共线）．已知D船位于观测站B的南偏西15°方向上，巡逻船的速度是12海里/小时，求巡逻船从A地到第27页（共38页）达故障船D处需要多少时间？（结果保留小数点后一位，参考数据 ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥BC于点B，过点B作BF⊥BC于点B，过点C作CG⊥BC于点C，在Rt△ABE中，利用边角关系求得答案即可；（2）过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH和Rt△ABH中，利用边角关系求得答案即可．【解答】解：如图，（1）过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥BC于点B，过点B作BF⊥BC于点B，过点C作C G⊥BC于点C， ∵∠ABF=45°，∠ACG=60°， ∴∠ABC=45°，∠ACB=30°，在Rt△ABE中，AE=AB•sin45°=20 ∴AC=2AE=40（海里）． ×=20，答：A地与观测站C的距离是40海里．（2）过点A作AH⊥BD于点H，由题意可知：∠DBF=15°， ∠DBA=60°，∠DBC=105°，在Rt△ABH中， AH=AB•sin60°=20 ×=10 ．在Rt△ADH中， AD= =10 ×=20 ，第28页（共38页） =≈2.9．答：巡逻船从A地到达故障船D处需要2.9小时．【点评】此题考查解直角三角形的应用，构造直角三角函数建立边角关系是解决问题的关键．　23．（10分）⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：BE⊥CE；（2）若BC= ，⊙O的半径为，求线段CD的长度．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】（1）首先利用全等三角形的判定得出△BOD≌△BOA（SSS），进而得出OB∥DE ，再求出∠E=90°即可得出答案；（2）利用相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△DEB，进而得出DE，BE的长，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，OD，在△BOD和△BOA中，∴△BOD≌△BOA（SSS）， ∴∠DBO=∠ABO，又∵∠CDB=∠A，∠OBA=∠A， ∴∠DBO=∠CDB， ∴OB∥DE，第29页（共38页） ∴∠E+∠EBO=180°， ∵BE为⊙O的切线， ∴OB⊥BE， ∴∠EBO=90°， ∴∠E=90°， ∴BE⊥CE；（2）解：在Rt△ABC中， ∵AC=2OA=5，BC= ∴AB= ，=2 ，∴BD=BA=2 ，∵∠ABC=∠E=90°，∠BAC=∠BDE， ∴△ABC∽△DEB， ∴==，∴DE=4，BE=2，在Rt△BCE中， CE= =1， ∴CD=DE﹣CE=3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ ABC∽△DEB是解题关键．　24．（10分）某文具店购进A，B两种钢笔，若购进A种钢笔2支，B种钢笔3支，共需90元；购进A种钢笔3支，B种钢笔5支，共需145元．（1）求A、B两种钢笔每支各多少元？第30页（共38页）（2）若该文具店要购进A，B两种钢笔共90支，总费用不超过1588元，并且A种钢笔的数量少于B种钢笔的数量，那么该文具店有哪几种购买方案？（3）文具店以每支30元的价格销售B种钢笔，很快销售一空，于是，文具店决定在进价不变的基础上再购进一批B种钢笔，涨价卖出，经统计，B种钢笔售价为30元时，每月可卖6 8支；每涨价1元，每月将少卖4支，设文具店将新购进的B种钢笔每支涨价a元（a为正整数），销售这批钢笔每月获得W元，试求W与a之间的函数关系式，并且求出B种铅笔销售单价定为多少元时，每月获利最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，由题意得方程组即可解得答案；（2）设购进A种钢笔每只z元，由题意得，求得42.4≤z＜45，由于z是整数，得到z=43，44于是得到共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B 种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只，（3）根据二次函数的解析式W=（30﹣20+a）（68﹣4a）=﹣4a2+28a+680=﹣4（a﹣ ）2+ 729即可求得结果．【解答】解：（1）设A种钢笔每只x元，B种钢笔每支y元，由题意得，解得：，答：A种钢笔每只15元，B种钢笔每支20元；（2）设购进A种钢笔每只z元，由题意得：，∴42.4≤z＜45， ∵z是整数 z=43，44， ∴90﹣z=47，或46； ∴共有两种方案：方案一：购进A种钢笔43支，购进B种钢笔47支，方案二：购进A种钢笔44只，购进B种钢笔46只；（3）W=（30﹣20+a）（68﹣4a）=﹣4a2+28a+680=﹣4（a﹣ ）2+729，第31页（共38页） ∵﹣4＜0，∴W有最大值，∵a为正整数， ∴当a=3，或a=4时，W最大， ∴W最大=﹣4×（3﹣ ）2+729=728，30+a=33，或34；答：B种铅笔销售单价定为33元或34元时，每月获利最大，最大利润是728元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式．　25．（12分）如图1所示，在菱形ABCD和菱形AEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P 是线段CF的中点，连接PD，PG．（1）若∠BAD=∠AEF=120°，请直接写出∠DPG的度数及的值．（2）若∠BAD=∠AEF=120°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转，使菱形ABCD的对角线AC 恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．（3）若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置，求出的值．【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有【分析】（1）延长GP交CD于H，由菱形的性质得出AB=CD=AD，BE∥CD，AG=FG，FG ∥BE，得出FG∥CD，得出内错角相等∠PFG=∠PCH，由ASA证明△PFG≌△PCH，得出FG=C H，PG=PH，证出AG=CH，延长DG=DH，由等腰三角形的三线合一性质得出DP⊥GH，得出∠DPG=90°；求出∠ADC=60°，得出∠PDG=∠PDH= ∠ADC=30°，由三角函数即可得出的值；第32页（共38页）（2）延长GP交CE于H，连接DH、DG，由菱形的性质得出FG∥EC，得出∠GFP=∠HCP，由ASA证明△PFG≌△PCH，得出FG=CH，PG=PH，证出AG=CH，△ACD是等边三角形，得出AD=CD，得出∠EAG=∠ADC=60°，∠DAC=∠DCA=60°，求出∠GAD=60°，由SAS证明 △ADG≌△CDH，得出DG=DH，∠ADG=∠CDH，由等腰三角形的三线合一性质得出DP⊥G H，因此∠DPG=90°，求出∠GDP=30°，由三角函数即可得出的值；（3）延长GP到H，使得PH=GP，连接CH、DG、DH，延长DC交EA的延长线于点M，同（2）可证△PFG≌△PCH，得出∠GFC=∠HCF，FG=CH，证出∠GAD=∠DCH，AG=CH，由 SAS证明△ADG≌△CDH，得出∠ADG=∠CDH，DG=DH，因此∠GDH=∠ADC=2α，得出∠D PG=90°，∠GDP= ∠GDH=α，即可得出 =tanα．【解答】解：（1）延长GP交CD于H，如图1所示： ∵在菱形ABCD和菱形AEFG中， AB=CD=AD，BE∥CD，AG=FG，FG∥BE， ∴FG∥CD， ∴∠PFG=∠PCH， ∵P是线段CF的中点， ∴PF=PC，在△PFG和△PCH中，，∴△PFG≌△PCH（ASA）， ∴FG=CH，PG=PH， ∴AG=CH， ∴DG=DH， ∴DP⊥GH（三线合一）， ∴∠DPG=90°；第33页（共38页） ∵∠BAD=120°， ∴∠ADC=60°， ∴∠PDG=∠PDH= ∠ADC=30°， ∴=tan∠PDG=tan30°= ；（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：延长GP交CE于H，连接DH、DG，如图2所示： ∵四边形AEFG为菱形， ∴FG∥EC， ∴∠GFP=∠HCP， ∵P是线段CF的中点， ∴PF=PC，在△PFG和△PCH中，，∴△PFG≌△PCH（ASA）， ∴FG=CH，PG=PH， ∵FG=AG， ∴AG=CH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC=CD， ∵∠BAD=∠AEF=120°， ∴∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD=CD，第34页（共38页） ∴∠EAG=∠ADC=60°，∠DAC=∠DCA=60°， ∴∠GAD=180°﹣∠EAG﹣∠DAC=60°，在△ADG和△CDH中，，∴△ADG≌△CDH（SAS）， ∴DG=DH，∠ADG=∠CDH， ∴DP⊥GH， ∴∠DPG=90°，∠GDH=∠ADC=60°， ∴∠GDP=30°， ∴=tan30°= ；（3）延长GP到H，使得PH=GP，连接CH、DG、DH，延长DC交EA的延长线于点M，如图3所示：同（2）可证△PFG≌△PCH， ∴∠GFC=∠HCF，FG=CH， ∴FG∥CH， ∵FG∥AE， ∴CH∥EM， ∴∠DCH=∠M， ∵CD∥AB， ∴∠M=∠MAB， ∴∠DCH=∠MAB， ∵∠BAD=∠AEF=180°﹣2α， ∴∠EAG=∠ADC=2α， ∴∠GAM=180°﹣2α，第35页（共38页） ∴∠GAD=∠BAM， ∴∠GAD=∠DCH， ∵AG=FG， ∴AG=CH，在△ADG和△CDH中，，∴△ADG≌△CDH（SAS）， ∴∠ADG=∠CDH，DG=DH， ∴∠GDH=∠ADC=2α， ∴∠DPG=90°，∠GDP= ∠GDH=α， ∴=tanα．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线，并且需要多次证明三角形全等才能得出结果．　26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x 轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动．（1）求抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点 H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，且速度均为每秒1 个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．第36页（共38页）【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）直接把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线y=ax2+bx+c 求得a、b、c得出解析式，进一步求得顶点坐标即可；（2）连接OH，则四边形HPOF是矩形，利用矩形的性质和垂线段最短求得答案即可；（3）可用t分别表示出BE、BQ、EQ的长，然后分BE=BQ、BE=EQ、BQ=EQ三种情况，列方程求出t的值．【解答】解：（1）由题意得，解得，∴抛物线y=﹣x2+2x+3，顶点D为（1，4）；（2）如图，连接OH， ∵EF⊥y轴，HP⊥x轴，x轴⊥y轴， ∴四边形HPOF是矩形， ∴PF=OH， ∴当OH最短时，PF最短， ∴OH⊥BC时，PF最短，第37页（共38页）可得H的纵坐标为，把y= 代入y=﹣x2+2x+3中，则 =﹣x2+2x+3，解得x1= ，x2= （舍去）；，）； ∴G点的坐标（（3）如图， DB=2 ，yBD=﹣2x+6，点E坐标为（，），Q为（3，t），当BE=BQ时，2 ﹣t=t，t= 当BE=EQ时，2 ﹣t= ；，t= ，当BQ=EQ时，t= 所以存在3个t值，，t= ．t1= ，t2= ，t3= ．【点评】此题考查二次函数综合题，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，垂线段最短，平面内两点之间的距离等知识的综合运用，注意分类讨论思想的渗透．　第38页（共38页）