2015年辽宁省辽阳市中考数学试卷（含解析版）

2015年辽宁省辽阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．的相反数是（　　） B． C．　 A． ﹣ D． ﹣ 2．下列计算正确的是（　　）　 A． x2•x3=x6 B． x5+x5=2×10 　 C．（﹣2x）3=8×3 D．（﹣2×3）÷（﹣6×2）= x 3．下列各图不是正方体表面展开图的是（　　）　 A． B． C． D． 4．一组数据：2，3，6，6，7，8，8，8的中位数是（　　）　 A． 6 B． 6.5 C． 7 D． 8 5．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（　　）　 A． 72° B． 68° C． 63° D． 18° 6．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/ 小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是（　　）　 A．　 C． 7． =×2 B． =﹣35 =35 ﹣=35 D． ﹣如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（　　）　 A． x≥﹣1 B． x≥3 C． x≤﹣1 D． x≤3 8．下列事件为必然事件的是（　　）　 A．如果a，b是实数，那么a•b=b•a 　 B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上　 C．汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯　 D．口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球的白球 9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△ A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　）　 A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 10．如图，点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k的值为（　　）　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．某工业园区，今年第一季度新开工94个项目，总投资7429亿元．请将7429亿，用科学记数法表示为　　　　　　． 12．的整数部分是　　　　　　． 13．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=　　　　　　度． 14．某校组织“书香校园”读书活动，某班图书角现有文学书18本，科普书9本，人物传记12本，军事书6本，小明随机抽取一本，恰好是人物传记的概率是　　　　　　．15．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD 的长等于　　　　　　． 16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数　　　　　　．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线A C翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为　　　　　　．18．如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为　　　　　　．　三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．先化简，再求值：[ ﹣]÷ ，请选取一个适当的x的数值代入求值．　20．校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学，对同学们喜爱的四种“明星真人秀 ”节目进行问卷调查（每位同学只能选择一种最喜爱的节目），并将调查结果整理后分别绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图）．请根据所给信息回答下列问题：（1）本次问卷调查共调查了多少名学生？（2）请将两幅统计图补充完整；（3）若该校有1500名学生，据此估计有多少名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．　　四、解答题（每小题12分，共24分） 21．某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．　22．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45 °方向，求码头A与小岛C的距离．（ ≈1.732，结果精确到0.01海里）　　五、解答题（本题12分） 23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，D G⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA= ，求CG的长．　　六、解答题（本题12分） 24．某商场试销一种商品，成本为每件200元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表： ……230 235 240 245 销售单价x（元）……440 430 420 410 销售量y（件）（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？　　[来源 :Z。xx。k.Com] 七、解答题（本题12分） 25．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是　　　　　　；（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线C D于点F，当BC=4，且 = 时，直接写出线段CE的长．　　八、解答题（本题14分） 26．如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与抛物线y=ax2+ x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点 M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与 △AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．　　2015年辽宁省辽阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．的相反数是（　　） B． C．　 A． ﹣ D． ﹣ 考点：实数的性质．专题：计算题．分析：利用相反数的定义计算即可得到结果．解答：解：的相反数是﹣ 故选A ．点评：此题考查了实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．　2．下列计算正确的是（　　）　 A． x2•x3=x6 B． x5+x5=2×10 　 C．（﹣2x）3=8×3 D．（﹣2×3）÷（﹣6×2）= x 考点：整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．[来源:学科网ZXXK] 专题：计算题．分析： A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断； C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=x5，错误； B、原式=2×5，错误； C、原式=﹣8×3，错误； D、原式= x，正确，点评：此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　3．下列各图不是正方体表面展开图的是（　　）　 A． B． C． D．考点：几何体的展开图．分析：根据正方体展开图的常见形式选择．解答：解：A、是正方体的展开图， B、是正方体的展开图， C、折叠有两个正方形重合，不是正方体的展开图， D、是正方体的展开图，故选C．点评：本题考查了几何体的展开图，熟记正方体展开图的11种形式是解题的关键．　4．一组数据：2，3，6，6，7，8，8，8的中位数是（　　）　 A． 6 B． 6.5 C． 7 D． 8 考点：中位数．分析：根据中位数的概念求解．解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，6，6，7，8，8，8，则中位数为：故选B． =6.5．点评：本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．　5．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（　　）　 A． 72° B． 68° C． 63° D． 18° 考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由AD与CB平行，利用两直线平行内错角相等得到∠C=∠D，再利用外角性质即可求出所求角的度数．解答：解：∵AD∥CB，∠D=43°， ∴∠C=∠D=43°， ∵∠DEB为△ECB的外角，且∠B=25°， ∴∠DEB=∠B+∠D=68°，故选B 点评：此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．　6．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/ 小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是（　　）　 A．　 C． =×2 B． =﹣35 =35 ﹣=35 D． ﹣考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设出未知数，根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/ 小时，列出方程即可．解答：解：设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么由普通公路从甲地到乙地所需时间为2x，由题意得，故选：D．点评： ﹣=35，本题考查的是列分式方程解应用题，正确设出未知数、找出合适的等量关系是解题的关键．　7．如图，直线y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（　　）　 A． x≥﹣1 B． x≥3 C． x≤﹣1 D． x≤3 考点：一次函数与一元一次不等式．分析：函数y=﹣x+2与y=ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），求不等式﹣x+2≥ax+b的解集，就是看函数在什么范围内y=﹣x+2的图象对应的点在函数y=ax+b的图象上面．解答：解：从图象得到，当x≤3时，y=﹣x+2的图象对应的点在函数y=ax+b的图象上面，∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．故选D．点评：本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．　8．下列事件为必然事件的是（　　）　 A．如果a，b是实数，那么a•b=b•a 　 B．抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上　 C．汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯　 D．口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球的白球考点：随机事件．分析：分别利用随机事件和必然事件以及不可能事件的定义分析得出即可．解答：解：A、如果a，b是实数，那么a•b=b•a，是必然事件，符合题意； B、抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不合题意； C、汽车行驶到交通岗遇到绿色的信号灯，是随机事件，不合题意； D、口袋中装有3个红球，从中随机摸出一球，这个球的白球，是不可能事件，不合题意．故选：A．点评：此题主要考查了随机事件和必然事件以及不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．　9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△ A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　）　 A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：利用位似图形的性质得出连接各对应点，进而得出位似中心的位置．解答：解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．故选：C．点评：此题主要考查了位似变换，根据位似图形的性质得出是解题关键．　10．如图，点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k的值为（　　）　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出 ==，即可得出k=EC×EO=2．解答：解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°， ∴CO⊥AB，∠CAB=30°，[来源:学科网ZXXK] 则∠AOD+∠COE=90°， ∵∠DAO+∠AOD=90°， ∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴===tan60°= ，则 =3， ∵点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点， ∴ |xy|= AD•DO= ×6=3， ∴ k= EC×EO=1，则EC×EO=2．故选B．点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键．　二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．某工业园区，今年第一季度新开工94个项目，总投资7429亿元．请将7429亿，用科学记数法表示为　7.429×1011　．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7429亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．解答：解：7429亿=7.429×1011．故答案为：7.429×1011．点评：本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值　12．的整数部分是　3　．考点：估算无理数的大小．分析：根据平方根的意义确定解答：解：∵9＜13＜16，的范围，则整数部分即可求得． ∴3＜＜4， ∴的整数部分是3．故答案是：3．点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．　13．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB=　150　度．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．分析：根据AO=AB，且OA=OB，得出△OAB是等边三角形，再利用圆周角和圆心角的关系得出∠BAC+∠ABC=30°，解答即可．解答：解：∵点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB， ∴OA=OB=AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠BAC+∠ABC=30°， ∴∠ACB=150°，故答案为：150 点评：此题考查了圆心角、圆周角定理问题，关键是根据AO=AB，且OA=OB，得出△ OAB是等边三角形．　14．某校组织“书香校园”读书活动，某班图书角现有文学书18本，科普书9本，人物传记12本，军事书6本，小明随机抽取一本，恰好是人物传记的概率是　　．考点：概率公式．分析：利用概率公式即可直接求解．解答：解：恰好是人物传记的概率是：故答案是： =．．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．　15．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD 的长等于　8　．考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．解答：解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点， ∴AB=2DE=2×5=10， ∴在Rt△ABD中， BD= ==8．故答案为：8．点评：此题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边的中线的性质，得出AB的长是解题关键．　16．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　6　．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．解答：解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度， 720÷180+2=6， ∴这个多边形是六边形．故答案为：6．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．　17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线A C翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为　（0，﹣ ）　．考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．分析：由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC，∠BAC=∠DCA，易得DC=DA，设OD=x，则DC=6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得OD，得OD的坐标．解答：解：由折叠的性质可知，∠B′AC=∠BAC， ∵四边形OABC为矩形， ∴OC∥AB， ∴∠BAC=∠DCA， ∴∠B′AC=∠DCA， ∴AD=CD，设OD=x，则DC=6﹣x，在Rt△AOD中，由勾股定理得， OA2+OD2=AD2，即9+x2=（6﹣x）2，解得：x= ， ∴点D的坐标为：（0，故答案为：（0，﹣ ）．点评：），本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．　18．如图，△ABC，∠C=90°，AC=BC=a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为　（）na　．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：规律型．分析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，利用△CA1D1和△AA1B1都是等腰直角三角形得到A1C= x，AA1= x，则 x+ x=a，解得x= a，于是得第1个正方形的边长为 a，运用同样的方法可得第2个正方形的边长为（）2a，于是根据指数与序号的关系可得第n个正方形的边长为（）na．解答：解：设正方形A1B1C1D1的边长为x， ∵△CA1D1和△AA1B1都是等腰直角三角形， ∴A1C= x，AA1= x， ∴x+ x=a，解得x= a，即第1个正方形的边长为 a，设正方形A2B2C2D2的边长为y， ∵△C2D1D2和△C1A2D2都是等腰直角三角形， ∴C1D2= y，D1D2= y， ∴y+ y= a，解得y=（）2a，即第2个正方形的边长为（）2a，同理可得第3个正方形的边长为（）3a， ∴第n个正方形的边长为（）na．故答案为（）na．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质，灵活应用等腰直角三角形三边的关系进行几何计算．　三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．先化简，再求值：[ 值． ﹣]÷ ，请选取一个适当的x的数值代入求考点：分式的化简求值．分析：先化简分式，再取x=2代入求值．解答：解：[ ﹣]÷ =[ ﹣]•2x， ==•2x，．当x=2时，原式=4．点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的化简分式．　20．校文艺部在全校范围内随机抽取一部分同学，对同学们喜爱的四种“明星真人秀 ”节目进行问卷调查（每位同学只能选择一种最喜爱的节目），并将调查结果整理后分别绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图）．请根据所给信息回答下列问题：（1）本次问卷调查共调查了多少名学生？（2）请将两幅统计图补充完整；（3）若该校有1500名学生，据此估计有多少名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用本次问卷调查共调查的学生数=喜欢真正男子汉的人数÷对应的百分比求解即可，（2）先求出奔跑吧兄弟的百分比，喜欢爸爸去哪里了的人数，喜欢花儿与少年的人数，喜欢花儿与少年的百分比，作图即可，（3）利用该校学生总数乘喜爱《奔跑吧兄弟》节目的百分比即可．解答：解：（1）本次问卷调查共调查的学生数为：30÷15%=200（名）（2）奔跑吧兄弟的百分比为 ×100%=40%，喜欢爸爸去哪里了的人数为200×25%=50（名），喜欢花儿与少年的人数为：200﹣80﹣30﹣50=40（名），喜欢花儿与少年的百分比为如图， ×100%=20%，（3）1500×40%=600（名）答：估计有600名学生最喜爱《奔跑吧兄弟》节目．点评：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获得准确的信息．　四、解答题（每小题12分，共24分） 21．某宾馆准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元．（1）求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元；（2）若该宾馆准备同时购进这两种型号的换气扇共40台并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据“一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元”列方程组求解即可；（2）首先确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和换气扇的台数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可；解答：解：（1）设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据题意得：，解得，答：一台A型换气扇50元，一台B型换气扇的售价为75元；（2）设购进A型换气扇z台，总费用为w元，则有z≤3（40﹣z），解得：z≤30， ∵z为换气扇的台数， ∴z≤30且z为正整数， w=50z+75（40﹣z）=﹣25z+3000， ∵﹣25＜0， ∴w随着z的增大而减小， ∴当z=30时，w最大=25×30+3000=2250，此时40﹣z=40﹣30=10，答：最省钱的方案是购进30台A型换气扇，10台B型换气扇．[来源:学§科§网] 点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键，难度不大．　22．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为32海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45 °方向，求码头A与小岛C的距离．（ ≈1.732，结果精确到0.01海里）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据正切函数，可得CD的长，根据直角三角形的性质，可得答案．解答：解：作CD⊥AB交AB延长线于点D， ∠D=90° 由题意，得∠DCB=45°，∠CAD=90°﹣60°30°，AB=32海里，设CD=x海里，在Rt△DCB中，tan∠DCB= ，tan45°= =1， BD=x，AD=AB+BD=32+x，tan30°= =，解得x=16 +16， ∵∠CAD=30°，∠CDA=90°， ∴AC=2CD=32 +32≈87.42海里，答：码头A与小岛C的距离约为87.42海里．点评：本题考查了解直角三角形，利用了锐角三角函数，直角三角形的性质，画出直角三角形得出CD的长是解题关键．　五、解答题（本题12分） 23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，D G⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA= ，求CG的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC =90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA= ，可得cos∠DOF= ；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．解答：（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC， ∵OD=OB， ∴∠ABC=∠ODB， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∴∠ODG=∠DGC， ∵DG⊥AC， ∴∠DGC=90°， ∴∠ODG=90°， ∴OD⊥FG， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线FG是⊙O的切线．（2）解：如图2， ∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径， ∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得 OD⊥FG，OD∥AC， ∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中， ∴△ODF∽△AGF， ∴，∵cosA= ， ∴cos∠DOF= ， ∴=，∴AF=AO+OF=5 ，∴，解得AG=7， ∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的长是3．点评：（1）此题主要考查了切线的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．　六、解答题（本题12分） 24．某商场试销一种商品，成本为每件200元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表： ……230 235 240 245 销售单价x（元）……440 430 420 410 销售量y（件）（1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．[来源:Z,xx,k.Com] 分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求得函数的解析式即可；（2）先求得单价的定价范围，然后根据利润=每件获利×件数列出利润的函数关系式，然后根据自变量的取值和二次函数的对称性即可求得最大利润．解答：解：（1）根据所给数据可知y与x的图象是一条直线．设y与x的函数关系式为y= kx+b．将x=230，y=440；x=235，y=430代入y=kx+b得： ∴y=﹣2x+900 ，解得：经验证，x=240，y=420；x=245，y=410都满足上述函数关系式 ∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+900；（2）由题意得：200≤x≤200×（1+50%）， ∴200≤x≤300． W=（x﹣200）（﹣2x+900）=﹣2（x﹣235）2+31250 ∵a=﹣2＜0， ∴抛物线开口向下． ∵200≤x≤300，在对称轴x=325的左侧， ∴W随x的增大而增大． ∴当x=300时，W有最大值，W最大=﹣2×（300﹣325）2+31250=30000元．答：商品的销售单价定为300元时，才能使所获利润最大，最大利润时30000元．点评：本题主要考查的是二次函数的最值问题，确定抛物线的对称轴以及自变量的取值范围是解题的关键．　七、解答题（本题12分） 25．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON 绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是　等腰直角三角形　；（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线C D于点F，当BC=4，且 = 时，直接写出线段CE的长．考点：四边形综合题．分析：（1）先求得四边形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质可得∠EBO=∠FCO =45°，OB=OC，再根据同角的余角相等可得∠BOE=∠COF，然后利用“角边角” 证明△BOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根据菱形的性质可得CA平分∠BC D，∠ABC+BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，从而求得∠GOH =∠EOF=60°，再根据等量减等量可得∠EOG=∠FOH，然后利用“角边角”证明△E OG和△FOH全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四边形O′GCH是正方形，从而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，然后利用“角边角”证明△EO′G和△FO′H全等，根据全等三角形对应边相等即可证得△O′EF是等腰直角三角形，根据已知求得等腰直角三角形的直角边O′E的长，然后根据勾股定理求得EG，即可求得CE 的长．解答：（1）△OEF是等腰直角三角形；证明：如图1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°， ∴∠BOE+∠COE=90°， ∵∠MON+∠BCD=180°， ∴∠MON=90°， ∴∠COF+∠COE=90°， ∴∠BOE=∠COF，在△BOE与△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF， ∴△OEF是等腰直角三角形；故答案为等腰直角三角形；（2）△OEF是等边三角形；证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H， ∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°， ∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°， ∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°， ∴∠GOH+∠BCD=180°， ∴∠MON+∠BCD=180°， ∴∠GOH=∠EOF=60°， ∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG， ∴∠EOG=∠FOH，在△EOG与△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA）， ∴OE=OF， ∴△OEF是等边三角形；（3）证明：如图3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴= ，过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H， ∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°， ∴四边形O′GCH是矩形， ∴O′G∥AB，O′H∥AD， ∴=== ， ∵AB=BC=CD=AD=4， ∴O′G=O′H=3， ∴四边形O′GCH是正方形， ∴GC=O′G=3，∠GO′H=90° ∵∠MO′N+∠BCD=180°， ∴∠EO′F=90°， ∴∠EO′F=∠GO′H=90°， ∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G， ∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G与△FO′H中，，∴△EO′G≌△FO′H（ASA）， ∴O′E=O′F， ∴△O′EF是等腰直角三角形； ∵S正方形ABCD=4×4=16， = ， ∴S△O′EF=18， ∵S△O′EF= O′E2， ∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG= ==3 ，∴CE=CG+EG=3+3 ．根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时， CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3．综上可得，线段CE的长为3+3 或3 ﹣3．点评：本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．正确作出辅助线是关键．　八、解答题（本题14分） 26．如图1，平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+3与抛物线y=ax2+ x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点 M的坐标；（3）如图2，点E为线段AB上一点，BE=2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与 △AOB在直线AB的同侧，∠BED=90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据直线解析式，求出A与B的坐标，代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由M在抛物线图象上，设出M坐标，分两种情况考虑：①当∠MBA=90°时；②当∠BAM′=90°时，分别求出M坐标即可；（3）根据t的范围，分三种情况考虑：当0≤t≤ 时；当 ≤t≤3时；当3≤t≤5时，分别确定出S与t的函数解析式即可．解答：解：（1）对于直线y=﹣ x+3，当y=0时，0=﹣ x+3，即x=4， ∴A（4，0），当x=0时，y=3，即B（0，3），把A与B坐标代入y=ax2+ x+c中，得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+3；″ （2）设M坐标为（x，﹣ x2+ x+3）， ①当∠MBA=90°时，如图1，作MN⊥y轴，则有∠MNO=90°， ∴∠NMB+∠MBN=90°， ∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°， ∴∠MBN+∠ABO=90°， ∴∠NMB=∠ABO， ∵∠MNO=∠BOA， ∴△MNB∽△BOA， ∴=，即 = 解得：x= 或x=0（舍去），当x= 时，y= ，即M（ ②当∠BAM′=90°时，易知△AM′N′∽△BAO，∴ ，，）；，即，解得x=﹣ 或4（舍去），当x=﹣ 时，y=﹣ ），，即M′（﹣ ，﹣ 则满足条件M的坐标为（（3）如图2所示，当D点运动到x轴上时，易知△AD′E′∽△ABO，，∴AE′= ，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣ = ，，）或（﹣ ，﹣ ）； ∴∴当0≤t≤ 时，S=2；当 ≤t≤3时，S=﹣ t2+ t+ 当3≤t≤5时，S= t2﹣ t+ ；．点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定抛物线解析式，相似三角形的判定与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．