2015年西藏中考数学试卷（含解析版）

2015 年西藏中考数学试卷　一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D． 2．（3 分）拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为 50 000 000 000 千克，将 50 000 000 000 用科学记数法表示为（　　） A．0.5×1011 B．5×1010 C．5×109 D．50×109 3．（3 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．2x+3y=5xy B．x2•x3=x6 C．（a3）2=a6 D．（ab）3=ab3 5．（3 分）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（　　）第 1 页（共 24 页） A． C． B． D． 7．（3 分）2015 年 4 月 25 日尼泊尔发生了里氏 8.1 级强烈地震，地震波及我区某县．我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程 y 与行进时间 x 的函数关系的大致图象是（　　） A． C． B． D． 8．（3 分）如图，BC 是⊙O 的弦，OA⊥BC，垂足为 A，若⊙O 的半径为 13， BC=24，则线段 OA 的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（3 分）2015 年 5 月拉萨市某酒店入住人数是 1500 人，随着旅游旺季的到来，该酒店 7 月预计入住人数为 2160 人，求该酒店 6 月、7 月预计入住人数的月平均增长率．设预计月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（　　） A．1500（1+x）2=2160 C．1500（1﹣x）2=2160 B．2160（1+x）2=1500 D．2160（1﹣x）2=1500 10．（3 分）已知⊙O1 与⊙O2 相交，且两圆的半径分别为 2cm 和 3cm，则圆心距第 2 页（共 24 页） O1O2 可能是（　　） A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm 11．（3 分）下列说法正确的是（　　） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．如果 a＞b，那么 ac＞bc C．一组数据 4，2，3，5，7 的中位数是 3 D．有一个角是直角的菱形是正方形 12．（3 分）如图，弹性小球从 P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为 P1，第二次碰到正方形的边时的点为 P2…第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则 P2015 的坐标是（　　） A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）　二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13．（3 分）分解因式：x3﹣6×2+9x=　　． 14．（3 分）如图，已知 a∥b，∠1=55°，则∠2=　　°． 15．（3 分）某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃．登山队员由大本营向上登高 xkm 时，他们所在位置的气温是 y℃，用函数解析式表示 y 与 x 的关系为　　． 16．（3 分）已知﹣2am﹣2b4 与 3abn+2 是同类项，则（n﹣m）m=　　． 17．（3 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥第 3 页（共 24 页）的底面圆的半径 r=2cm ，扇形的圆心角 θ=90° ，则该圆锥的母线 l 长为　 cm．　18．（3 分）规定 sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则 sin15°=　　．　三、解答题（共 7 小题，满分 46 分） 19．（5 分）计算：．20．（5 分）解分式方程： +=2． 21．（6 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AO=CO．求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 22．（6 分）某校为了解学生孝敬父母的情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，调查的内容包括：A．帮父母做家务；B．给父母买礼物；C．陪父母聊天、散步；D．其他．调查结果如图：根据以上信息解答下列问题：（1）该校共调查了　　名学生；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有 2000 名学生，估计该校全体学生中选择 C 选项的有多少人？第 4 页（共 24 页） 23．（6 分）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在 A 点测得屋顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD 方向前进 10 米，到达 B 点，在 B 点测得屋顶 C 的仰角为 60°，已知测量仪 AE 的高度为 1 米，请你根据他们的测量数据计算建筑物 CF 的高度（结果保留根号）． 24．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD⊥AB，垂足为 D，过点 B 作直线 BE∥DC，交 AC 的延长线于点 E．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）若 AB=5，AC=3，求 BD 的长． 25．（10 分）如图，抛物线 y= x2+nx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（﹣1，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PCD 是直角三角形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 M 是线段 BC 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，与抛物线相交于点 N，当点 M 移动到什么位置时，四边形 CDBN 的面积最大？求出四边形 CDBN 的最大面积及此时 M 点的坐标．第 5 页（共 24 页）　第 6 页（共 24 页） 2015 年西藏中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【考点】15：绝对值．菁优网版权所有【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2 的绝对值．【解答】解：|﹣2|=2．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质． 2．（3 分）拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约为 50 000 000 000 千克，将 50 000 000 000 用科学记数法表示为（　　） A．0.5×1011 B．5×1010 C．5×109 D．50×109 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．【解答】解：将 50 000 000 000 用科学记数法表示为 5×1010．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）如图是由 5 个大小相同的正方体组合而成的几何体，它的主视图是（　　）第 7 页（共 24 页） A． B． D． C．【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有【分析】主视图是从正面观察得到的图形．【解答】解：所给图形的主视图是．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意掌握主视图、俯视图、左视图的观察方向． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．2x+3y=5xy B．x2•x3=x6 C．（a3）2=a6 D．（ab）3=ab3 【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则进行逐一计算即可．【解答】A、不是合并同类项不能合并；故错误； B、x2•x3=x5，故错误； C、（a3）2=a6，故正确； D、（ab）3=a3b3，故错误；第 8 页（共 24 页）故选：C．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 5．（3 分）为备战中考，同学们积极投入复习，卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，从中任意抽出一张试卷，恰好是语文试卷的概率是（　　） A． B． C． D．【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有【分析】卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张，可得一共有 6 种等可能的结果，又由语文试卷 2 张，根据概率公式即可求得答案．【解答】解：∵卓玛同学的试卷袋里装有语文试卷 2 张，臧文试卷 3 张，英语试卷 1 张， ∴一共有 2+3+1=6 种等可能的结果， ∵恰好是语文试卷的有 2 种情况， ∴恰好是语文试卷的概率是 = ．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．明确概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 6．（3 分）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（　　） A． B． D． C．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题．【分析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．第 9 页（共 24 页）【解答】解：A．当长方形如 A 所示对折时，其重叠部分两角的和中，一个顶点处小于 90°，另一顶点处大于 90°，故 A 错误； B．当如 B 所示折叠时，其重叠部分两角的和小于 90°，故 B 错误； C．当如 C 所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故 C 错误； D．当如 D 所示折叠时，两角的和是 90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，故 D 正确．故选：D．【点评】本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质是解答此题的关键． 7．（3 分）2015 年 4 月 25 日尼泊尔发生了里氏 8.1 级强烈地震，地震波及我区某县．我军某部奉命前往灾区，途中遇到塌方路段，经过一段时间的清障，该部加速前进，最后到达救灾地点．则该部行进路程 y 与行进时间 x 的函数关系的大致图象是（　　） A． B． D． C．【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有【分析】我解放军某部行驶状态是：匀速行进﹣中途停下﹣加快速度、匀速行进；路程的增加量：平缓增加﹣不增加﹣快速增加，图象由三条线段组成，即：平缓，平，陡．【解答】解：依题意，行驶速度为：匀速行进﹣中途停下，速度为 0，加快速度、匀速行进；时间与路程的函数图象应为三条线段组成，即：平缓，平，陡．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象．应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实第 10 页（共 24 页）际情况采用排除法求解． 8．（3 分）如图，BC 是⊙O 的弦，OA⊥BC，垂足为 A，若⊙O 的半径为 13， BC=24，则线段 OA 的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有【分析】由垂径定理得出 AB= BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理求出 OA 即可．【解答】解：连接 OB，如图所示： ∵OA⊥BC， ∴AB= BC=12，∠OAB=90°，由勾股定理得：OA= 故选：A． ==5；【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，运用勾股定理求出 OA 是解题的关键． 9．（3 分）2015 年 5 月拉萨市某酒店入住人数是 1500 人，随着旅游旺季的到来，该酒店 7 月预计入住人数为 2160 人，求该酒店 6 月、7 月预计入住人数的月平均增长率．设预计月平均增长率为 x，则根据题意可列方程为（　　） A．1500（1+x）2=2160 C．1500（1﹣x）2=2160 B．2160（1+x）2=1500 D．2160（1﹣x）2=1500 【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有【专题】123：增长率问题．第 11 页（共 24 页）【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据题意可得 1500（1+x）2=2160．【解答】解：设预计月平均增长率为 x，由题意得： 1500（1+x）2=2160．故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 10．（3 分）已知⊙O1 与⊙O2 相交，且两圆的半径分别为 2cm 和 3cm，则圆心距 O1O2 可能是（　　） A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm 【考点】MJ：圆与圆的位置关系．菁优网版权所有【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．相交，则 R﹣r＜P＜R+r．（P 表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）．【解答】解：两圆半径差为 1，半径和为 5，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，1＜O1O2＜5．符合条件的数只有 B．故选：B．【点评】本题考查了圆与圆相交的位置关系，由数量关系及两圆位置关系确定圆心距范围内的数的方法． 11．（3 分）下列说法正确的是（　　） A．三角形的一个外角等于两个内角的和 B．如果 a＞b，那么 ac＞bc C．一组数据 4，2，3，5，7 的中位数是 3 D．有一个角是直角的菱形是正方形【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有【分析】根据外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定，即可解答．【解答】解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和，故错误； B、如果 a＞b，那么 ac＞bc，没有明确 a 的正负，故错误；第 12 页（共 24 页） C、一组数据 4，2，3，5，7 的中位数是 4，故错误； D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确；故选：D．【点评】本题考查了外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定，解决本题的关键是水机外角的性质、等式的性质、中位数、正方形的判定． 12．（3 分）如图，弹性小球从 P（2，0）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为 P1，第二次碰到正方形的边时的点为 P2…第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则 P2015 的坐标是（　　） A．（5，3） B．（3，5） C．（0，2） D．（2，0）【考点】D2：规律型：点的坐标．菁优网版权所有【分析】根据所给出的图形，得出小球第一次碰到正方形的边时的点为 P1 的坐标，小球第二次碰到正方形的边时的点为 P2 的坐标，找出规律，得出第三次、第四的坐标，从而得出规律，每四次一个循环，即可得出答案．【解答】解：∵小球第一次碰到正方形的边时的点为 P1 的坐标是（5，3），小球第二次碰到正方形的边时的点为 P2 的坐标是（3，5），小球第三次碰到正方形的边时的点为 P3 的坐标是（0，2），小球第四次碰到正方形的边时的点为 P4 的坐标是（2，0）， ∴每四次一个循环，则 2015÷4=503…3， ∴P2015 的坐标是（0，2）；故选：C．【点评】此题考查了点的坐标，关键是根据所给出的图形，找出小球碰到正方形边的规律，得出每四次一个循环．　二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）第 13 页（共 24 页） 13．（3 分）分解因式：x3﹣6×2+9x=　x（x﹣3）2　．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【专题】44：因式分解．【分析】先提取公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6×2+9x， =x（x2﹣6x+9）， =x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式． 14．（3 分）如图，已知 a∥b，∠1=55°，则∠2=　125　°．【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有【分析】先根据平行线的性质求出∠3 的度数，再由两角互补的性质求出∠2 的度数即可．【解答】解：∵直线 a∥b，∠1=55°， ∴∠3=∠1=55°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠3=180°﹣∠2=180°﹣55°=125°．故答案为：125．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．第 14 页（共 24 页） 15．（3 分）某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃．登山队员由大本营向上登高 xkm 时，他们所在位置的气温是 y℃，用函数解析式表示 y 与 x 的关系为　y=5﹣6x　．【考点】FG：根据实际问题列一次函数关系式．菁优网版权所有【分析】登山队员由大本营向上登高 xkm 时，他们所在地的气温为 y℃，根据登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃，可求出 y 与 x 的关系式．【解答】解：根据题意得：y=5﹣6x．故答案为：y=5﹣6x．【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温=地面的气温﹣降低的气温． 16．（3 分）已知﹣2am﹣2b4 与 3abn+2 是同类项，则（n﹣m）m=　﹣1　．【考点】34：同类项．菁优网版权所有【分析】根据同类项定义可得 m﹣2=1，n+2=4，计算出 m、n 的值，再代入求出（n﹣m）m 的值即可．【解答】解：由题意得：m﹣2=1，n+2=4，解得：m=3，n=2，（n﹣m）m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了同类项，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 17．（3 分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm，扇形的圆心角 θ=90°，则该圆锥的母线 l 长为　8　 cm．第 15 页（共 24 页）【考点】MP：圆锥的计算．菁优网版权所有【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得扇形的半径，也就是圆锥的母线 l．【解答】解：扇形的弧长=2×2π=4πcm， =4π 解得：l=8cm．故答案为：8．【点评】此题考查了圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 18．（3 分）规定 sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ，则 sin15°=　　．【考点】T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】令 α=45°，β=30°，然后代入即可得出答案．【解答】解：令 α=45°，β=30°，则 sin15°= ×﹣×=．故答案为：．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，题目比较新颖，解答本题的关键是正确的给 α 和 β 赋值，注意掌握赋值法的应用．　三、解答题（共 7 小题，满分 46 分） 19．（5 分）计算：．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有第 16 页（共 24 页）【分析】先化简二次根式、计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值，然后计算加减法．【解答】解：原式=2 ﹣1﹣3﹣ ﹣4．，=【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 20．（5 分）解分式方程： +=2．【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有【分析】方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，解得整式方程的根，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x+3）（x﹣3），得： x+3+（2x﹣1）（x﹣3）=2（x+3）（x﹣3），整理得：﹣6x=﹣24，解得：x=4，经检验：x=4 是原分式方程的解，因此，原方程的解为：x=4．【点评】本题考查了分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，通过去分母把分式方程化成整式方程是解决问题的关键，注意检验． 21．（6 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AO=CO．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．菁优网版权所有【专题】14：证明题．【分析】由 AB∥CD，AO=CO，利用 ASA，可判定△AOB≌△COD，则可证得 AB=CD，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形 ABCD 第 17 页（共 24 页）是平行四边形．【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAO=∠DCO，在△AOB 和△COD 中，，∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴AB=CD， ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意证得 △AOB≌△COD 是关键． 22．（6 分）某校为了解学生孝敬父母的情况，在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调查，调查的内容包括：A．帮父母做家务；B．给父母买礼物；C．陪父母聊天、散步；D．其他．调查结果如图：根据以上信息解答下列问题：（1）该校共调查了　240　名学生；（2）请把条形统计图补充完整；（3）若该校有 2000 名学生，估计该校全体学生中选择 C 选项的有多少人？【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有【分析】（1）用 D 类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；（2）先计算出 B 类人数，然后补全条形统计图；（3）用样本中 C 类人数所占的百分比表示全校选择 C 类的百分比，然后用 2000 第 18 页（共 24 页）乘以这个百分比可估计出该校全体学生中选择 C 选项的人数．【解答】解：（1）该校调查的学生总数=48÷20%=240（人）；故答案为 240；（2）B 类人数=240×25%=60（人），如图，（3）2000× =800（人）．所以估计该校全体学生中选择 C 选项的有 800 人．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了用样本估计总体． 23．（6 分）如图，某教学兴趣小组想测量某建筑物的高度，他们在 A 点测得屋顶 C 的仰角为 30°，然后沿 AD 方向前进 10 米，到达 B 点，在 B 点测得屋顶 C 的仰角为 60°，已知测量仪 AE 的高度为 1 米，请你根据他们的测量数据计算建筑物 CF 的高度（结果保留根号）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB 的度数，得到 BC 的长度，然第 19 页（共 24 页）后在直角△BDC 中，利用三角函数即可求解．【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACB=∠CAB， ∴BA=BC=10，在 Rt△CBD 中，sin∠CBD=sin60°= ，∴=，解得：CD=5 ，∴CF=CD+DF=CD+AE=5 +1．答：建筑物 CF 的高度为（5 +1）m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角形的外角、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 24．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD⊥AB，垂足为 D，过点 B 作直线 BE∥DC，交 AC 的延长线于点 E．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）若 AB=5，AC=3，求 BD 的长．【考点】MD：切线的判定．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】（1）由 CD 与 AB 垂直，得到∠ADC 为直角，再由 BE 与 DC 平行，得到∠ ABE 为直角，再由 B 在圆 O 上，即可得证；（2）由 AB 为直径，得到三角形 ACB 为直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长，由 CD 与 AB 垂直，得到一个角为直角，利用两个角相等的三角形相似得到三角形 ABC 与 CBD 相似，由相似得比例求出 BD 的长．第 20 页（共 24 页）【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵BE∥DC， ∴∠ABE=∠ADC=90°， ∵点 B 在圆 O 上， ∴BE 是圆 O 的切线；（2）解：如图，连接 BC， ∵AB 为圆 O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=5，AC=3， ∴BC=4， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB=90°， ∴∠ACB=∠CDB， ∵∠ABC=∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴=，即 = ，解得：BD= ．【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 25．（10 分）如图，抛物线 y= x2+nx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（﹣1，0）．（1）求抛物线的表达式；第 21 页（共 24 页）（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PCD 是直角三角形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 M 是线段 BC 上的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，与抛物线相交于点 N，当点 M 移动到什么位置时，四边形 CDBN 的面积最大？求出四边形 CDBN 的最大面积及此时 M 点的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】152：几何综合题．【分析】（1）将点 A 代入抛物线解析式，可得 n 的值，继而可得抛物线的表达式；（2）因为P在抛物线对称轴上，则可分两种情况讨论，①∠CPD=90°，②∠PCD=90°，分别求出点 P 坐标即可；（3）先确定直线 BC 解析式，设出点 M 坐标，继而得出点 N 坐标表示出 MN 的长度，再由 S 四边形 CDBN=S△CDB+S△BMN+S△CMN，结合二次函数的最值，即可确定点 M 的坐标及最大面积．【解答】解：（1）把点 A（﹣1，0）代入 y= x2+nx﹣2 得，n=﹣ ，即抛物线的表达式为：y= x2﹣ x﹣2．（2）存在． ∵y= x2﹣ x﹣2， ∴抛物线对称轴为：x= ， ①当∠CPD=90°时，很显然点 P 坐标为（，﹣2）； ②当∠PCD=90°时，如图①所示：第 22 页（共 24 页） CD= ∵cos∠CDP= =cos∠DCO= =， ∴PD= = ，，则点 P 坐标为（，﹣ ）．综上可得：存在点 P，使△PCD 是直角三角形，点 P 坐标为（，﹣2）或（， ﹣）．（3）过线段 BC 上一点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 F，与抛物线交于点 N，过点 C 作 CE⊥MN，垂足为 E，如图②所示：由二次函数解析式可得点 B（4，0），点 C（0，﹣2），设 BC 解析式为 y=kx+b，则，解得：，第 23 页（共 24 页）则直线 BC 解析式为 y= x﹣2，设点 M 的坐标为（m， m﹣2），则点 N 的坐标为（m， m2﹣ m﹣2）， MN=（ m﹣2）﹣（ m2﹣ m﹣2）=﹣ m2+2m， ∴S 四边形 CDBN=S△CDB+S△BMN+S△CMN = BD×OC+ MN×BF+ MN×CE = （4﹣ ）×2+ MN（BF+CE） = + （﹣ m2+2m）×4 =﹣m2+4m+ =﹣（m﹣2）2+ ，当 m=2 时，S 四边形 CDBN 有最大值，最大值为，此时点M 的坐标为（2， ﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、三角形的面积，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．　第 24 页（共 24 页）