2015年福建省漳州市中考数学试卷（含解析版）

2015年福建省漳州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项．）1．（4分）（2015•漳州）﹣ 的相反数是（　　） ﹣3 　A BCD 3 ﹣．．．．2．（4分）（2015•漳州）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）　A ．　B ．　C ．　D ．了解一批圆珠笔的寿命了解全国九年级学生身高的现状考察人们保护海洋的意识检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件 3．（4分）（2015•漳州）漳州市被国家交通运输部列为国家公路运输枢纽城市，现拥有营运客货车月21000辆，21000用科学记数法表示为（　　） 0.21×104 21×103 2.1×104 2.1×103 　A BCD．．．．4．（4分）（2015•漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　　）　 A． B． C． D．第1页（共39页） 5．（4分）（2015•漳州）一组数据6，﹣3，0，1，6的中位数是（　　）　A 0 B 1 C 2 D 6 ．．．．6．（4分）（2015•漳州）下列命题中，是假命题的是（　　）　A ．　B ．　C ．　D ．对顶角相等同旁内角互补两点确定一条直线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 7．（4分）（2015•漳州）一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（　　）　A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．8．（4分）（2015•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（　　）　A BCD．．．．9．（4分）（2015•漳州）已知⊙P的半径为2，圆心在函数y=﹣ 的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（　　）　A 0 B 1 C 2 D 4 ．．．．第2页（共39页） 10．（4分）（2015•漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（　　）　A 4，2，1 B 2，1，4 C 1，4，2 D 2，4，1 ．　．．．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．） 11．（4分）（2015•漳州）计算：2a2•a4=　　　　　　． 12．（4分）（2015•漳州）我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是　　　　　　． 13．（4分）（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　　　　　　时，y随x的增大而减小． 14．（4分）（2015•漳州）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF=　　　　　　． 15．（4分）（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　　　　　　． 16．（4分）（2015•漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　　　　　　．第3页（共39页）　三、解答题（共9题，满分86分．） 17．（8分）（2015•漳州）计算： ﹣（π﹣3）0+（﹣1）2015 ．　18．（8分）（2015•漳州）先化简： ﹣，再选取一个适当的m的值代入求值．　19．（8分）（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C． 20．（8分）（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；第4页（共39页）（2）填空：△AC′D′是　　　　　　三角形．　21．（8分）（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．　22．（10分）（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．　第5页（共39页） 23．（10分）（2015•漳州）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别冰箱 1600 1800 洗衣机 1000 彩电 2000 进价（元/台）售价（元/台） 2300 1100 若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？　24．（12分）（2015•漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接 AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= ==2﹣ ．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设α=60° 第6页（共39页），β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =2﹣ =．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 … 请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45° ，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线y= x﹣1与双曲线y= 交于A，B两点，与y轴交于点C ，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．第7页（共39页）　25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（　　　　　　，　　　　　　），点D的坐标为（　　　　　　，　　　　　　）；（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P 的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？　　第8页（共39页） 2015年福建省漳州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项．）1．（4分）（2015•漳州）﹣ 的相反数是（　　） ﹣3 　A BCD 3 ﹣．．．．考点：相反数．菁优网版权所有分析：根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣ ”，据此解答即可．解答：解：根据相反数的含义，可得 ﹣ 的相反数是：﹣（﹣ ）= ．故选：A．点评：此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．　2．（4分）（2015•漳州）下列调查中，适宜采用普查方式的是（　　）　A ．　B ．了解一批圆珠笔的寿命了解全国九年级学生身高的现状第9页（共39页）　C ．　D ．考察人们保护海洋的意识检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件考点：全面调查与抽样调查．菁优网版权所有分析：普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．解答：解：A、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误； B、了解全国九年级学生身高的现状，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误； C、考察人们保护海洋的意识，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误； D、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，事关重大，应用普查方式，故本选项正确；故选：D．点评：此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．第10页（共39页）　3．（4分）（2015•漳州）漳州市被国家交通运输部列为国家公路运输枢纽城市，现拥有营运客货车月21000辆，21000用科学记数法表示为（　　） 0.21×104 21×103 2.1×104 2.1×103 　A BCD．．．．考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：把21000用科学记数法表示为2.1×104，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　4．（4分）（2015•漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　　）　 A． B． C． D．考点：几何体的展开图．菁优网版权所有第11页（共39页）分析：由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．解答：解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知， A、可以拼成一个长方体； B、C、D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．故选A．点评：考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的各种情形．　5．（4分）（2015•漳州）一组数据6，﹣3，0，1，6的中位数是（　　）　A 0 B 1 C 2 D 6 ．．．．考点：中位数．菁优网版权所有分析：根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．解答：解：把这组数据从小到大排列为：﹣3，0，1，6，6，最中间的数是1，则中位数是1．故选B．点评：此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．第12页（共39页）　6．（4分）（2015•漳州）下列命题中，是假命题的是（　　）　A ．　B ．　C ．　D ．对顶角相等同旁内角互补两点确定一条直线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等考点：命题与定理．菁优网版权所有分析：根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据角平分线性质对D进行判断．解答：解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题； B、两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题； C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题； D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．故选B．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．第13页（共39页）　7．（4分）（2015•漳州）一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数为（　　）　A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．考点：多边形内角与外角．菁优网版权所有分析：先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360° ，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．解答：解：∵多边形的每一个内角都等于120°， ∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°， ∴边数n=360°÷60°=6．故选：C．点评：此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．　8．（4分）（2015•漳州）均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是（　　）　A BCD．．．．考点：函数的图象．菁优网版权所有第14页（共39页）分析：由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．解答：解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短．故选A．点评：此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器的高度相同，每部分的粗细不同得到用时的不同．　9．（4分）（2015•漳州）已知⊙P的半径为2，圆心在函数y=﹣ 的图象上运动，当⊙P与坐标轴相切于点D时，则符合条件的点D的个数为（　　）　A 0 B 1 C 2 D 4 ．．．．考点：切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有分析： ⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切时，P点的纵坐标是±2，把y=±2代入函数解析式，得到x=±4，因而点D的坐标是（±4，0），⊙P与y轴相切时，P点的横坐标是± 2，把x=±2代入函数解析式，得到y=±4，因而点D的坐标是（0．±4）．解答：解：根据题意可知，当⊙P与y轴相切于点D时，得x=±2，把x=±2代入y=﹣ 得y=±4， ∴D（0，4），（0，﹣4）；当⊙P与x轴相切于点D时，得y=±2，第15页（共39页）把y=±2代入y=﹣ 得x=±4， ∴D（4，0），（﹣4，0）， ∴符合条件的点D的个数为4，故选D．点评：本题主要考查了圆的切线的性质，反比例函数图象上的点的特征，掌握反比例函数图象上的点的特征是解题的关键．　10．（4分）（2015•漳州）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（　　）　A 4，2，1 B 2，1，4 C 1，4，2 D 2，4，1 ．．．．考点：代数式求值．菁优网版权所有专题：图表型．分析：把各项中的数字代入程序中计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、把x=4代入得： =2，把x=2代入得： =1，本选项不合题意； B、把x=2代入得： =1，把x=1代入得：3+1=4，第16页（共39页）把x=4代入得： =2，本选项不合题意； C、把x=1代入得：3+1=4，把x=4代入得： =2，把x=2代入得： =1，本选项不合题意； D、把x=2代入得： =1，把x=1代入得：3+1=4，把x=4代入得： =2，本选项符合题意，故选D 点评：此题考查了代数式求值，弄清程序框图中的运算法则是解本题的关键．　二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分．） 11．（4分）（2015•漳州）计算：2a2•a4=　2a6　．考点：单项式乘单项式．菁优网版权所有分析：直接利用单项式乘以单项式运算法则化简求出即可．解答：解：2a2•a4=2a6．故答案为：2a6．点评：此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．　12．（4分）（2015•漳州）我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是　4　．第17页（共39页）考点：频数与频率．菁优网版权所有分析：根据频数的概念求解．解答：解：数串“201506221500”中“0”出现的频数是4．故答案为：4．点评：本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频数的概念：频数是指每个对象出现的次数．　13．（4分）（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　＜2　时，y随x的增大而减小．考点：二次函数的性质．菁优网版权所有分析：根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．解答：解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1， ∵a＞0， ∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．第18页（共39页）点评：本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．　14．（4分）（2015•漳州）如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， = ，DE=6，则EF=　9　．考点：平行线分线段成比例．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据平行线分线段成比例定理得到解答：解：∵AD∥BE∥CF， =，即 = ，然后根据比例性质求EF． ∴=，即 = ，∴EF=9．故答案为9．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．　15．（4分）（2015•漳州）若关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣ 且a≠0　．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有第19页（共39页）分析：根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1 ）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴a≠0且△=b2﹣4ac=32﹣4×a×（﹣1）=9+4a＞0，解得：a＞﹣ 且a≠0．故答案为：a＞﹣ 且a≠0．点评：此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．　16．（4分）（2015•漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　61°　．考点：圆周角定理．菁优网版权所有分析：首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点 A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠ BCD的度数，继而求得答案．第20页（共39页）解答：解：连接OD， ∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合， ∴点A，B，C，D共圆， ∵点D对应的刻度是58°， ∴∠BOD=58°， ∴∠BCD= ∠BOD=29°， ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．故答案为：61°．点评：此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．　三、解答题（共9题，满分86分．） 17．（8分）（2015•漳州）计算： ﹣（π﹣3）0+（﹣1）2015 ．考点：实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣1﹣1=0．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．第21页（共39页）　18．（8分）（2015•漳州）先化简： ﹣，再选取一个适当的m的值代入求值．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，接着把分之分解后约分得到原式=m﹣1，然后取m=2016求分式的值．解答：解：原式= ﹣===m﹣1，当m=2016时，原式=2016﹣1=2015．点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．　19．（8分）（2015•漳州）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．第22页（共39页）求证：∠B=∠C．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，从而求得 △ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．解答：证明：过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴∠B=∠C．第23页（共39页）点评：本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．　20．（8分）（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是　等腰直角　三角形．考点：作图-位似变换．菁优网版权所有分析：（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C ′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．解答：解：（1）如图所示：第24页（共39页）（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40， ∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2， ∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为等腰直角．点评：本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心， ②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．　21．（8分）（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有分析：（1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；第25页（共39页）（2）先分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案．解答：解：（1）根据题意画图如下： ∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种， ∴P（小明获胜）= =；（2）∵P（小明获胜）= ， ∴P（小东获胜）=1﹣ = ， ∴这个游戏不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．　22．（10分）（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．第26页（共39页）考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有分析：（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠ 3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．解答：（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2， ∵FG∥CD， ∴∠2=∠3， ∴FG=FE， ∴DG=GF=EF=DE， ∴四边形DEFG为菱形；（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3， ∴= ．第27页（共39页）点评：本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．　23．（10分）（2015•漳州）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别冰箱 1600 1800 洗衣机 1000 彩电 2000 进价（元/台）售价（元/台） 2300 1100 若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有分析：（1）根据表格中三种家电的进价表示三种家电的总进价，小于等于170000元列出关于x的不等式，根据x为正整数，即可解答；第28页（共39页）（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=（2300﹣2000）2x+（1 800﹣1600）x+（1100﹣1000）（100﹣3x）=500x+10000，结合（1）中x的取值范围，利用一次函数的性质即可解答．解答：解：（1）根据题意，得：2000•2x+1600x+1000（100﹣3x）≤170000，解得：x ，∵x为正整数， ∴x至多为26，答：商店至多可以购买冰箱26台．（2）设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，则y=（2300﹣2000）2x+（1800﹣1600）x+（1100﹣1000）（100﹣3x）=500x+ 10000， ∵k=500＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵x 且x为正整数， ∴当x=26时，y有最大值，最大值为：500×26+10000=23000，答：购买冰箱26台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23000元．点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：一元一次不等式的应用，不等式解集中的正整数解，以及一次函数的图象与性质，此类题常常以实际生活为情景，考查利润等热点问题，解答时要审清题中的等量关系及不等关系，从表格中提取有用的信息，达到解决问题的目的．　第29页（共39页） 24．（12分）（2015•漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接 AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= ．tanD=tan15°= ==2﹣ ．思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= ．假设α=60° ==2﹣ ．思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 … 请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45° ，求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3，直线y= x﹣1与双曲线y= 交于A，B两点，与y轴交于点C ，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．第30页（共39页）考点：反比例函数综合题；解一元二次方程- 公式法；根的判别式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：阅读型；探究型．分析：（1）如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，就可解决问题；（2）如图2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AB，运用三角函数求得∠BAC= 30°．从而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，运用三角函数就可求出DB，从而求出DC长；（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点 C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F，可先求出点A、B、C 的坐标，从而求出tan∠ACF的值，进而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=t an（45°+∠ACF）的值，设点P的坐标为（a，b），根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值，可得到关于a、b的两个方程，解这个方程组就可得到点P的坐标；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4，由① 第31页（共39页）可知∠ACP=45°，P（（，3），则有CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，易证△GO C∽△CHP，根据相似三角形的性质可求出GO，从而得到点G的坐标，然后用待定系数法求出直线CG的解析式，然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的方程，运用根的判别式判定，得到方程无实数根，此时点P不存在．解答：解：（1）方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC= tan∠DAC=tan75°= 方法二：tan75°=tan（45°+30°）．===2+ ；====2+ ；（2）如图2，在Rt△ABC中， AB= ==30 ，sin∠BAC= == ，即∠BAC=30°． ∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ，∴DB=AB•tan∠DAB=30 •（2+ ）=60 +90， ∴DC=DB﹣BC=60 +90﹣30=60 +60．答：这座电视塔CD的高度为（60 +60）米；（3）①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．第32页（共39页）过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．解方程组，得或，∴点A（4，1），点B（﹣2，﹣2）．对于y= x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则C（0，﹣1），OC=1， ∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2， ∴tan∠ACF= == ， ∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF） ===3，即 =3．设点P的坐标为（a，b），则有，解得：或，∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）或（，3）； ②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4．由①可知∠ACP=45°，P（（，3），则CP⊥CG．过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH， ∴△GOC∽△CHP，第33页（共39页） ∴=．∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH= ，OC=1， = = ， ∴∴GO=3，G（﹣3，0）．设直线CG的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线CG的解析式为y=﹣ x﹣1．联立，消去y，得 =﹣ x﹣1，整理得：x2+3x+12=0， ∵△=32﹣4×1×12=﹣39＜0， ∴方程没有实数根， ∴点P不存在．综上所述：直线AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为（﹣1， ﹣4）或（，3）．第34页（共39页）点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、和（差）角正切公式、用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数与一次函数的图象的交点、相似三角形的判定与性质、勾股定理、根的判别式、解一元二次方程等知识，考查了运用已有经验解决问题的能力，在解决问题的过程中，用到了分类讨论的数学思想，用到了类比探究的数学方法，是一道体现新课程理念（自主探究与合作交流相结合）的好题．　25．（14分）（2015•漳州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．（1）填空：点C的坐标为（　0　，　3　），点D的坐标为（　1　，　4　）；第35页（共39页）（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P 的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：（1）根据抛物线与坐标轴交点坐标求法和顶点坐标求法计算即可；（2）求|PD﹣PC|的值最大时点P的坐标，应延长CD交x轴于点P．因为|PD﹣PC| 小于或等于第三边CD，所以当|PC﹣PD|等于CD时，|PC﹣PD|的值最大．因此求出过CD两点的解析式，求它与x轴交点坐标即可；（3）过C点作CE∥x轴，交DB于点E，求出直线BD的解析式，求出点E的坐标，求出P′C′与BC的交点M的坐标，分点C′在线段CE上和在线段CE的延长线上两种情况，再分别求得N点坐标，再利用图形的面积的差，可表示出S，再求得其最大值即可．解答：解：（1）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴C（0，3），D（1，4），故答案为：0；3；1；4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，第36页（共39页） ∴延长DC交x轴于点P，设直线DC的解析式为y=kx+b，把D、C两点坐标代入可得，解得，∴直线DC的解析式为y=x+3，将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，如图1，点P（﹣3，0）即为所求；（3）过点C作CE∥x，交直线BD于点E，如图2，由（2）得直线DC的解析式为y=x+3，由法可求得直线BD的解析式为y=﹣2x+6，直线BC的解析式为y=﹣x+3，在y=﹣2x+6中，当y=3时，x= ， ∴E点坐标为（，3），设直线P′C′与直线BC交于点M， ∵P′C′∥DC，P′C′与y轴交于点（0，3﹣t）， ∴直线P′C′的解析式为y=x+3﹣t，第37页（共39页）联立，解得，∴点M坐标为（，）， ∵B′C′∥BC，B′坐标为（3+t，0）， ∴直线B′C′的解析式为y=﹣x+3+t，分两种情况讨论： ①当0＜t＜时，如图2，B′C′与BD交于点N，联立，解得，∴N点坐标为（3﹣t，2t）， S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′= ×6×3﹣ （6﹣t）× （6﹣t）﹣ t×2t=﹣ t2+3t，其对称轴为t= ，可知当0＜t＜时，S随t的增大而增大，当t= 时，有最大值；②当 ≤t＜6时，如图3，直线P′C′与DB交于点N，立，解得，∴N点坐标为（，）， S=S△BNP′﹣S△BMP′= （6﹣t）× 3； ﹣ ×（6﹣t）× =（6﹣t）2= t2﹣t+ 第38页（共39页）显然当＜t＜6时，S随t的增大而减小，当t= 时，S= 综上所述，S与t之间的关系式为S= ，且当t= 时，S有最大值，最大值为点评：．本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点．在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用t分别表示出E、 M、N的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大．第39页（共39页）