2015年福建省南平市中考数学试卷（含解析版）

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）（2015•南平）﹣6的绝对值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D． 2．（4分）（2015•南平）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）（2015•南平）下列图形中，不是中心对称图形的为（　　） A．圆 B．正六边形 C．正方形 D．等边三角形 4．（4分）（2015•南平）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（　　）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4 5．（4分）（2015•南平）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 6．（4分）（2015•南平）八边形的内角和等于（　　） A．360° B．1080° C．1440° D．2160° 7．（4分）（2015•南平）下列运算正确的是（　　）第1页（共31页） A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5 C．a4•a=a5 D．3x+5y=8xy 8．（4分）（2015•南平）不等式组 A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 的解集是（　　） D．﹣2＜x＜1 9．（4分）（2015•南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0） 10．（4分）（2015•南平）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． mB． mC． mD．1m 　二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2015•南平）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（　　　　　　，　　　　　　）． 12．（4分）（2015•南平）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是　　　　　　．（填“全面调查”或“抽样调查”） 13．（4分）（2015•南平）计算： ﹣=　　　　　　． 14．（4分）（2015•南平）分解因式：am2﹣9a=　　　　　　．第2页（共31页） 15．（4分）（2015•南平）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： ①可以拼成等腰直角三角形； ②可以拼成对角互补的四边形； ③可以拼成五边形； ④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 16．（4分）（2015•南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在 x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于　　　　　　．　三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）（2015•南平）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣ ．18．（8分）（2015•南平）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．第3页（共31页） 19．（8分）（2015•南平）解分式方程： =．20．（8分）（2015•南平）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数 100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=　　　　　　；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为　　　　　　度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？第4页（共31页） 21．（8分）（2015•南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC， CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 22．（10分）（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）第5页（共31页） 23．（10分）（2015•南平）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完． ①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式； ②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本） 24．（12分）（2015•南平）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx 的对称轴为x= ，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m （0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB 的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：第6页（共31页） ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（　　　　　　，　　　　　　），D（　　　　　　，　　　　　　）； ②当m=　　　　　　时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 25．（14分）（2015•南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；第7页（共31页）（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设 AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An﹣1An．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）　第8页（共31页） 2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）（2015•南平）﹣6的绝对值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【考点】绝对值．菁优网版权所有【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣6|=6，故选：B．【点评】本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．　2．（4分）（2015•南平）如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】从上边看几何体得到俯视图即可．第9页（共31页）【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是故选C ，【点评】此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体上边看的试图．　3．（4分）（2015•南平）下列图形中，不是中心对称图形的为（　　） A．圆 B．正六边形 C．正方形 D．等边三角形【考点】中心对称图形．菁优网版权所有【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　4．（4分）（2015•南平）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（　　）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4 【考点】众数；算术平均数．菁优网版权所有【分析】根据众数和平均数的概念求解．第10页（共31页）【解答】解：平均数为： ∵1出现的次数最多， ∴众数为1． =3，故选B．【点评】本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．　5．（4分）（2015•南平）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【考点】利用频率估计概率．菁优网版权所有【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选C 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．　6．（4分）（2015•南平）八边形的内角和等于（　　） A．360° B．1080° C．1440° D．2160° 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有第11页（共31页）【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：（8﹣2）×180°=1080°，故选B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理：（n﹣ 2）•180°是解答此题的关键．　7．（4分）（2015•南平）下列运算正确的是（　　） A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5 C．a4•a=a5 D．3x+5y=8xy 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有【分析】根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误； B、（a2）3=a6，选项错误； C、正确； D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．　8．（4分）（2015•南平）不等式组 A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 的解集是（　　） D．﹣2＜x＜1 【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．第12页（共31页）【解答】解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选A．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．　9．（4分）（2015•南平）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）【考点】一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有【分析】根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣ 6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4 ，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式．　第13页（共31页） 10．（4分）（2015•南平）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　） A． mB． mC． mD．1m 【考点】圆锥的计算．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD= ∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°= 则AB=2AD= 则扇形的弧长是：设底面圆的半径是r，则2πr= 解得：r= 故答案是：A．．，=，，．第14页（共31页）【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．　二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2015•南平）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（　﹣1　，　﹣1　）．【考点】点的坐标．菁优网版权所有【专题】开放型．【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在第三象限内点的横坐标、纵坐标为负．　12．（4分）（2015•南平）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是　抽样调查　．（填“全面调查”或“抽样调查”）【考点】全面调查与抽样调查．菁优网版权所有第15页（共31页）【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．【解答】解：∵市场上的粽子数量较大， ∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．【点评】本题考查的是全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．　13．（4分）（2015•南平）计算：【考点】分式的加减法．菁优网版权所有【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．【解答】解： ﹣=　2　． ﹣，=，=，=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．　14．（4分）（2015•南平）分解因式：am2﹣9a=　a（m+3）（m﹣3）　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【专题】因式分解．第16页（共31页）【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a =a（m2﹣9） =a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　15．（4分）（2015•南平）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论： ①可以拼成等腰直角三角形； ②可以拼成对角互补的四边形； ③可以拼成五边形； ④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是　①②③④　．【考点】图形的剪拼．菁优网版权所有【分析】分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．【解答】解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；第17页（共31页）所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．【点评】本题考查了图形的简拼，此类题目，关键在于确定出重叠的边和图形的方法，难点在于考虑问题要全面．　16．（4分）（2015•南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在 x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于　．【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出 === ，设CE=x ，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD= ，OE= ，OA= ，然后根据三角形面积求得即可．第18页（共31页）【解答】解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E， ∴BD∥CE， ∴==，∵OC是△OAB的中线， = ， ∴==设CE=x，则BD=2x， ∴C的横坐标为，B的横坐标为 ∴OD= ，OE= ，，∴DE= ﹣ ∴AE=DE= ∴OA= + =，，=，∴S△OAB= OA•BD= × ×2x= ．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA长是解题关键．　三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（8分）（2015•南平）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣ ．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有第19页（共31页）【分析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣8+3×1﹣3 =﹣8+3﹣3 =﹣8．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．　18．（8分）（2015•南平）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．【考点】整式的混合运算．菁优网版权所有【分析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x =2×2+4．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．　19．（8分）（2015•南平）解分式方程：【考点】解分式方程．菁优网版权所有 =．【分析】两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1）得， 3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，第20页（共31页） ∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．【点评】本题考查的是解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．　20．（8分）（2015•南平）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数 100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=　40　；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为　108　度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？【考点】扇形统计图；统计表；概率公式．菁优网版权所有第21页（共31页）【分析】（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．【解答】解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：20 0﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°× 故答案为：108． =108°．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是： =0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．【点评】本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．　21．（8分）（2015•南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC， CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有第22页（共31页）【专题】证明题．【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，则BO=CO． ∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．【点评】本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．　22．（10分）（2015•南平）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）【考点】切线的性质；解直角三角形．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；第23页（共31页）（2）根据三角函数进行计算即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图， ∵CD与半圆O相切于点D， ∴OD⊥CD， ∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°， ∴∠CDB=∠ODA， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠BAD， ∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD= ，∴AB= ，∴⊙O的半径为．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．　23．（10分）（2015•南平）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；第24页（共31页）（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完． ①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式； ②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果； ②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：解得：答：a，b的值分别为10，30；，；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40）， ∴y=25x﹣300； ②商店要不亏本，则y≥0， ∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．　第25页（共31页） 24．（12分）（2015•南平）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx 的对称轴为x= ，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m （0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB 的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（　m　，　 m　），D（　2m　，　0　）； ②当m=　1　时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y= x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y= m，所以得出点C（m， m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；第26页（共31页） ②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△A CD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO= ，所 ==以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可．【解答】解：（1）依题意，得，解得 ∴y=x2﹣ x （2）C（m， m），D（2m，0），m=1 （3）依题意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+ = m2， ∴OC= m又∵O，D关于直线PC对称， ∴CD=OC= 在RT△AOE中，OA= ∴AC=OA﹣OC= m==﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5 分三种情况讨论： ①若AC=CD，即 ②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+ m2=4m2﹣8m+5 解得m1=0，m2= ．∵0＜m＜2，∴m= ，∴P（ ﹣m= m，解得m=1，∴P（1，），）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5= m2 第27页（共31页）解得m1= ，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m= ，∴P（综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P3（）．，）），P2（，，【点评】此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．　25．（14分）（2015•南平）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设 AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An﹣1An．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）【考点】相似形综合题．菁优网版权所有【专题】压轴题．第28页（共31页）【分析】（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽ △AA1B，进而得出，求出即可； =（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出 =，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°， ∴∠A=∠ABC=72°， ∵BA1平分∠ABC， ∴∠ABA1= ∠ABC=36°， ∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△AA1B， ∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1， ∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B， ∵∠A1BC=∠C=36°， ∴A1B=A1C， ∴AB=A1C， ∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB， ∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，第29页（共31页） ∴x2+x﹣1=0，解得：x1= ，x2= （不合题意舍去）， ∴AB= ，又∵AC=1， ∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣ a= a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1 =a﹣ =a﹣ =（ a﹣ a﹣ A1C [a﹣ a] ）3a．故An﹣1An= a．【点评】此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA1，A1A2的长是解题关键．　第30页（共31页）参与本试卷答题和审题的老师有：1286697702；sks；zcx；caicl；1987483819； fangcao；zhjh；守拙；sd2011；CJX；星期八；ZJX；gbl210；1339885408@qq. com；zxw；Linaliu；wdzyzmsy@126.com；73zzx（排名不分先后）菁优网 2016年6月4日第31页（共31页）