2015年湖南省郴州市中考数学试卷（含解析版）

2015年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）　 A． B． C． ﹣2 D． 2 2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣9 D． 9 3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）　 A． x3+x=x4 B． x2•x3=x5 C．（x2）3=x5 D． x9÷x3=x3　 4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）　 A． B． C． D． 5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D． 6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，10 0，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）　 A． 93，96 B． 96，96 C． 96，100 D． 93，100 7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）　 A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0 8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线B D对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）　 A． B． 2 C． 3 D． 3 　二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为　　　　　　．10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　　　　　　cm2． 11．（3分）（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2=　　　　　　． 12．（3分）（2015•郴州）函数y= 中，自变量x的取值范围是　　　　　　．13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　　　　　　．14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CA B=40°，则∠ABC的度数为　　　　　　． 15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　　　　　． 16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律： = （1﹣ ）， = （ ﹣ ）， = （ ﹣ ）， = （ ﹣ ）， …则+++…+ =　　　　　　．　三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24- 25每题10分，26题12分，共82分） 17．（6分）（2015•郴州）计算：（）﹣1﹣20150+|﹣ |﹣2sin60°．　18．（6分）（2015•郴州）解不等式组数轴上表示出来．，并把它的解集在　19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0 ）与反比例函数y2= （m≠0）的一个交点．（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？　20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了　　　　　　本书籍，扇形统计图中的m=　　　　　　，∠α的度数是　　　　　　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．　21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．　22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得B C=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）　23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．　[来源:学,科,网Z,X,X,K] 24．（10分）（2015•郴州）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是增函数．例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数．证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 f（x1）﹣f（x2）= ﹣==∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0 ∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）= （x＞0），f（1）= =1，f（2）= =．计算：f（3）=　　　　　　，f（4）=　　　　　　，猜想f（x）= （x＞0）是　　　　　　函数（填“增”或“减”）；（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．　25．（10分）（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G 分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．　26．（12分）（2015•郴州）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，A D=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达 C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．　　2015年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）　 A． B． C． ﹣2 D． 2 考点：相反数．版权所有分析：根据相反数的概念解答即可．解答：解：2的相反数是﹣2，故选：C．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．　2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）　 A． ﹣6 B． 6 C． ﹣9 D． 9 考点：有理数的乘方．版权所有分析：根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．解答：解：（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．故选D．点评：本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．　3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）　 A． x3+x=x4 B． x2•x3=x5 C．（x2）3=x5 D． x9÷x3=x3 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、x3•x=x4，故错误； B、正确； C、（x2）3=x6，故错误； D、x9÷x3=x6，故错误；故选：B．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．　4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）　 A． B． C． D．考点：简单几何体的三视图．版权所有分析：分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．解答：解：A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意； B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意； C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意； D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．故选A．点评：本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．　5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D．考点：轴对称图形．版权所有分析：根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．解答：解：A、是轴对称图形， B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、不是轴对称图形，故选：A．点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．　6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，10 0，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）　 A． 93，96 B． 96，96 C． 96，100 D． 93，100 考点：众数；中位数．版权所有分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：把数据从小到大排列：92，93，95，96，96，98，100，位置处于中间的数是：96，故中位数是96；次数最多的数是96，故众数是96，故选：B．点评：此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．　7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）　 A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0 考点：一次函数图象与系数的关系．版权所有专题：数形结合．分析：根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．解答：解：∵一次函数经过二、四象限， ∴k＜0， ∵一次函数与y轴的交于正半轴， ∴b＞0．故选C．点评：考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0 ．　8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线B D对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）　 A． B． 2 C． 3 D． 3 考点：翻折变换（折叠问题）．版权所有分析：利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．解答：解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，可得∠4=∠5=60°， ∵AB=DC=BE=3， ∴tan60°= ==，解得：EF= 故选：A．．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．　二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为　 3.2×109　．考点：科学记数法—表示较大的数．版权所有分析：用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1 时，n是负数．解答：解：3200000000=3.2×109，故答案为：3.2×109 点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　3π　cm2．考点：圆锥的计算．版权所有分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解答：解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．　11．（3分）（2015•郴州）分解因式：2a2﹣2=　2（a+1）（a﹣1）　．考点：提公因式法与公式法的综合运用．版权所有分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2a2﹣2， =2（a2﹣1）， =2（a+1）（a﹣1）．点评：本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　12．（3分）（2015•郴州）函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≠2　．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．版权所有专题：计算题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．解答：解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．　13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　 80°　．考点：平行线的性质．版权所有分析：根据邻补角定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．解答：解：如图， ∵∠1=100°， ∴∠3=180°﹣100°=80°， ∵m∥n， ∴∠2=∠3=80°．故答案为80°．点评：本题考查了平行线的性质，找到相应的同位角是解题的关键．　14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CA B=40°，则∠ABC的度数为　50°　．考点：圆周角定理．版权所有专题：计算题．分析：根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．解答：解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°．故答案为50°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．　15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　．考点：列表法与树状图法；完全平方式．版权所有专题：计算题．分析：先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++” 和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．解答：解：画树状图为：共有四种等可能的结果数，其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，所以所得的代数式为完全平方式的概率= = ．故答案为．点评：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B的概率．也考查了完全平方式．　16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律： = （1﹣ ）， = （ ﹣ ）， = （ ﹣ ）， = （ ﹣ ）， …则+++…+ =　　．考点：规律型：数字的变化类．版权所有分析：观察算式可知 = （ ﹣ ）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．解答：解： +++…+ = （1﹣ ）+ （ ﹣ ）+ （ ﹣ ）+…+ （ = （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣）﹣）= （1﹣ = × ）=．故答案为：点评：．考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为 = （ ﹣ ）（n为非0自然数）．　三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24- 25每题10分，26题12分，共82分） 17．（6分）（2015•郴州）计算：（）﹣1﹣20150+|﹣ |﹣2sin60°．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有专题：计算题．分析：原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=2﹣1+ ﹣2× =1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　18．（6分）（2015•郴州）解不等式组数轴上表示出来．，并把它的解集在考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x≤ ，解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x ，在数轴上表示不等式组的解集为：点评：．本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．　19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0 ）与反比例函数y2= （m≠0）的一个交点．（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？考点：反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有分析：（1）利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可；（2）利用函数图象，结合交点左侧时y1＜y2．解答：解：（1）将点A（1，2）代入正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2= （m≠ 0）得， 2=k，m=1×2=2，故y1=2x（k≠0），反比例函数y2= ；（2）如图所示：当0＜x＜1时，y1＜y2．点评：此题主要考查了一次函数与反比例函数交点，利用数形结合得出是解题关键．　20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．（1）这次统计共抽取了　200　本书籍，扇形统计图中的m=　40　，∠α的度数是　36°　；（2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有分析：（1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答．解答：解：（1）40÷20%=200（本），80÷200=40%，故答案为：200，40，36°； ×360°=36°，（2）B的本数为：200﹣40﹣80﹣20=60（本），如图所示：（3）3000× =900（本）．答：估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树． [来源:Z|xx|k.Com] 考点：分式方程的应用．版权所有分析：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．解答：解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得 +=30 解得：x=200 经检验x=200是原方程的解．则（1+50%）x=300 =20（棵）答：樱花树的单价为200元，有20棵．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．　22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得B C=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．版权所有分析：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．用含x的代数式分别表示BD，CD．再根据BD+CD=BC，列出方程 x+x=150，解方程即可．解答：解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°， ∴BD=AD•tan30°= x．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°， ∴CD=AD=x． ∵BD+CD=BC， ∴x+x=150， ∴x=75（3﹣ ）≈95．即A点到河岸BC的距离约为95m．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．　23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．版权所有分析：（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出结论；（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， ∵O是OA的中点， ∴OA=OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形；理由如下： ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形．点评：本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．　24．（10分）（2015•郴州）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是增函数．例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数．证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 f（x1）﹣f（x2）= ﹣==∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0 ∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）= （x＞0），f（1）= =1，f（2）= =．计算：f（3）=　，f（4）=　，猜想f（x）= （x＞0）是　减　函数（填“增”或“减”）；（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．考点：反比例函数综合题．版权所有专题：阅读型．分析：（1）根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；（2）假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0，再作差比较即可．解答：（1）解：∵f（x）= （x＞0），f（1）= =1，f（2）= =， ∴f（3）= =，f（4）= ∵ ＞ =，，∴猜想f（x）= （x＞0）是减函数．故答案为：，，减；（2）证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 f（x1）﹣f（x2）= ﹣==，∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0 22∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，x1 •x2 ＞0， ∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题中所给出的材料假设出x1＜x2，且x1＞ 0，x2＞0，再比较出其大小即可．　25．（10分）（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？（顶点D，E，F，G 分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．版权所有专题：综合题．分析：（1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2 ，CA=2 ，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB ，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4 ，OC=6 ，设D（t， 0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG ，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽ △OAB，利用相似比得DE= t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG= （4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DE•DG= t• （4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D 点坐标．解答：解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得，∴抛物线的表达式为y= x2﹣ x+4；（2）如图1，连结AB、OC， ∵A（4，0），B（0，4），C（6，6）， ∴OA=4，OB=4，CB= ∴OA=OB，CA=CB， ∴OC垂直平分AB， =2 ，CA= =2 ，即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；（3）能．如图2，AB= =4 ，OC= =6 ，设D（t，0）， ∵四边形DEFG为平行四边形，[来源:学科网ZXXK] ∴EF∥DG，EF=DG， ∵OC垂直平分AB， ∴△OBC与△OAC关于OC对称， ∴EF和DG为对应线段， ∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC， ∴DE∥AB， ∴△ODE∽△OAB，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴=，即 ∵DG∥OC， ∴△ADG∽△AOC，，即 ∴矩形DEFG的面积=DE•DG= t• = ，解得DE= t， ∴==，解得DG= （4﹣t），（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0 ）．点评：考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质；会利用相似比计算线段的长．　26．（12分）（2015•郴州）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，A D=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达 C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．考点：四边形综合题．版权所有[来源:学科网ZXXK] 分析：（1）通过比较线段AB，BC的大小，找出较短的线段，根据速度公式可以直接求得；（2）由已知条件，把△PQB的边QB用含t的代数式表示出来，三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来，代入三角形的面积公式可得到一个二次函数，即可求出S的最值；（3）通过作辅助线构造直角三角形，由勾股定理用含t的代数式把△PQB三边表示出来，根据线段相等列出等式求解，即可求的结论．解答：解：（1）作CE⊥AB于E， ∵DC∥AB，DA⊥AB， ∴四边形AFVE是矩形， ∴AE=DE=5，CE=AD=4， ∴BE=3， ∴BC= ，∴BC＜AB， ∴P到C时，P、Q同时停止运动， ∴t= （秒），即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．（2）由题意知，AQ=BP=t， ∴QB=8﹣t，作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE， ∴，即，，∴BF= ∴S= QB•PF= × （8﹣t）= ∵﹣ ＜0， =﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5）， ∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；（3）∵cos∠B= ∴BF=t•cos∠B= ，，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣ ∴QP= ①当PQ=PB时，即QP═4 ∵t= ＞5，不合题意，，==4 ，解得t= （舍去负值） ②当PQ=BQ时，即4 =8﹣t，解得：t1=0（舍去），t2= ，③当QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．综上所述：当t= 秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值，综合性强，能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来，灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键，要注意分类思想、方程思想的应用．