2015年湖北省荆州市中考数学试卷（含解析版）

2015年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30 分） 1．﹣2的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 2．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（　　）A．70° 3．下列运算正确的是（　　） A． =±2 B．x2•x3=x6 C． B．80° C．110° D．120° +=D．（x2）3=x6 4．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6 5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． =D． =7．若关于x的分式方程 A．m＞﹣1 B．m≥1 =2的解为非负数，则m的取值范围是（　　） C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1 8．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边B C﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BP Q的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D． 10．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am =（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A20 15=（　　） A．（31，50） B．（32，47） C．（33，46） D．（34，42）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算： ﹣2﹣1 ﹣|﹣2|+（﹣ ）0=　． +12．分解因式：ab2﹣ac2=　　． 13．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　　cm． 14．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　． 15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　米（结果保留整数，测角仪忽略不计， ≈1.414，，1.732） 16．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△AB C沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′ 点的坐标为　　． 17．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为　　cm2． 18．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2 ，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= （k≠ 0）的图象经过圆心P，则k=　　．三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（7分）解方程组：．20．（8分）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO= ，OB =4，OE=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积． 22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120° 时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 23．（10分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车载鱼量（吨）每吨鱼获利（万元） 8650.25 0.3 0.2 （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润． 24．（12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边B C在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB 上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是⊙P的切线；（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c 上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2015年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30 分） 1．﹣2的相反数是（　　） A．2 B．﹣2 C． D．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义． 2．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（　　）A．70° B．80° C．110° D．120° 【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案．【解答】解： ∵直线l1∥l2，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°， ∴∠2=180°﹣∠3=110°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出 ∠3的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 3．下列运算正确的是（　　） A． =±2 B．x2•x3=x6 C． +=D．（x2）3=x6 【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法．【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行运算；根据同类二次根式的定义对C进行判断；根据幂的乘方对D进行运算．【解答】解：A. =2，所以A错误； B．x2•x3=x5，所以B错误； C. +不是同类二次根式，不能合并； D．（x2）3=x6，所以D正确．故选D．【点评】本题考查实数的综合运算能力，综合运用各种运算法则是解答此题的关键． 4．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．【解答】解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y=（x﹣4）2+4，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减． 5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【解答】解：连接OB， ∵∠ACB=25°， ∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB， ∴∠BAO=∠ABO， ∴∠BAO= （180°﹣50°）=65°．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键． 6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． =D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当 =时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 7．若关于x的分式方程 A．m＞﹣1 B．m≥1 =2的解为非负数，则m的取值范围是（　　） C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1 【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．【解答】解：去分母得：m﹣1=2x﹣2，解得：x= ，由题意得： ≥0且 ≠1，解得：m≥﹣1且m≠1，故选D 【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 8．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（　　） A． B． C． D．【考点】剪纸问题．【分析】根据题意直接动手操作得出即可．【解答】解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选A．【点评】本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便． 9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边B C﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BP Q的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　） A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1； ②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．【解答】解：由题意可得BQ=x． ①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积= BP•BQ，解y= •3x•x= x2；故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积= BQ•BC，解y= •x•3= x；故B选项错误； ③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积= AP•BQ，解y= •（9﹣3x）•x= x﹣ x2；故D选项错误．故选C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键． 10．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am =（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A20 15=（　　） A．（31，50） B．（32，47） C．（33，46） D．（34，42）【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．【解答】解：2015是第设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008， ≥1008， =1008个数，即解得：n≥ ，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015是（ +1）=47个数．故A2015=（32，47）．故选B．【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算： ﹣2﹣1 +﹣|﹣2|+（﹣ ）0=　3 　．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣ +2﹣2+1=3 ，故答案为：3 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．分解因式：ab2﹣ac2=　a（b+c）（b﹣c）　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c），故答案为：a（b+c）（b﹣c）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　16　cm．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE； ∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB， ∴AB=40﹣24=16（cm）．故答案为：16．【点评】（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．14．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根， ∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0 【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为　137　米（结果保留整数，测角仪忽略不计， ≈1.414，，1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】计算题．【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在 Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在 Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x= （x+100），解得x=50（ +1），再进行近似计算即可．【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴CD=AD=x， ∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD= ，∴x= （x+100）， ∴x=50（ +1）≈137，即山高AD为137米．故答案为137．【点评】本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 16．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△AB C沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′ 点的坐标为　（，）　．【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△A DO∽△AB′E，求出B′E和OE．【解答】解：作B′E⊥x轴，易证AD=CD，设OD=x，AD=5﹣x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（5﹣x）2，解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E， ∴△ADO∽△AB′E， ∴，∴，解得：B′E= ，AE= ，∴OE= ∴B′（ ﹣2= ．，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键． 17．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为　36﹣12 　cm2．【考点】展开图折叠成几何体．【分析】这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个六边形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．【解答】解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱， ∴这个正六边形的底面边长为1，高为 ∴侧面积为长为6，宽为6﹣2 的长方形， ∴面积为：6×（6﹣2 ）=36﹣12 故答案为：36﹣12 ，．．【点评】此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用．此题难度不大，注意动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键． 18．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2 ，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= （k≠ 0）的图象经过圆心P，则k=　﹣ 　．【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r ，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出C H= ，接着利用勾股定理计算出AH= ，所以BH=10﹣ = ，然后证明△BEH∽ △BHC，利用相似比得到即 = ，解得r= ，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PD=PE=r，AD=AE，在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10， ∴OB= =6， ∵AC=2， ∴OC=6， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴△PCD为等腰直角三角形， ∴PD=CD=r， ∴AE=AD=2+r， ∵∠CAH=∠BAO， ∴△ACH∽△ABO， ∴=，即 =，解得CH= ， = =， ∴AH= ∴BH=10﹣ = ∵PE∥CH，，∴△BEP∽△BHC，，即 ∴== ，解得r= ， ∴OD=OC﹣CD=6﹣ = ， ∴P（，﹣ ）， ∴k= ×（﹣ ）=﹣ 故答案为﹣ ．．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（7分）解方程组：．【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：②×3﹣①得：11y=22，即y=2，把y=2代入②得：x=1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 20．（8分）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出D 级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角；根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形．（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）总人数=5÷25%=20， ∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为： ×100%=15%，扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°．由题意得：B等级的人数=20×40%=8（人），A等级的人数=20×20%=4．（2）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，恰好是1位男同学和1位女同学有7种情况，所以，P（恰好是1位男同学和1位女同学）= ．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO= ，OB =4，OE=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB 和反比例的函数解析式；（2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=2+4=6． ∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO= ∴OA=2，CE=3． == ． ∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．故直线AB的解析式为y=﹣ x+2．设反比例函数的解析式为y= （m≠0），将点C的坐标代入，得3= ∴m=﹣6．，∴该反比例函数的解析式为y=﹣ ．（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOD的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难． 22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120° 时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE；【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键． 23．（10分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：鲢鱼草鱼青鱼每辆汽车载鱼量（吨）每吨鱼获利（万元） 8650.25 0.3 0.2 （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x ﹣y）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x的范围，设此次销售所获利润为w元， w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性质即可解答．【解答】解：（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20 ﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由题意，得 8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120， ∴y=﹣3x+20．答：y与x的函数关系式为y=﹣3x+20；（2），根据题意，得 ∴，解得：2≤x≤6，设此次销售所获利润为w元， w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36 ∵k=﹣1.4＜0， ∴w随x的增大而减小． ∴当x=2时，w取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）． ∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．【点评】本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+ 2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根， ②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣ ， ∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数， ∴k=1． ∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，．由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边B C在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB 上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是⊙P的切线；（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c 上吗？请说明理由；（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）先确定B（﹣4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD =2 ，D（0，2 ），然后利用交点式求抛物线的解析式；（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠ A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算 = ，加上∠ DAE=∠DCB，则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=9 0°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线（3）由△AED∽△COD，根据相似比计算出DE=3 ，由于∠CDE=90°，DE＞D C，再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上；（4）利用配方得到y=﹣ （x+1）2+ ，则M（﹣1，），且B（﹣4，0 ），D（0，2 ），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．【解答】解：（1）∵C（2，0），BC=6， ∴B（﹣4，0），在Rt△OCD中，∵tan∠OCD= ，∴OD=2tan60°=2 ，∴D（0，2 ），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），把D（0，2 ）代入得a•4•（﹣2）=2 ，解得a=﹣ ，∴抛物线的解析式为y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2 ；（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6， ∵AE=3BE， ∴AE=3， ∴∴= ， = = ， =，而∠DAE=∠DCB， ∴△AED∽△COD， ∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90° ∴∠CDO+∠ODE=90°， ∴CD⊥DE， ∵∠DOC=90°， ∴CD为⊙P的直径， ∴ED是⊙P的切线；（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下： ∵△AED∽△COD， ∴=，即 = ，解得DE=3 ，∵∠CDE=90°，DE＞DC， ∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上， ∴点E′不能在抛物线上；（4）存在． ∵y=﹣ x2﹣ x+2 =﹣ （x+1）2+ ∴M（﹣1，），而B（﹣4，0），D（0，2 ），如图2，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2 个单位得到点B，则点M（﹣1，位得到点N1（﹣5，）；）向左平移4个单位，再向下平移2 个单当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2 ）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2 ）向右平移3个单位，再向下平移单位得到点N3（﹣3，﹣ ），个综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣ ）．【点评】考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线