2015年湖北省恩施州中考数学试卷 一、选择题(本题共12小题,每小题3分,满分36分,中每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的,请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.﹣5的绝对值是( ) ﹣5 A. B. C. D.5 ﹣2.恩施气候独特,土壤天然含硒,盛产茶叶,恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨,将6 4000用科学记数法表示为( )[来源:Z.xx.k.Com] 3545 A. B. C. D. 0.64×10 64×10 6.4×10 6.4×10 3.(3分)(2015•恩施州)如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的值 为( ) A.20° 4.(3分)(2015•恩施州)函数y= A.x≥2 B.x>2 5.(3分)(2015•恩施州)下列计算正确的是( ) B.30° C.40° +x﹣2的自变量x的取值范围是( ) C.x≠2 D.x≤2 D.70° (﹣x2)5=﹣x10 (a﹣b)2=a2﹣b2 D. 326437 A. B. C. 4x •2x =8x a +a =a 6.(3分)(2015•恩施州)某中学开展“眼光体育一小时”活动,根据学校实际情况,如图 决定开设“A:踢毽子,B:篮球,C:跳绳,D:乒乓球”四项运动项目(每位同学必须选 择一项),为了解学生最喜欢哪一项运动项目,随机抽取了一部分学生进行调查,丙将调 查结果绘制成如图的统计图,则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为( ) A.240 B.120 C.80 D.40 7.(3分)(2015•恩施州)如图是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标 有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的 是( ) A.0 B.2 C.数 D.学 [来 8.(3分)(2015•恩施州)关于x的不等式组 m的取值范围为( ) 的解集为x<3,那么 A.m=3 B.m>3 C.m<3 D.m≥3 9.(3分)(2015•恩施州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F, DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为( ) A.4 B.7 C.3 D.12 10.(3分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点 ,∠CDB=30°,CD=4 ,则阴影部分的面积为( ) A.π B.4π C. D. ππ11.(3分)(2015•恩施州)随着服装市场竞争日益激烈,某品牌服装专卖店一款服装按 原售价降价a元后,再次降价20%,现售价为b元,则原售价为( ) A. B. C. D. (b+ a)元 (a+ b)元 (a+ b)元 (b+ a)元 12.(3分)(2015•恩施州)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3 ,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论: ①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象 上的两点,则y1<y2, 其中正确结论是( ) A.②④ B.①④ C.①③ D.②③ 二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分,不要求写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卷相应位置上) 13.(3分)(2015•恩施州)4的平方根是 . 14.(3分)(2015•恩施州)因式分解:9bx2y﹣by3= . 15.(3分)(2015•恩施州)如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路 径的长度等于 5π . 16.(3分)(2015•恩施州)观察下列一组数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5 ,5,5,6,…其中每个数n都连续出现n次,那么这一组数的第119个数是 . 三、解答题(本大题共8小题,满分72分,请在大题卷指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)(2015•恩施州)先化简,再求值: 1. •﹣,其中x=2 ﹣ 18.(8分)(2015•恩施州)如图 ,四边形ABCD、BEFG均为正方形,连接AG、CE. (1)求证:AG=CE; (2)求证:AG⊥CE. 19.(8分)(2015•恩施州)质地均匀的小正方体,六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4” 、“5”、“6”,同时投掷两枚,观察朝上一面的数字. (1)求数字“1”出现的概率; (2)求两个数字之和为偶数的概率. 20.(8分)(2015•恩施州)如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在 A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30° 方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果 精确到1海里,参考数据: ≈1.732) 21.(8分)(2015•恩施州)如图,已知点A、P在反比例函数y= (k<0)的图象上,点 B、Q在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关 于y轴对称,设点P的坐标为(m,n). (1)求点A的坐标和k的值; (2)求 的值. 22.(10分)(2015•恩施州)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这 两种原料全部生产A、B两种产品共50件,生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示 :原料 型号 甲种原料(千克) 乙种原料(千克) A产品(每件) B产品(每件) 94310 (1)该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案? (2)若生成一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,怎样安排生产可获得最 大利润? 23.(10分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,AB=6,过点O作OH⊥AB交圆于点 H,点C是弧AH上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分别为D、E,过点 C的直线交OA的延长线于点G,且∠GCD=∠CED. (1)求证:GC是⊙O的切线; (2)求DE的长; (3)过点C作CF⊥DE于点F,若∠CED=30°,求CF的长. 24.(12分)(2015•恩施州)矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转,当旋转到如 图所示的位置时,边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4. (1)求AD的长; (2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式; (3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;[来源:Z&xx&k.Com] (4)在抛物线上是否存在点P,使S△PAM =?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明 理由. 2015年湖北省恩施州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共12小题,每小题3分,满分36分,中每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的,请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.﹣5的绝对值是( ) ﹣5 A. B. C. D.5 ﹣绝对值. .考点 :利用绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数 分析 :;0的绝对值是0. 解:根据负数的绝对值是它的相反数,得|﹣5|=5, 故选D.[来源:学*科*网Z*X*X*K] 解答 :点评 此题主要考查了绝对值,关键是掌握绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身 ;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. : 2.恩施气候独特,土壤天然含硒,盛产茶叶,恩施富硒茶叶2013年总产量达64000吨,将6 4000用科学记数法表示为( )[来源:Z.xx.k.Com] 3545 A. B. C. D. 0.64×10 64×10 6.4×10 6.4×10 科学记数法—表示较大的数. .考点 :科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要 看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当 原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 分析 :解:64000=6.4×104, 解答 :故选C. 点评 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a| <10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. : 3.(3分)(2015•恩施州)如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的值 为( ) A.20° B.30° C.40° D.70° 平行线的性质. .考点 :延长ED交BC于F,根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°,求出∠FDC=40°,根据三 角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC,代入求出即可. 分析 :解答 :解: 延长ED交BC于F, ∵AB∥DE,∠ABC=70°, ∴∠MFC=∠B=70°, ∵∠CDE=140°, ∴∠FDC=180°﹣140°=40°, ∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°, 故选B. 点评 本题考查了三角形外角性质,平行线的性质的应用,解此题的关键是求出∠MFC的度 数,注意:两直线平行,同位角相等. : 4.(3分)(2015•恩施州)函数y= A.x≥2 B.x>2 +x﹣2的自变量x的取值范围是( ) C.x≠2 D.x≤2 函数自变量的取值范围. .考点 :根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求 分析 :出x的范围. 解:根据题意得:x﹣2≥0且x﹣2≠0, 解得:x>2. 解答 :故选:B. 点评 函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取 全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表 达式是二次根式时,被开方数非负. : 5.(3分)(2015•恩施州)下列计算正确的是( ) (﹣x2)5=﹣x10 (a﹣b)2=a2﹣b2 D. 326437 A. B. C. 4x •2x =8x a +a =a 单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式. .考点 :专题 计算题. :A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果,即可做出判断; B、原式不能合并,错误; 分析 :C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断. 解:A、原式=8×5,错误; 解答 B、原式不能合并,错误; C、原式=﹣x10,正确; D、原式=a2﹣2ab+b2,错误, 故选C :点评 此题考查了单项式乘单项式,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及完全平方公 式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. : 6.(3分)(2015•恩施州)某中学开展“眼光体育一小时”活动,根据学校实际情况,如图 决定开设“A:踢毽子,B:篮球,C:跳绳,D:乒乓球”四项运动项目(每位同学必须选 择一项),为了解学生最喜欢哪一项运动项目,随机抽取了一部分学生进行调查,丙将调 查结果绘制成如图的统计图,则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为( ) A.240 B.120 C.80 D.40 条形统计图;扇形统计图. .考点 :根据A项的人数是80,所占的百分比是40%即可求得调查的总人数,然后李用总人数 分析 :减去其它组的人数即可求解. 解:调查的总人数是:80÷40%=200(人), 解答 :则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是:200﹣80﹣30﹣50=40(人) .故选D. 点评 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 ;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. : 7.(3分)(2015•恩施州)如图是一个正方体纸盒的展开图,其中的六个正方形内分别标 有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的 是( ) A.0 B.2 C.数 D.学 [来源:学_科_网] 专题:正方体相对两个面上的文字. .考点 :正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答. 分析 :解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, 解答 :“数”相对的字是“1”; “学”相对的字是“2”; “5”相对的字是“0”. 故选:A. 点评 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入 手,分析及解答问题. : 8.(3分)(2015•恩施州)关于x的不等式组 的解集为x<3,那么 D.m≥3 m的取值范围为( ) A.m=3 B.m>3 C.m<3 解一元一次不等式组. .考点 :专题 :计算题. 不等式组中第一个不等式求出解集,根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可. 分析 :解答 :解:不等式组变形得: ,由不等式组的解集为x<3, 得到m的范围为m≥3, 故选D 点评 此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键. : 9.(3分)(2015•恩施州)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F, DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为( ) A.4 B.7 C.3 D.12 相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. .考点 :分析 :由EF∥AB,根据平行线分线段成比例定理,即可求得 ,则可求得AB的长,又 由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边相等,即可求得CD的长. 解答 解:∵DE:EA=3:4, :∴DE:DA=3:7 ∵EF∥AB, ∴,∵EF=3, ∴,解得:AB=7, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=7. 故选B. 点评 此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质.此题难度不大,解题的 关键是注意数形结合思想的应用. : 10.(3分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且E为OB的中点 ,∠CDB=30°,CD=4 ,则阴影部分的面积为( ) A.π B.4π C. D. ππ扇形面积的计算. .考点 :分析 :首先证明OE= OC= OB,则可以证得△OEC≌△BED,则S阴影=半圆﹣S扇形OCB,利 用扇形的面积公式即可求解. 解答 解:∵∠COB=2∠CDB=60°, :又∵CD⊥AB, ∴∠OCB=30°,CE=DE, ∴OE= OC= OB=2,OC=4. ∴OE=BE, 则在△OEC和△BED中, ,∴△OEC≌△BED, ∴S阴影=半圆﹣S扇形OCB 故选D. =.点评 本题考查了扇形的面积公式,证明△OEC≌△BED,得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题 的关键. : 11.(3分)(2015•恩施州)随着服装市场竞争日益激烈,某品牌服装专卖店一款服装按 原售价降价a元后,再次降价20%,现售价为b元,则原售价为( ) A. B. C. D. (a+ b)元 (a+ b)元 (b+ a)元 (b+ a)元 考点 列代数式. :.可设原售价是x元,根据降价a元后,再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程, 用含a,b的代数式表示x即可求解. 分析 :解:设原售价是x元,则 解答 :(x﹣a)(1﹣20%)=b, 解得x=a+ b, 故选A. 点评 解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出 : 方程,再求解 12.(3分)(2015•恩施州)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3 ,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论: ①b2>4ac;②2a+b=0;③a+b+c>0;④若点B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象 上的两点,则y1<y2, 其中正确结论是( ) A.②④ B.①④ C.①③ D.②③ 二次函数图象与系数的关系. .考点 :由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后 根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 分析 :解:∵抛物线的开口方向向下, ∴a<0; 解答 :∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2﹣4ac>0,即b2>4ac, 故①正确 由图象可知:对称轴x=﹣ =﹣1, ∴2a﹣b=0, 故②错误; ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上, ∴c>0 由图象可知:当x=1时y=0, ∴a+b+c=0; 故③错误; 由图象可知:当x=﹣1时y>0, ∴点B(﹣ ,y1)、C(﹣ ,y2)为函数图象上的两点,则y1<y2, 故④正确. 故选B 点评 此题考查二次函数的性质,解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛 物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. : 二、填空题(共4小题,每小题3分,满分12分,不要求写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卷相应位置上) 13.(3分)(2015•恩施州)4的平方根是 ±2 . 考点 平方根. :.专题 :计算题. 根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方 分析 :根,由此即可解决问题. 解:∵(±2)2=4, ∴4的平方根是±2. 故答案为:±2. 解答 :点评 本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方 根是0;负数没有平方根. : 14.(3分)(2015•恩施州)因式分解:9bx2y﹣by3= by(3x+y)(3x﹣y) . 提公因式法与公式法的综合运用. .考点 :专题 计算题. :分析 原式提取by,再利用平方差公式分解即可. :解:原式=by(9×2﹣y2)=by(3x+y)(3x﹣y), 解答 故答案为:by(3x+y)(3x﹣y) :点评 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键. : 15.(3分)(2015•恩施州)如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路 径的长度等于 5π . 弧长的计算;旋转的性质. .考点 :分析 :根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为 圆弧,根据弧长公式求出弧长即可. 解:由图形可知,圆心先向前走OO1的长度即 圆的周长, 然后沿着弧O1O2旋转 圆的周长, 解答 :则圆心O运动路径的长度为: ×2π×5+ ×2π×5=5π, 故答案为:5π. 点评 本题考查的是弧长的计算和旋转的知识,解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过 的路线并求出长度. : 16.(3分)(2015•恩施州)观察下列一组数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5 ,5,5,6,…其中每个数n都连续出现n次,那么这一组数的第119个数是 15 . 规律型:数字的变化类. .考点 :根据每个数n都连续出现n次,可列出1+2+3+4+…+x=119+1,解方程即可得出答案. 分析 :解:因为每个数n都连续出现n次,可得: 1+2+3+4+…+x=119+1, 解答 :解得:x=15, 所以第119个数是15. 故答案为:15. 点评 此题考查数字的规律,关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化,是按照 什么规律变化的. : 三、解答题(本大题共8小题,满分72分,请在大题卷指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)(2015•恩施州)先化简,再求值: 1. •﹣,其中x=2 ﹣分式的化简求值. 计算题. .考点 :专题 :原式第一项约分后,两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,把x 的值代入计算即可求出值. 分析 :解答 :解:原式= •﹣=﹣=﹣ ,当x=2 ﹣1时,原式=﹣ =﹣ .点评 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. : 18.(8分)(2015•恩施州)如图 ,四边形ABCD、BEFG均为正方形,连接AG、CE. (1)求证:AG=CE; (2)求证:AG⊥CE. 全等三角形的判定与性质;正方形的性质. .考点 :专题 证明题. :(1)由正方形的性质得出AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE,得出∠ABG=∠CB E,由SAS证明△ABG≌△CBE,得出对应边相等即可; 分析 :(2)由△ABG≌△CBE,得出对应角相等∠BAG=∠BCE,由∠BAG+∠AMB=90°,对 顶角∠AMB=∠CMN,得出∠BCE+∠CMN=90°,证出∠CNM=90°即可. (1)证明:∵四边形ABCD、BEFG均为正方形, ∴AB=CB,∠ABC=∠GBE=90°,BG=BE, ∴∠ABG=∠CBE, 解答 :在△ABG和△CBE中, ,∴△ABG≌△CBE(SAS),[来源:学科网ZXXK] ∴AG=CE; (2)证明:如图所示:∵△ABG≌△CBE, ∴∠BAG=∠BCE, ∵∠ABC=90°, ∴∠BAG+∠AMB=90°, ∵∠AMB=∠CMN, ∴∠BCE+∠CMN=90°, ∴∠CNM=90°, ∴AG⊥CE. 点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法;熟练掌握正方 形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键. : 19.(8分)(2015•恩施州)质地均匀的小正方体,六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4” 、“5”、“6”,同时投掷两枚,观察朝上一面的数字. (1)求数字“1”出现的概率; (2)求两个数字之和为偶数的概率. 列表法与树状图法. 计算题. .考点 :专题 :(1)列表得出所有等可能的情况数,找出数字“1”出现的情况数,即可求出所求的 概率; 分析 :(2)找出数字之和为偶数的情况数,即可求出所求的概率. 解答 解:(1)列表如下: :123456123(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 456(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 所有等可能的情况有36种,其中数字“1”出现的情况有11种, 则P(数字“1”出现)= ;(2)数字之和为偶数的情况有18种, 则P(数字之和为偶数)= =. 点评 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比 : .20.(8分)(2015•恩施州)如图,某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行,在 A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上,航行1小时到达B处,此时观察到灯塔C在北偏西30° 方向上,若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置,求此时渔船到灯塔的距离(结果 精确到1海里,参考数据: ≈1.732) 解直角三角形的应用-方向角问题. .考点 :过点C作CD⊥AB于点D,则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长 度,利用锐角三角函数关系进行求解即可. 分析 :解:如图,过点C作CD⊥AB于点D, 解答 :AB=20×1=20(海里), ∵∠CAF=60°,∠CBE=30°, ∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°,∠CAB=90°﹣∠CAF=30°, ∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°, ∴∠C=∠CAB, ∴BC=BA=20(海里), ∠CBD=90°﹣∠CBE=60°, ∴CD=BC•sin∠CBD= ≈17(海里). 点评 此题主要考查了方向角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键. : 21.(8分)(2015•恩施州)如图,已知点A、P在反比例函数y= (k<0)的图象上,点 B、Q在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关 于y轴对称,设点P的坐标为(m,n). (1)求点A的坐标和k的值; (2)求 的值. 反比例函数与一次函数的交点问题. .考点 :(1)先由点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,将y=﹣1代入y=x﹣3, 求出x=2,即B(2,﹣1).由AB⊥x轴可设点A的坐标为(2,t),利用S△OAB=4列 分析 :出方程 (﹣1﹣t)×2=4,求出t=﹣5,得到点A的坐标为(2,﹣5);将点A的坐标 代入y= ,即可求出k的值; (2)根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q(﹣m,n),由点P(m,n)在反比 例函数y=﹣ 的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上,得出mn=﹣10,m+n=﹣3, 再将 变形为 ,代入数据计算即可. 解:(1)∵点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1, ∴当y=﹣1时,x﹣3=﹣1,解得x=2, ∴B(2,﹣1). 解答 :设点A的坐标为(2,t),则t<﹣1,AB=﹣1﹣t. ∵S△OAB=4, ∴ (﹣1﹣t)×2=4, 解得t=﹣5, ∴点A的坐标为(2,﹣5). ∵点A在反比例函数y= (k<0)的图象上, ∴﹣5= ,解得k=﹣10; (2)∵P、Q两点关于y轴对称,点P的坐标为(m,n), ∴Q(﹣m,n), ∵点P在反比例函数y=﹣ 的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上, ∴n=﹣ ,n=﹣m﹣3, ∴mn=﹣10,m+n=﹣3, ∴====﹣ .点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数与一次函数图象上点的 坐标特征,三角形的面积,关于y轴对称的点的坐标特征,代数式求值,求出点A的 坐标是解决第(1)小题的关键,根据条件得到mn=﹣10,m+n=﹣3是解决第(2)小 题的关键. : 22.(10分)(2015•恩施州)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这 两种原料全部生产A、B两种产品共50件,生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示 :原料 甲种原料(千克) 乙种原料(千克) 型号 A产品(每件) B产品(每件) 94310 (1)该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案? (2)若生成一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,怎样安排生产可获得最 大利润? 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. .考点 :(1)设工厂可安排生产x件A产品,则生产(50﹣x)件B产品,根据不能多于原料 的做为不等量关系可列不等式组求解; 分析 :(2)可以分别求出三种方案比较即可. 解:(1)设工厂可安排生产x件A产品,则生产(50﹣x)件B产品 由题意得: 解答 :,解得:30≤x≤32的整数. ∴有三种生产方案:①A30件,B20件;②A31件,B19件;③A32件,B18件; (2)方法一:方案(一)A,30件,B,20件时, 20×120+30×80=4800(元). 方案(二)A,31件,B,19件时, 19×120+31×80=4760(元). 方案(三)A,32件,B,18件时, 18×120+32×80=4720(元). 故方案(一)A,30件,B,20件利润最大. 点评 本题考查理解题意的能力,关键是根据有甲种原料360千克,乙种原料290千克,做 为限制列出不等式组求解,然后判断B生产的越多,A少的时候获得利润最大,从而 :求得解. 23.(10分)(2015•恩施州)如图,AB是⊙O的直径,AB=6,过点O作OH⊥AB交圆于点 H,点C是弧AH上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA,CE⊥OH,垂足分别为D、E,过点 C的直线交OA的延长线于点G,且∠GCD=∠CED. (1)求证:GC是⊙O的切线; (2)求DE的长; (3)过点C作CF⊥DE于点F,若∠CED=30°,求CF的长. 圆的综合题. .考点 :(1)先证明四边形ODCE是矩形,得出∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD,得出∠CED +∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD,证出∠GCD+∠MCD=90°,即可得出结论; 分析 :(2)由(1)得:DE=OC= AB,即可得出结果; (3)运用三角函数求出CE,再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果. (1)证明:连接OC,交DE于M,如图所示: ∵OH⊥AB,CD⊥OA,CE⊥OH, ∴∠DOE= ∠OEC=∠ODC=90°, ∴四边形ODCE是矩形, 解答 :∴∠DCE=90°,DE=OC,MC=MD, ∴∠CED+∠MDC=90°,∠MDC=∠MCD, ∵∠GCD=∠CED, ∴∠GCD+∠MCD=90°, 即GC⊥OC, ∴GC是⊙O的切线; (2)解:由(1)得:DE=OC= AB=3; (3)解:∵∠DCE=90°,∠CED=30°, ∴CE=DE•cos∠CED=3× =,∴CF= CE= .点评 本题是圆的综合题目,考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定 与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题有一定难度,综合性 强,特别是(1)中,需要证明四边形是矩形,运用角的关系才能得出结论. : 24.(12分)(2015•恩施州)矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转,当旋转到如 图所示的位置时,边BE交边CD于M,且ME=2,CM=4. (1)求AD的长; (2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式; (3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;[来源:Z&xx&k.Com] (4)在抛物线上是否存在点P,使S△PAM =?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明 理由. 几何变换综合题. 综合题. .考点 :专题 :(1)作BP⊥AD于P,BQ⊥MC于Q,如图1,根据旋转的性质得AB=AO=5,BE=OC= AD,∠ABE=90°,利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ,可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ 分析 :得到 ==,设BQ=PD=x,AP=y,则AD=x+y,所以BM=x+y﹣2,利用比例性 质得到PB•MQ=xy,而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1,利用完全平方公式和勾股定理得 到52﹣y2﹣2xy+(x+y﹣2)2﹣x2=1,解得x+y=7,则BM=5,BE=BM+ME=7,所以A D=7; (2)由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ,则BQ=PD=7﹣AP,MQ=AP,利用勾股 定理得到(7﹣MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3,则BQ=4,根据三角 形面积公式和梯形面积公式,利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可;然后 利用待定系数法求直线AM的解析式; (3)先确定B(3,1),然后利用待定系数法求抛物线的解析式; (4)当点P在线段AM的下方的抛物线上时,作PK∥y轴交AM于K,如图2设P(x, x2﹣ x+5),则K(x,﹣ x+5),则KP=﹣ x2+ x,根据三角形面积公式得到 • (﹣ x2+ x)•7= ,解得x1=3,x2= ,于是得到此时P点坐标为(3,1)、( ,);再求出过点(3,1)与( ,)的直线l的解析式为y=﹣ x+ ,则 可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为(0, ),所以AA′= ,然后把直线AM向上 平移 个单位得到l′,直线l′与抛物线的交点即为P点,由于A″(0, ),则直线l′ 的解析式为y=﹣ x+ ,再通过解方程组 得P点坐标. 解:(1)作BP⊥AD于P,BQ⊥MC于Q,如图1, 解答 :∵矩形AOCD绕顶点A(0,5)逆时针方向旋转得到矩形ABEF, ∴AB=AO=5,BE=OC=AD,∠ABE=90°, ∵∠PBQ=90°, ∴∠ABP=∠MBQ, ∴Rt△ABP∽Rt△MBQ, ∴==,设BQ=PD=x,AP=y,则AD=x+y,BM=x+y﹣2, ∴==,∴PB•MQ=xy, ∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1, ∴(PB﹣MQ)2=1,即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1, ∴52﹣y2﹣2xy+(x+y﹣2)2﹣x2=1,解得x+y=7, ∴BM=5, ∴BE=BM+ME=5+2=7, ∴AD=7; (2)∵AB=BM, ∴Rt△ABP≌Rt△MBQ, ∴BQ=PD=7﹣AP,MQ=AP, ∵BQ2+MQ2=BM2, ∴(7﹣MQ)2+MQ2=52,解得MQ=4(舍去)或MQ=3, ∴BQ=7﹣3=4, ∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM = ×(4+7)×4﹣ ×4×3 =16; 设直线AM的解析式为y=kx+b, 把A(0,5),M(7,4)代入得 ,解得 ,∴直线AM的解析式为y=﹣ x+5; (3)设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, ∵AP=MQ=3,BP=DQ=4, ∴B(3,1), 而A(0,5),D(7,5), ∴,解得 ,∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y= x2﹣ x+5; (4)存在. 当点P在线段AM的下方的抛物线上时,作PK∥y轴交AM于K,如图2, 设P(x, x2﹣ x+5),则K(x,﹣ x+5), ∴KP=﹣ x+5﹣( x2﹣ x+5)=﹣ x2+ x, ∵S△PAM ∴ •(﹣ x2+ x)•7= 整理得7×2﹣46x+75,解得x1=3,x2= ,此时P点坐标为(3,1)、( 求出过点(3,1)与( )的直线l的解析式为y=﹣ x+ ,则直线l与y轴的交 点A′的坐标为(0, ), ∴AA′=5﹣ =,,,), ,=,把直线AM向上平移 个单位得到l′,则A″(0, ),则直线l′的解析式为y=﹣ x+ ,解方程组 为( 得或,此时P点坐标 ,)或( ,), 综上所述,点P的坐标为(3,1)、( 、( ). ,)、( ,),点评 本题考查了几何变换综合题:熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相 似的判定与性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会进行 代数式的变形. :
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