2015年湖北省十堰市中考数学试卷（含解析版）

2015年湖北省十堰市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　） B．x≥1 C．x＜1 　 A．x＞1 D． x≤1 2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（　　）　 A．70° B．60° C．55° D． 50° 3．如图所示的几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算中，不正确的是（　　）　 A．﹣2x+3x=x B． 6xy2÷2xy=3y 　 C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3 D． 2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2 5．某校篮球队13名同学的身高如下表： 175 1180 5182 4185 2188 1身高（cm）人数（个）则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（　　）　 A．182，180 B．180，180 C．180，182 D． 188，182 6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）　 A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1） 7．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（　　）　 A．﹣16 B．﹣8 C．8 D． 16 8．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（　　）　 A．222 B．280 C．286 D． 292 10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 ，且∠E CF=45°，则CF的长为（　　）　 A．2 B．3 C． D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．光的速度大约是300000千米/秒，将300000用科学记数法表示　　　　　　．12．计算；3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣ |=　　　　　　． 13．不等式组的整数解是　　　　　　． 14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△A BE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当 =　　　　　　时，四边形ADFE是平行四边形． 15．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B 、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为　　　　　　米．（结果保留根号） 16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0 ），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0； ②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④ a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　　　　　　．（只填写序号）　三、解答题（本题有9小题，共72分） 17.化简：（a﹣ ）÷（1+ ）18.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE． 19．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？　20．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）请根据统计图完成下列问题：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为　　　　　　度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为　　　　　　人；（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢 ”和“比较喜欢”粽子的人数之和；（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； 22（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1 +x2 =31+|x1x2|，求实数m的值．　22．如图，点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上．（1）求k的值；（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15 亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）． 20 25 30 35 x（亩） z（元） 1700 1600 1500 1400 （1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．　24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞E C），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积；（3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长．　25．已知抛物线C1：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A ，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．　　2015年湖北省十堰市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　） B．x≥1 C．x＜1 　 A．x＞1 D． x≤1 【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（　　）　 A．70° B．60° C．55° D． 50° 【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°， ∴∠C=40°． ∵∠3是△CDE的外角， ∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）　 A． B． C． D．　【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．　4．下列计算中，不正确的是（　　）　 A．﹣2x+3x=x B． 6xy2÷2xy=3y 　 C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3 D． 2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2 【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．【分析】根据同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法计算即可．【解答】解：A、﹣2x+3x=x，正确； B、6xy2÷2xy=3y，正确； C、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，错误； D、2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2，正确；故选C．【点评】此题考查同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法，关键是根据法则进行计算．　5．某校篮球队13名同学的身高如下表： 175 1180 5182 4185 2188 1身高（cm）人数（个）则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（　　）　 A．182，180 B．180，180 C．180，182 D． 188，182 【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．【解答】解：由图表可得，众数是：182cm，中位数是：180cm．故选：A．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）　 A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选：D．【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．　7．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（　　）　 A．﹣16 B．﹣8 C．8 D． 16 【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】由x=1时，代数式ax+b+1的值是﹣2，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解．【解答】解：∵当x=1时，ax+b+1的值为﹣2， ∴a+b+1=﹣2， ∴a+b=﹣3， ∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选：A．【点评】此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键．　8．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（　　）　 A． B． C． D．　【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据蚂蚁在上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是与x轴平行的线段，即可得出结论．【解答】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，得到图象的特点是解决本题的关键．　9．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（　　）　 A．222 B．280 C．286 D． 292 【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多6个，列方程组求解【解答】解：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个．由题意得，，解得：．故选D．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解．　10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 ，且∠E CF=45°，则CF的长为（　　）　 A．2 B．3 C． D．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，C B=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF； ∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE， ∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3 ，CB=6， ∴BE= ==3， ∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x， ∴EF= =，∴（9﹣x）2=9+x2， ∴x=4，即AF=4， ∴GF=5， ∴DF=2， ∴CF= ==2 ，故选A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．　二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11．光的速度大约是300000千米/秒，将300000用科学记数法表示为　3.0×105　．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将300000用科学记数法表示为3.0×105．故答案为：3.0×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　12．计算；3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣ |=　1　．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式= +1﹣ =1，故答案为：1 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　13．不等式组的整数解是　﹣1，0　．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可．【解答】解：，解①得：x≥﹣1，解②得：x＜1，则不等式组的解集是：﹣1≤x＜1，则整数解是：﹣1，0．故答案是：﹣1，0．【点评】本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键．　14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△A BE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当 =　时，四边形ADFE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．【分析】由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB ，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证．【解答】解：当理由：∵ ∴∠CAB=30°， =时，四边形ADFE是平行四边形． =，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB， ∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB， ∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°， ∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA⊥AB， ∵EF⊥AB， ∴AD∥EF， ∵△ABC≌△EAF， ∴EF=AC=AD，[来源:Zxxk.Com] ∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【点评】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．　15．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6 米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B 、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为　8 ﹣5.5　米．（结果保留根号） [来源:学科网ZXXK] 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用- 坡度坡角问题．【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点 D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG． ∵i= =，AB=8米， ∴BE= ，AE= ．∵DG=1.6，BG=0.7， ∴DH=DG+GH=1.6+ =8， AH=AE+EH= +0.7=5.5．在Rt△CDH中， ∵∠C=∠FDC=30°，DH=8，tan30°= =，∴CH=8 ．又∵CH=CA+5.5，即8 =CA+5.5， ∴CA=8 ﹣5.5（米）．答：CA的长约是（8 ﹣5.5）米．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．　16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0 ），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0； ②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④ a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　③⑤　．（只填写序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣ ＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am 2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．【解答】解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0＜﹣ ＜， ∴a+b＞0，所以②的结论正确； ∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2，所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2﹣a+bm+b=0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0， ∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确； ∵＜c，而c≤﹣1， ∴＜﹣1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．故答案为③⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当 a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．　三、解答题（本题有9小题，共72分） 17．化简：（a﹣ ）÷（1+ ）【考点】分式的混合运算．专题：计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式= ÷=•=．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　18．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．专题：证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS 公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AB=DE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．　19．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道（1+2 0%）x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得： +=27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，（1+20%）x=1.2×30=36．答：引进新设备前工程队每天改造管道36米．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．　20．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）请根据统计图完成下列问题：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为　144　度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为　3　人；[来源:Z*xx*k.Com] （2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢 ”和“比较喜欢”粽子的人数之和；（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）用周角乘以很喜欢所占的百分比即可求得其圆心角，直接从条形统计图中得到喜欢糖馅的人数即可；（2）利用总人数800乘以所对应的百分比即可；（3）利用列举法表示，然后利用概率公式即可求解【解答】解：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为360°×40%=144度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为 3人；（2）学生有800人，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和为8 00×（1﹣25%）=600（人）；（3）肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子分别用A、B、C、D表示，画图如下：∵共12种等可能的结果，其中小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子有4种， ∴P（小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子）= =．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； 22（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1 +x2 =31+|x1x2|，求实数m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（ x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根， ∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， ∴m≥﹣ ；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2， 22∵x1 +x2 =31+|x1x2|， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去）， ∴m=2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当 △＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△ ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．　22．如图，点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上．（1）求k的值；（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质代入求出即可；（2）根据平行四边形的性质得出D点纵坐标，进而代入函数解析式得出D点横坐标即可．【解答】解：（1）∵点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上， ∴k=（1﹣ ）（1+ ）=1﹣5=﹣4；（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD， ∴DC AB， ∵A（1﹣ ，1+ ），B（0，1）， ∴BE= ，由题意可得：DF=BE= ，则=，解得：x= ，∴点D的坐标为：（﹣ ，）．【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质，得出D点纵坐标是解题关键．　23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15 亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积 x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）． 20 25 30 35 x（亩） z（元） 1700 1600 1500 1400 （1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据图表的性质，可以得出P关于x的函数关系式和出x的取值范围．（2）根据利润=亩数×每亩利润，可得①当0＜x≤15时 ②当15＜x＜20时，利润的函数式，即可解题；【解答】解：（1）观察图表的数量关系，可以得出P关于x的函数关系式为：P= （2）∵利润=亩数×每亩利润， ∴①当0＜x≤15时，W=1800x+1380（40﹣x）+2400=420x+55200；当x=15时，W有最大值，W最大=6300+55200=61500； ②当15＜x＜20，W=﹣20x+2100+1380（40﹣x）+2400=﹣1400x+59700； ∵﹣1400x+59700＜61500； ∴x=15时有最大值为：61500元．【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质．　24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞E C），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积；（3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【考点】圆的综合题．专题：综合题．【分析】（1）连结O D，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到 =，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2 ，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD= BD=，PB= PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ ACE，通过相似比可得到AE= ，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得DF=12 ，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD ）进行计算；（3）连结CD，如图2，由 = 可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由 =得到CD=B D=2 ，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD，如图1， ∵AD平分∠BAC交⊙O于D， ∴∠BAD=∠CAD， ∴=，∴OD⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1， ∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠ODB=60°，OB=BD=2 ∴∠BDF=30°，，∵BC∥DF， ∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD= BD=，PB= PD=3，在Rt△DEP中，∵PD= ，DE= ，∴PE= =2， ∵OP⊥BC， ∴BP=CP=3， ∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE， ∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ∴AE= ，∵BE∥DF， ∴△ABE∽△AFD， ∴=，即 =，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH= BD= ∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD =S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD ，）2= •12• =9 ﹣2π；（3）连结CD，如图2，由 = 可设AB=4x，AC=3x，设BF=y， ﹣+•（2 ）∵=，∴CD=BD=2 ，∵∠F=∠ABC=∠ADC， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC， ∴△BFD∽△CDA， ∴=，即 =，∴xy=4， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD， ∴△FDB∽△FAD， ∴=，即 =，整理得16﹣4y=xy， ∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．　25．已知抛物线C1：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标；（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A ，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得E F∥y轴，设F（m，﹣ m2+m+ ），则E（m，m+1），从而得出（m+1）﹣（﹣ m2+m+ ）=4，解方程即可求得F的坐标；（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据△EGN∽△E MC，对应边成比例即可求得tan∠ENM= =2； ②根据勾股定理和三角形相似求得EN= ，然后根据三角形中位线定理即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），∴解得，∴抛物线C1的解析式为y=﹣ x2+x+ ， ∵y=﹣ x2+x+ =﹣ （x﹣1）2+2， ∴顶点C的坐标为（1，2）；（2）如图1，作CH⊥x轴于H， ∵A（﹣1，0），C（1，2）， ∴AH=CH=2， ∴∠CAB=∠ACH=45°， ∴直线AC的解析式为y=x+1， ∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°，[来源:学科网ZXXK] ∴∠DEF=∠ACH， ∴EF∥y轴， ∵DE=AC=2 ∴EF=4，，设F（m，﹣ m2+m+ ），则E（m，m+1）， ∴（m+1）﹣（﹣ m2+m+ ）=4，解得m=±3， ∴F（﹣3，﹣6）；（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC， ∴DC∥BC， ∵DF=BC=AC， ∴四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G， ∴EG=BC=AC=2 ∵EN⊥EM，，∴∠MEN=90°， ∵∠CEG=90°， ∴∠CEM=∠NEG， ∴△EGN∽△EMC， ∴=，∵F（﹣3，﹣6），EF=4， ∴E（﹣3，﹣2）， ∵C（1，2）， ∴EC= =4 ，∴==2， ∴tan∠ENM= =2； ∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化； ②点P经过的路径是线段P1P2，如图3， ∵四边形BCEG是矩形，GP2=CP2， ∴EP2=BP2， ∵△EGN∽△ECB， ∴=，∵EC=4 ，EG=BC=2 ，∴EB=2 ，∴=，∴EN= ，∵P1P2是△BEN的中位线， ∴P1P2= EN= ∴点M到达点C时，点P经过的路线长为；．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．