2015年浙江省丽水市中考数学试卷 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 2bb 4ac 4a 参考公式：抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 ,.2a 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 3 2. 计算(a2 )3 结果正确的是（ ） A. 3a2 B. a6 C. a5 D. 6a 3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 14. 分式 可变形为（ ） 1 x 1111A. B. C. D. x 1 1 x 1 x x 1 5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 6. 如图，数轴上所表示关于 的不等式组的解集是（） xA. x≥2 B. x>2 C. x>-1 D. -1< x ≤2 7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30， 28，30，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28 8. 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段 比表示cos 的值，错误的是（ ） BD BC BC AB AD AC CD AC A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线 l经过一、二、三象限，若点（0， 上，则下列判断正确的是（ ） A. a b B. a 3 C. b 3 D. c 2 a），（-1，b ），（c ，-1）都在直线l 10. 如图，在方格纸中，线段 a ，b ，c ， d 的端点在格点上，通过平移其中两条线 段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法 有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：9 x2 ▲ . 12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一 张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ▲ . 13. 如图，圆心角∠AOB=20°，将 AB 旋转 n 得到CD ，则CD 的度数是 ▲ 度 14. 解一元二次方程 x2 2x 3 0 时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的 一个一元一次方程 ▲ . 15. 如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD AB =120°，∠EAF=30°，则 = ▲ . AE k16. 如图，反比例函数 y 的图象经过点（- x1， 2 2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于 点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与 P，连结BP. x 轴交于点 （1） k 的值为 ▲ . （2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ▲ . 三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程） 117. （2015年浙江丽水6分）计算： 4 ( 2)0 ( )1 218. （2015年浙江丽水6分）先化简，再求值： a(a 3) (1 a)(1 a)，其中 3.a 319. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC<BC，D为BC上一点 ，且到A，B两点的距离相等. （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数. 20. （2015年浙江丽水8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进 行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示： 4（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的 ，则一月份B款运动鞋销售了多少双 5？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售 额=销售单价×销售量）； （3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出 一条建议。 21. （2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与 BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F. （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积. 22. （2015年浙江丽水10分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书， 甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距 s （米），甲行走的时间为t （分）， s 关于t 的函数函数图像 的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画 s 关于t 函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 23. （2015年浙江丽水10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上 的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N. （1）当F为BE中点时，求证：AM=CE； AB EF AN ND （2）若 （3）若 2 ，求 n ，当 的值； BC BF AB EF n 为何值时，MN∥BE？ BC BF 24. （2015年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面 中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在 中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为 x （米），与桌面的 高度为 （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据： yt（秒 ）000.16 0.4 0.2 0.5 0.4 10.6 1.5 0.64 1.6 0.8 2……x（米 ）y（米 ）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ 满足 y a(x 3)2 k （3）乒乓球落在桌面上弹起后， y 与 x ①用含 a 的代数式表示 k ； ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点 ，可以将球沿直线扣杀到点A，求 的值. a2015年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 2bb 4ac 4a 参考公式：抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标为 ,.2a 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 3 【答案】C. 【考点】有理数大小比较. 【分析】在－1和2之间的数必然大于－1，小于2，四个答案中只有0符合条件. 故选C. 2. 计算(a2 )3 结果正确的是（ ） A. 3a2 B. a6 C. a5 D. 6a 【答案】B. 【考点】幂的乘方. 【分析】根据幂的乘方运算法则计算作出判断： (a2 )3 a23 a6 . 故选B. 3. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，从正面看易得有两层，下层有2个正 方形，上层左边有一个正方形．故选A． 14. 分式 可变形为（ ） 1 x 1111A. B. C. D. x 1 1 x 1 x x 1 【答案】D. 【考点】分式的基本性质． 【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案： 11分式 的分子分母都乘以﹣1，得 .1 x x 1 故选D． 5. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C. 【考点】多边形的外角性质． 【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°． ∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6． 故选C． 6. 如图，数轴上所表示关于 x 的不等式组的解集是（ ） A. 【答案】A. 【考点】在数轴上表示不等式的解。 x≥2 B. x>2 C. x>-1 D. -1< x ≤2 【分析】根据不等式的解集在数轴上表示方法，不等式组的解集在数轴上表示 的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画 ），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条 数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表 示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示. 因此， 数轴上所表示关于 x 不等式的解集是 x ≥2. 故选A. 7. 某小组7位同学的中考体育测试成绩（满分30分）依次为27，30，29，27，30， 28，30，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28 【答案】B. 【考点】众数；中位数. 【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中30出现3次 ，出现的次数最多，故这组数据的众数为30. 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那 个数（最中间两个数的平均数）.由此将这组数据重新排序为27，27，28，29 ，30，30，30，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：29. 故选B． 8. 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段 比表示cos 的值，错误的是（ ） BD BC BC AB AD AC CD AC A. B. C. D. 【答案】C. 【考点】锐角三角函数定义. 邻边 斜边 【分析】根据余弦函数定义：cos 对各选项逐一作出判断： BD A. 在 RtBCD 中，cos BC ，正确； ，正确； BC B. 在 RtABC 中， cos AB CD AC C、D.在 RtACD 中，∵ACD ，∴ cos 故选C． .故C错误；D正确. 9. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线 ），（-1， ），（ ，-1）都在直线 上，则下列判断正确的是（） A. a b B. a 3 C. b 3 D. c 2 l 经过一、二、三象限，若点（0， abcl【答案】D. 【考点】一次函数的图象和性质；数形结合思想的应用. 【分析】如答图，可知， a > b, a > 3,b > 3,c 2 ，故选D． 10. 如图，在方格纸中，线段 a ，b ，c ， d 的端点在格点上，通过平移其中两条线 段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法 有（ ） C. 8种 A. 3种 B. 6种 D. 12种 【答案】B． 【考点】网格问题；勾股定理；三角形构成条件；无理数的大小比较；平移的 性质；分类思想的应用. 【分析】由图示，根据勾股定理可得： a 2, b 5, c 2 5, d 5 a b < c, a d < c, b d c, b a < d < b d .∵，∴根据三角形构成条件，只有 a, b, d 三条线段首尾相接能组成三角形. 如答图所示，通过平移 a, b, d 其中两条线段，使得和第三条线段首尾 相接组成三角形，能组成三角形的不同平移方法有6种. 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：9 x2 ▲ . 【答案】(3 x)(3 x) .【考点】应用公式法因式分解. 【分析】因为9 x2 32 x2 ，所以直接应用平方差公式即可： 9 x2 32 x2 (3 x)(3 x) .12. 有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一 张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ▲ . 1【答案】 .3【考点】概率. 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件 的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 所以， 求从标有1到6序号的6张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的 概率即看是3的倍数的情况数占总情况数的多少即可：共有6张牌，是3的倍数的 21有3，6共2张，∴抽到序号是3的倍数的概率是 . 6313. 如图，圆心角∠AOB=20°，将 AB 旋转 n 得到CD ，则CD 的度数是 ▲ 度 【答案】20. 【考点】旋转的性质；圆周角定理. 【分析】如答图， ∵将 AB 旋转 n 得到CD ，∴根据旋转的性质，得CD AB ∵∠AOB=20°，∴∠COD=20°. CD 的度数是20°. .∴14. 解一元二次方程 x2 2x 3 0 时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的 一个一元一次方程 ▲ . 【答案】 x 3 0 （答案不唯一）. 【考点】开放型；解一元二次方程. 【分析】∵由 x2 2x 3 0 得 x 3 x 1 0 ， ∴x 3 0 或 x 1 0 . 15. 如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上，已知∠BAD AB =120°，∠EAF=30°，则 = ▲ . AE 6 2 2【答案】 .【考点】菱形的性质；等腰直角三角形和含30度角直角三角形的性质；特殊元 素法的应用. 【分析】如答图，过点E作EH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，∠BAD=120°，∠EAF=30°， ∴∠ABE=30°，∠BAE=45°. 不妨设 AE 2 ，∴在等腰 RtAEH 中， AH EH 1；在 RtBEH 中， BH 3 .AB AE 3 1 6 2 2∴AB 3 1. ∴ .2k16. 如图，反比例函数 y 的图象经过点（- x1， 2 2），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于 点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与 P，连结BP. x 轴交于点 （1） k 的值为 ▲ . （2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是 ▲ . 【答案】（1） k 2 2；（2）（2， 2 ）. 【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰 直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程 思想的应用. k【分析】（1）∵反比例函数 y 的图象经过点（-1， 2 2）， xk∴2 2 k 2 2. 1 （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，过B点作BN x 轴于点N， ⊥2 2 2 2 设A x, ，则 B x, – .xx8.∴AB 2 x2 x2 8×2 ∵△ABC是等腰直角三角形，∴ BC AC 2 x2 ，∠BAC=45°. 8∵BP平分∠ABC，∴ BPM≌BPC AAS .∴ BM BC 2 x2 ..x2 88×2 ∴AM AB BM 2 2 x2 .∴ PM AM 2 2 x2 x2 8×2 又∵OB x2 ，8×2 ∴OM BM OB 2 1 x2 .ON BN OB 易证 OBN∽OPM ，∴ .OM PM OP 2 2 x x ON BN 由得， ，OM PM 8×2 8×2 2 1 x2 2 2 x2 解得 x 2 .∴A2, 2 ，B 2, -2 .如答图2，过点C作EF⊥ x轴，过点A作AF⊥EF于点F，过B点作BE⊥ EF于点E， 易知， BCE≌CAF HL ，∴设CE AF y . 又∵ BC 2 3, BE 2 2 y ，22∴根据勾股定理，得 BC2 BE2 CE2 ，即 2 3 2 2 y y2 .∴ y2 2 2y 2 0 ，解得 y 2 2 或 y 2 2 （舍去）. ∴由 A2, 2 ，B 2, -2 可得C 2, – 2 . 三、解答题（本题有8小题，共66分，每个小题都必须写出解答过程） 117. （2015年浙江丽水6分）计算： 4 ( 2)0 ( )1 2【答案】解：原式= 4 1 2 3 .【考点】实数的运算；绝对值；零指数幂；负整数指数幂. 【分析】针对绝对值，零指数幂，负整数指数幂3个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果. 18. （2015年浙江丽水6分）先化简，再求值： a(a 3) (1 a)(1 a)，其中 3.a 3【答案】解： a(a 3) (1 a)(1 a) a2 3a 1 a2 1 3a .33当a 时，原式=1 3 1 3 . 33【考点】整式的混合运算—化简求值. 【分析】根据去括号、平方差公式和合并同类项的法则，化简代数式，将 3a 代入化简后的代数式求值，可得答案． 319. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC<BC，D为BC上一点 ，且到A，B两点的距离相等. （1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数. 【答案】解：（1）作图如下： （2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°. ∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37° ∴∠CAD=∠BAC ∠BAD=16°. 【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰 三角形的性质. 【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此， 点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可. （2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC，根据等腰三角形等边 对等角的性质，求出∠BAD，从而作差求得∠CAD的度数. 20. （2015年浙江丽水8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进 行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示： 4（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的 ，则一月份B款运动鞋销售了多少双 5？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售 额=销售单价×销售量）； （3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出 一条建议。 4【答案】解：（1）∵50 40 ，5∴一月份B款运动鞋销售了40双. （2）设A、B两款运动鞋的销售单价分别为 x, y 元， 50x 40y 40000 60x 52y 50000 x 400 y 500 则根据题意，得 ，解得 .∴三月份的总销售额为 40065 500 20 39000（元）. （3）答案不唯一，如： 从销售量来看，A款运动鞋销售量逐月上升，比B款运动鞋销 售量大，建议多进A款运动鞋，少进或不进B款运动鞋. 从总销售额来看，由于B款运动鞋销售量逐月减少，导致总 销售额减少，建议采取一些促销手段，增加B款运动鞋的销售量. 【考点】开放型；代数和统计的综合题；条形统计图和折线统计图； 二元一次方程组的应用. 【分析】（1）根据条形统计图A款运动鞋的销售量和B款运动鞋的销售量是A款 4的 即可列式求解. 5（2）方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程（组）求 解.本题设A、B两款运动鞋的销售单价分别为 x, y 元，等量关系为：“一月份A、 B两款运动鞋的总销售额40000元”和“二月份A、B两款运动鞋的总销售额50000 元”. （3）答案不唯一，合理即可. 21. （2015年浙江丽水8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与 BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F. （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积. 【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD， ∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB. ∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC. ∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD ∴DF⊥AC. （2）如答图，连接OE， ∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°. ∵OA=OB，∴∠AOE=90°. ∵⊙O的半径为4，∴ 90 4 360 12S阴影 S扇形OAE SAOC 44 8 . 【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理； 扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用. 【分析】（1）要证DF⊥AC，由于DF是⊙O的切线，有DF⊥OD，从而只要OD∥ AC即可，根据平行的判定，要证OD∥AC即要构成同位角或内错角相等，从而需 作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC= ∠ACB即可得. （2）连接OE，则 S阴影 S扇形OAE SAOC ，证明△AOE是等腰直角三角形即 可求得 S扇形OAE 和 SAOC . 22. （2015年浙江丽水10分）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书， 甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距 （米），甲行走的时间为（分）， s 关于t 的函数函数图像 st的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画 s关于t 函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 【答案】解：（1）甲行走的速度为：150 5 30（米/分）. （2）补画 关于函数图象如图所示（横轴上对应的时间为50） st：（3）由函数图象可知，当t 12.5 和t 50 时， s 0 ；当t 35 时 ，s 450 ， 当令当令12.5 t 35 时，由待定系数法可求： s 20t 250 ， s 360 ，即 20t 250 360 ，解得t 30.5 .35 < t 50 时，由待定系数法可求： s 30t 1500 s 360 ，即 30t 1500 360，解得t 38 ，.∴甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米. 【考点】一次函数的应用；待定系数法、分类思想和方程思想的应用. 【分析】（1）根据图象，知甲出发5分钟行走了150米，据此求出甲行走的速度 .（2）因为乙走完全程要1500 50 30 分钟，甲走完全程要 1500 30 50 分钟，所以两人最后相遇在50分钟处，据此补画 关于 （3）分12.5 t 35 35 < t 50 两种情况求出函数式，再列方程求解 st 函数图象. 和即可. 23. （2015年浙江丽水10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上 的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N. （1）当F为BE中点时，求证：AM=CE； AB EF AN ND （2）若 （3）若 2 ，求 n ，当 的值； BC BF AB EF n 为何值时，MN∥BE？ BC BF 【答案】解：（1）证明：∵F为BE中点，∴BF=EF. ∵AB∥CD，∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF. ∴△BMF≌△ECF（AAS）.∴MB=CE. ∵AB=CD，CE=DE，∴MB=AM. ∴AM=CE. （2）设MB= a ， EF CE ∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF. ∴ .BF MB EF BF CE ∵∴∵ 2 ，∴ 2 .∴CE 2a .MB AB CD 2CE 4a, AM AB MB 3a .AB 2 ，∴ BC AD 2a .BC ∵MN⊥MC，∠A=∠ABC=90°，∴△AMN∽△BCM. AN AM AN 3a 3312∴，即 .∴ AN a, ND 2a a a.MB BC a2a 223aaAN ND 21∴ 3. 2（3）设MB= a，AB EF ∵ n ，∴由（2）可得 BC 2a, CE na . BC BF 当MN∥BE时，CM⊥BE. MB BC a2a 可证△MBC∽△BCE. ∴ ，即 .BC CE 2a na ∴n 4 .∴当 n 4 时，MN∥BE. 【考点】探究型问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；相似三角形的 判定和性质. 【分析】（1）应用AAS证明△BMF≌△ECF即可易得结论. （2）证明△BMF∽△ECF和△AMN∽△BCM，应用相似三角形对应边成 比例的性质即可得出结果. （3）应用（2）的一结结果，证明△MBC∽△BCE即可求得结果. 24. （2015年浙江丽水12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面 中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在 中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为 x （米），与桌面的 高度为 （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据： yt（秒 ）000.16 0.2 0.4 10.6 1.5 0.64 1.6 0.8 2……x（米 ）0.4 0.5 0.4 y（米 ）0.37 80.37 80.25 0.45 0.4 0.25 …（1）当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？ （2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？ （3）乒乓球落在桌面上弹起后， y 与 x 满足 y a(x 3)2 k ①用含 ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点 ，可以将球沿直线扣杀到点A，求 的值. a 的代数式表示 k ； a【答案】解：如答图，以点 为原点，桌面中线为 轴，乒乓球水平运动方向为正 方向建立平面直角坐标系. （1）由表格中数据可知，当t 0.4 秒时 ，乒乓球达到最大高度. x（2）由表格中数据可判断， y 是 x 的二 次函数，且顶点为（1，0.45），所以可设 2y a x1 0.45. 2将（0，0.25）代入，得0.25 a 0 1 0.45 a 0.2 ，2∴ y 0.2 x 1 0.45. 2当y 0 时， 0.2 x 1 0.45 0，解得 x 2.5 或x 0.5 （舍去 ）. ∴乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是2.5米. （3）①由（2）得，乒乓球落在桌面时的坐标为（2.5，0）. ∴将（2.5，0）代入 y a(x 3)2 k ，得0 a(2.5 3)2 k ，1化简整理，得 k a . 41②由题意可知，扣杀路线在直线 y x 上， 10 1由①得 y a(x 3)2 a ， 411令 a(x 3)2 a x ，整理，得 20ax2 120a 2 x 175a 0 .410 当 120a 2 2 420a 175a 0 时，符合题意， 6 35 6 35 解方程，得 a1 6 35 , a2 .10 10 35 当a 时，求得 x ，不合题意，舍去； 10 6 35 10 235 当a 时，求得 x ，符合题意. 26 35 答：当 a 时，可以将球沿直线扣杀到点A. 10 【考点】二次函数的应用（实际应用）；待定系数法的应用；曲线上点的坐标 与方程的关系；一元二次方程根的判别式的应用. 【分析】（1）由表格中数据直接得出. （2）判断出 y是x的二次函数，设顶点式，求出待定系数得出 值即为所求. y 关于 x的解析式，求得 y 0 时的 x（3）①求出乒乓球落在桌面时的坐标代入 y a(x 3)2 k 即可得结果. ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，所以扣杀路线在直 111线 y x 上，将 y x 代入 y a(x 3)2 a ，得 20ax2 120a 2 x 175a 0 ，10 10 4由于球弹起后，恰好有唯一的击球点，所以方程根的判别式等于0，求出此时的 ，符合题意的即为所求. a
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