2015年江苏省常州市中考数学试卷（含解析版）

2015年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分） 1．（2分）﹣3的绝对值是（　　） A．3 B．﹣3 C． 2．（2分）要使分式 D．有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2C．x≠﹣2 D．x≠2 3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）A．70° B．60° C．50° D．40° 5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　） A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB 6．（2分）已知a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正确的是（　　）第1页（共46页） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　） A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　） A． cm2B．8cm2 C． cm2 D．16cm2 　二、填空题（每小题2分，共20分） 9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=　． 10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　．11．（2分）分解因式：2×2﹣2y2=　． 12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　． 13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　．14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）= a+x的解，则a的值是　．第2页（共46页） 15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　． 16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行 300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　． 17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；　　　　　 12=5+7； 6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7； 8=3+5；　　　　16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11； …通过这组等式，你发现的规律是　（请用文字语言表达）． 18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点 C为弧BD的中点，则AC的长是　．　三、解答题（共10小题，共84分）第3页（共46页） 19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2． 20．（8分）解方程和不等式组：（1）；　　　　　（2）．21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．第4页（共46页） 22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率． 23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得 △BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数． 24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6 元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公第5页（共46页）里计费．（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？ 25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2 +2，求AB． 26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积第6页（共46页）转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH． ∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90° ∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　． ∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC ∴DH2=　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究第7页（共46页） n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）． 27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在第8页（共46页），求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值． 28．（10分）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B ，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；第9页（共46页）（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．　第10页（共46页） 2015年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分） 1．（2分）﹣3的绝对值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．　2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2C．x≠﹣2 D．x≠2 【专题】11 ：计算题．【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．【解答】解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，故选D．【点评】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．　3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（　　）第11页（共46页） A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．　4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（　　）A．70° B．60° C．50° D．40° 【专题】11 ：计算题．【分析】由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE， ∴∠ACB=90°，第12页（共46页）在Rt△ABC中，∠B=40°， ∴∠A=90°﹣∠B=50°， ∵CD∥AB， ∴∠ECD=∠A=50°，故选C．【点评】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．　5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　） A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB 【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．【解答】解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．【点评】本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．　第13页（共46页） 6．（2分）已知a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正确的是（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【专题】11 ：计算题．【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．【解答】解：∵a= =，b= =，c= =，且＜＜，∴＞＞，即a＞b＞c，故选A．【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．　7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　） A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ ∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，，由图象可知：﹣ 解得m≥﹣1． ≤1，第14页（共46页）故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．　8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（　　） A． cm2B．8cm2 C． cm2 D．16cm2 【专题】16 ：压轴题．【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小， ∵∠BAC=90°∠ACB=45° ∴AB=AC=4cm， ∴S△ABC= ×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．第15页（共46页）　二、填空题（每小题2分，共20分） 9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1=　．【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（π﹣1）0+2﹣1 =1+ = ．故答案为：．【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．　10．（2分）太阳半径约为696 6.96×105　． 000千米，数字696 000用科学记数法表示为　【专题】12 ：应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．【解答】解：696 000=6.96×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　11．（2分）分解因式：2×2﹣2y2=　2（x+y）（x﹣y）　．【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．第16页（共46页）【解答】解：2×2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．故答案为：2（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．　12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是　27π　．【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为r．则=6π，解得r=9， ∴扇形的面积= =27π．故答案为：27π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l= ；扇形的面积公式S= ．　13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是　 6　．【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．第17页（共46页）【解答】解：∵DE∥BC， ∴，∵AD：DB=1：2，DE=2， ∴，解得BC=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．　14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）= a+x的解，则a的值是　．【专题】11 ：计算题．【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把x=2代入方程得：3a= a+2，解得：a= ．故答案为：．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．　15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　（1，﹣2）　．【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3 =﹣（x2﹣2x+1）﹣2 第18页（共46页） =﹣（x﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．　16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行 300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　（400，800）　．【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．【解答】解：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中 ∵，∴△AOD≌△ACB（SAS）， ∴∠CAB=∠OAD， ∵B、O在一条直线上，第19页（共46页） ∴C，A，D也在一条直线上， ∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m， ∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A， D也在一条直线上是解题关键．　17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．4=2+2；　　　　　 12=5+7； 6=3+3；　　　　　 14=3+11=7+7； 8=3+5；　　　　16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5　　　 18=5+13=7+11； …通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．【分析】根据以上等式得出规律进行解答即可．【解答】解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和第20页（共46页）【点评】此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．　18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点 C为弧BD的中点，则AC的长是　　．【专题】16 ：压轴题．【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠C AD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出 =，求出 ∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°， ∴∠BCD=180°﹣60°=120°， ∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD， ∴∠CAD=∠CAB=30°，第21页（共46页）如图1，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE， ∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°， ∴A、B、E三点共线，过C作CM⊥AE于M， ∵AC=CE， ∴AM=EM= ×（5+3）=4，在Rt△AMC中，AC= ==；解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，则∠E=∠CFD=∠CFA=90°， ∵点C为弧BD的中点， ∴=，第22页（共46页） ∴∠BAC=∠DAC，BC=CD， ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE=CF， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中 ∴△CBE≌△CDF， ∴BE=DF，在△AEC和△AFC中 ∴△AEC≌△AFC， ∴AE=AF，设BE=DF=x， ∵AB=3，AD=5， ∴AE=AF=x+3， ∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4， ∴AC= =，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．　第23页（共46页）三、解答题（共10小题，共84分） 19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．【专题】11 ：计算题．【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2×2+1，当x=2时，原式=8+1=9．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　20．（8分）解方程和不等式组：（1）（2）；　　　　　．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．【解答】解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，解得：x= ，经检验x= 是分式方程的解；（2），第24页（共46页）由①得：x＞﹣2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20% 第25页（共46页），∴本次调查共抽样了500名学生；（2）1.5小时的人数为：500×24%=120（人）如图所示：（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．　22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：第26页（共46页）所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，则P（甲第一个出场）= = ；（2）甲比乙先出场的情况有3种，则P（甲比乙先出场）= = ．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得 △BCE和△CDF都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，A B=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；第27页（共46页）（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠F AD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD， ∵△BCE和△CDF都是正三角形， ∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°， ∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，在△ABE和△FDA中，，∴△ABE≌△FDA（SAS）， ∴AE=AF；（2）解：∵△ABE≌△FDA， ∴∠AEB=∠FAD， ∵∠ABE=60°+60°=120°， ∴∠AEB+∠BAE=60°， ∴∠FAD+∠BAE=60°， ∴∠EAF=120°﹣60°=60°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．　24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6 元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．第28页（共46页）（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．【解答】解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元， ∴m=9， ∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元， ∴（5﹣3）n+9=12.6，解得：n=1.8． ∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+ 9=1.8x+3.6（x＞3）．（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元） ∵13.4＜16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自第29页（共46页）变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键　25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2 +2，求AB．【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠B DF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE ，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB ，CD，得结果．【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD， ∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°， ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°， ∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°， △ADE与△BCF为等腰直角三角形， ∵AD=2， ∴AE=DE= =，∵∠ABC=105°， ∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°， ∴BE= ==，第30页（共46页） ∴AB= ；（2）设DE=x，则AE=x，BE= ==，∴BD= =2x， ∵∠BDF=60°， ∴∠DBF=30°， ∴DF= =x， ∴BF= ∴CF= ==，，∵AB=AE+BE= CD=DF+CF=x ，，AB+CD=2 +2， ∴AB= +1 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．　26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空第31页（共46页）如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．理由：连接AH，EH． ∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90° ∴∠HAD+∠AHD=90° ∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽　△HDE　． ∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC ∴DH2=　AD×DC　，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的　矩形　（填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．（4）拓展探究 n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．第32页（共46页）如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．【专题】23 ：新定义．【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE =DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△A BC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．第33页（共46页）（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG ，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．【解答】解：（1）如图①，连接AH，EH， ∵AE为直径， ∴∠AHE=90°， ∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE， ∴∠ADH=∠EDH=90°， ∴∠HAD+∠AHD=90°， ∴∠AHD=∠HED， ∴△ADH∽△HDE． ∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DC， ∴DH2=AD×DC，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．（2）作法： ①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M； ②延长AD，取DE=DM； ③以AE为直径作半圆O； ④延长MD交半圆O于H； ⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形．证明：第34页（共46页） ∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高， ∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积， ∵AE为直径， ∴∠AHE=90°， ∴∠HAE+∠HEA=90°． ∵DH⊥AE， ∴∠ADH=∠EDH=90°， ∴∠HAD+∠AHD=90°， ∴∠AHD=∠HED， ∴△ADH∽△HDE． ∴，即DH2=AD×DE．又∵DE=DM， ∴DH2=AD×DM，即正方形DFGH与矩形ABMN等积， ∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．（3）作法： ①过A点作AD垂直BC于D； ②作AD的垂直平分线，取AD中点E； ③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S矩形BCGF=S△ABC ；其他步骤同（2）可作出其等积正方形．（4）作法： ①过A点作BD平行线l；第35页（共46页） ②延长CD交平行线与E点； ③连接BE，则S四边形ABCD=S△EBC ，同（3）可作出其等积正方形． △BCE与四边形ABCD等积，理由如下： ∵BD∥l， ∴S△ABD=S△EBD ，∴S△BCE=S四边形ABCD ，即△EBC与四边形ABCD等积．故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．第36页（共46页）【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．　27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．第37页（共46页）【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，即点A的坐标为（4，0）；（2）存在．理由：第一种情况，如下图一所示：第38页（共46页） ∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角， ∴BQ=PA，将x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴OB=4，由（1）可知OA=4，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB= =4 ．∵△BOQ≌△AQP． ∴QA=OB=4，BQ=PA． ∵BQ=AB﹣AQ=4 ﹣4， ∴PA=4 ﹣4． ∴点P的坐标为（4，4 ﹣4）；第二种情况，如下图二所示：第39页（共46页） ∵△OQB≌△APQ， ∴AQ=BO=4，AB= ，BQ=AP， ∴BQ=AB+AQ= ，∴AP=4 ，∴点P的坐标为：（4，﹣4 ）；由上可得，点P的坐标为：（4，（3）如图所示：）或（4，）．令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2， ∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2， ∴ab=16， ∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2= a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2= b2+4， ∴S1=π×O1A2=（ a2+4）π，S2=π×O2A2=（ b2+4）π，第40页（共46页） ∴===×=．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键．　28．（10分）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B ，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．第41页（共46页）【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，第42页（共46页）把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y= ，得k=4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP ，∴S△PAB=2S△AOP ．设直线AP的解析式为y=mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，求得直线AP的解析式为y=x+3，则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = OC•AR+ OC•PS = ×3×4+ ×3×1= ∴S△PAB=2S△AOP=15；，（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，联立联立，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1， ∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），第43页（共46页） ∴H（m，0）， ∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．当y=0时， x+ ﹣1=0，解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0）， ∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE，第44页（共46页） ∴∠MDA=∠QED． ∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM． ∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求第45页（共46页）反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．　第46页（共46页）