2015年江苏省南京市中考数学试卷（含解析版）

2015年江苏省南京市中考数学试卷一．选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1.．计算︱－ 5＋3︱的结果是( )A. － 2 2.．计算(－xy³)²的结果是( A. x²y6 B. －x²y6 B. 2C. － 8 D. 8 )C. x²y9 D. －x²y9 ，则下列结论中正确的是( AD DB 13.．如图，在△ABC中，DE ∥ BC， )=2AEDBC第3题图 AE 1DE 12A. B. ==EC 2BC △△△长长积积的周的面 ADE 13ADE 13C. D. ==△的周 ABC 的面 ABC 4.．某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆．用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )A. 2.3×105辆 B. 3.2×105辆C. 2.3×106辆D. 3.2×106辆 5- 1 5.．估计 A.0.4与0.5之间 C. 0.6与0.7之间介于( )2B. 0.5与0.6之间 D. 0.7与0.8之间 6.．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、 G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )EADFONBCMG第6题图 1 / 32 392431A. B. C. D.2 513 3二．填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 7.．4的平方根是；4的算术平方根是． 8.．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．x + 1 515 ×9.．计算的结果是．310.．分解因式(a － b)(a － 4b)＋ab的结果是．＞－＜2x + 1 2x + 1 111.．不等式组的解集是．3{12.．已知方程x²＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是．13.．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－ 3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A’，再作点A’关于y轴的对称点，得到点A” ，则点A”的坐标是( ， )． 14.．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种人数每人每月工资（元） 57000 电工 456000 5000 木工瓦工现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 (填“变小”，“不变”或“变大”)． 15.．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= °． 2 / 32 ABEOCD第15题图 16.．如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图像在第一象限内分别交于点 1A、B，且A为OB的中点．若函数y1= ，则y2与x的函数表达式是．x1yy = 1xy2 BAxO第16题图三．解答题(本大题共11小题，共88分) 17.．（6分）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来． –3 –2 –1 0123第17题图 2318.．（7分）解方程 =－x 3 x21a19.．（7分）计算 ÷－－² ² (ab－)a + b aab ²3 / 32 AD CD CD BD 20.．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．=(1) 求证：△ACD ∽ △CBD； (2) 求∠ACB的大小． CAB第20题图 D 21.．（8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图． (1) 本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名； (2) 根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名； (3) 比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．4 / 32 22.．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2 张纸币． (1) 求取出纸币的总额是30元的概率； (2) 求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率． 23.．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D位，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？ (参考数据：sin58° ≈ 0.85，cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60) 北东DCOAB24.．（8分）如图，AB ∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、 ∠DFE的平分线交于点H． (1) 求证：四边形EGFH是矩形． 5 / 32 (2) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ ∥∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MN QP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP 是平行四边形．要证▱MNQP是菱形, 只要证NM=NQ．由已知条件 MEPAB， MN ∥ EF，可证NG = NF，故只要证 GM = GHFQ，即证△MGE ≌△QFH．易证故只要证 ∠MGE = ∠QFH，∠QFH = ∠GEF，∠QFH=∠EFH，，，CDNFQ第24题图 25.．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3） DABC第25题图 26.．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE． 6 / 32 (1) 求证：∠A=∠AEB． (2) 连接OE，交CD于点F，OE ⊥ CD．求证：△ABE是等边三角形． ADOEC(第26题) B27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系． (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式． (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ /y 元 120 C 60 A DB/x kg 130 90 O（第27题） 7 / 32 2015年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1．计算︱－ 5＋3︱的结果是( )A. － 2 B. 2C. － 8 D. 8 【考点】有理数的加法；绝对值．. 【分析】先计算﹣5+3，再求绝对值即可．【解答】解：原式=|﹣2| =2．故选B．【点评】本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数． 2．计算(－xy³)²的结果是( A. x²y6 B. －x²y6 )C. x²y9 D. －x²y9 【考点】幂的乘方与积的乘方．. 【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）；求出计算（﹣xy3）2的结果是多少即可．【解答】解：（﹣xy3）2 =（﹣x）2•（y3）2 =x2y6，即计算（﹣xy3）2的结果是x2y6．故选：A． 8 / 32 【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．AD DB 123．如图，在△ABC中，DE ∥ BC，，则下列结论中正确的是( )=AEDBC第3题图 AE 1DE 1A. B. ==EC 2的周 BC ADE 2的面 △△△长长积积ADE 1313C. D. ==△的周的面 ABC ABC 【考点】相似三角形的判定与性质．. 【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由 = ，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴∵∵，= ， = ，故A、B选项均错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴== ， =（）2= ，故C选项正确，D选项错误．故选C． 9 / 32 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 4．某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆．用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )A. 2.3×105辆 B. 3.2×105辆C. 2.3×106辆D. 3.2×106辆【考点】科学记数法—表示较大的数．. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2014年底机动车的数量为：3×105+2×106=2.3×106．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5- 1 5．估计介于( )2A.0.4与0.5之间 C. 0.6与0.7之间 B. 0.5与0.6之间 D. 0.7与0.8之间【考点】估算无理数的大小．. 【分析】先估算的范围，再进一步估算，即可解答．【解答】解：∵ 2.235， 10 / 32 ∴∴∴﹣1≈1.235， ≈0.617，介于0.6与0.7之间，故选：C．【点评】本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算的大小． 6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、 G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )EADCFONBMG第6题图 392431A. B. C. D.2 513 3【考点】切线的性质；矩形的性质．. 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4 ，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BG O=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中， ∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， 11 / 32 ∴AF=BF=AE=BG=2， ∴DE=3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN=DE=3，MN=MG， ∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2， ∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42， ∴NM= ， ∴DM=3 =，故选A．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 7．4的平方根是；4的算术平方根是．【考点】算术平方根；平方根．. 【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：4的平方根是±2；4的算术平方根是2．故答案为：±2；2． 12 / 32 【点评】此题主要考查了平方根和算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．x + 1 【考点】二次根式有意义的条件．. 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 515 ×9．计算的结果是．3【考点】二次根式的乘除法．. 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解： =×=5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 10．分解因式(a － b)(a － 4b)＋ab的结果是【考点】因式分解-运用公式法．. ．13 / 32 【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab =a2﹣5ab+4b2+ab =a2﹣4ab+4b2 =（a﹣2b）2．故答案为：（a﹣2b）2．【点评】此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．＞－＜2x + 1 2x + 1 111．不等式组的解集是．3{【考点】解一元一次不等式组．. 【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜1，所以不等式组的解集是﹣1＜x＜1．故答案为：﹣1＜x＜1．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间． 12．已知方程x²＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是，m的值是 14 / 32 ．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．. 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两根的和是﹣m，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案是：3，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键． 13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－ 3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A’，再作点A’关于y轴的对称点，得到点A” ，则点A”的坐标是( ， )．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．. 【分析】分别利用x轴、y轴对称点的性质，得出A′，A″的坐标进而得出答案．【解答】解：∵点A的坐标是（2，﹣3），作点A关于x轴的对称点，得到点A′， ∴A′的坐标为：（2，3）， ∵点A′关于y轴的对称点，得到点A″， ∴点A″的坐标是：（﹣2，3）．故答案为：﹣2；3．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的性质．（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 15 / 32 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 14．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种人数每人每月工资（元）电工木工瓦工5457000 6000 5000 现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差【考点】方差．. (填“变小”，“不变”或“变大”)．【分析】利用已知方差的定义得出每个数据减去平均数后平方和增大，进而得出方差变大．【解答】解：∵减少木工2名，增加电工、瓦工各1名， ∴这组数据的平均数不变，但是每个数据减去平均数后平方和增大，则该工程队员工月工资的方差变大．故答案为：增大．【点评】此题主要考查了方差的定义，正确把握方差中每个数据的意义是解题 16 / 32 关键． 15．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B＋∠E= °． ABEOCD第15题图【考点】圆内接四边形的性质．. 【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE， ∵五边形ABCDE是圆内接五边形， ∴四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠B+∠AEC=180°， ∵∠CED=∠CAD=35°， ∴∠B+∠E=180°+35°=215°．故答案为：215．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键． 16．如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图像在第一象限内分别交于点 17 / 32 1A、B，且A为OB的中点．若函数y1= ，则y2与x的函数表达式是．x1yy = 1xy2 BAxO第16题图【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．. 【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1= 上，设A（a，），求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D， ∵点A在反比例函数y1= 上， ∴设A（a，）， ∴OC=a，AC= ， ∵AC⊥x轴，BD⊥x轴， ∴AC∥BD， ∴△OAC∽△OBD， ∴，∵A为OB的中点， = ， ∴∴BD=2AC= ，OD=2OC=2a， ∴B（2a，），设y2= ， ∴k=2a• =4， 18 / 32 ∴y2与x的函数表达式是：y= ．故答案为：y= ．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数，相似三角形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义要注意数形结合思想的运用．三、解答题(本大题共11小题，共88分) 17．（6分）解不等式2(x＋1) － 1 ≥ 3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来． –3 –2 –1 0123第17题图【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．. 【分析】不等式去括号、移项合并、系数化为1即可求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．【解答】解：去括号，得2x+2﹣1≥3x+2，移项，得2x﹣3x≥2﹣2+1，合并同类项，得﹣x≥1，系数化为1，得x≤﹣1，这个不等式的解集在数轴上表示为： 19 / 32 【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“ ＞”要用空心圆点表示． 2318．（7分）解方程 =－x 3 x【考点】解分式方程．. 【专题】计算题．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣3），得2x=3（x﹣3）．解这个方程，得x=9．检验：将x=9代入x（x﹣3）知，x（x﹣3）≠0．所以x=9是原方程的根．【点评】本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验． 21a19．（7分）计算 ÷－－² ² (ab－)a + b aab ²【考点】分式的混合运算．. 【分析】首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．【解答】解：（ ﹣）÷ =[ =[ ﹣]× ﹣]× 20 / 32 ==×．【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键． AD CD CD BD 20．（8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且 (3) 求证：△ACD ∽ △CBD；．=(4) 求∠ACB的大小． CAB第20题图 D 【考点】相似三角形的判定与性质．. 【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△AC D∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠B CD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°， ∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°． 21 / 32 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理． 21．（8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图． (4) 本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名； (5) 根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名； (6) 比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．. 【分析】（1）根据“教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测”，可得100000×10%，即可得到本次检测抽取了大、中、小学生共多少名，再根据扇形图可得小学生所占45%，即可解答；（2）先计算出样本中50米跑成绩合格的中学生所占的百分比，再乘以10万，即可解答； 22 / 32 （3）根据条形图，写出一条即可，答案不唯一．【解答】解：（1）100000×10%=10000（人），10000×45%═4500（人）．故答案为：10000，4500；（2）100000×40%×90%=3600（人）．故答案为：3600；（3）例如：与2010年相比，2014年该市大学生50米跑成绩合格率下降了5%（答案不唯一）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币． (3) 求取出纸币的总额是30元的概率； (4) 求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．【考点】列表法与树状图法．. 【专题】计算题．【分析】（1）先列表展示所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算；（2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）列表： 23 / 32 共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率= ；（2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 23．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D位，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？ (参考数据：sin58° ≈ 0.85，cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60) 北东DCOAB【考点】解直角三角形的应用．. 【分析】设B处距离码头Oxkm，分别在Rt△CAO和Rt△DBO中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC=DO﹣CO，得出x的值即可． 24 / 32 【解答】解：设B处距离码头Oxkm，在Rt△CAO中，∠CAO=45°， ∵tan∠CAO= ，∴CO=AO•tan∠CAO=（45×0.1+x）•tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°， ∵tan∠DBO= ，∴DO=BO•tan∠DBO=x•tan58°， ∵DC=DO﹣CO， ∴36×0.1=x•tan58°﹣（4.5+x）， ∴x= ≈=13.5．因此，B处距离码头O大约13.5km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角形中的边角关系是解题的关键． 24．（8分）如图，AB ∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、 ∠DFE的平分线交于点H． (3) 求证：四边形EGFH是矩形． (4) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ ∥∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MN QP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路 25 / 32 由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP 是平行四边形．要证▱MNQP是菱形, MEPAB只要证NM=NQ．由已知条件， MN ∥ EF，可证NG = NF，故只要证 GM = GHFQ，即证△MGE ≌△QFH．易证故只要证 ∠MGE = ∠QFH，∠QFH = ∠GEF，∠QFH=∠EFH，，，CDNFQ第24题图【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．. 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证 ∠MGE=∠QFH得出即可．【解答】（1）证明：∵EH平分∠BEF， ∴∠FEH= ∠BEF， ∵FH平分∠DFE， ∴∠EFH= ∠DFE， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°， ∴∠FEH+∠EFH= （∠BEF+∠DFE）= ×180°=90°， ∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°， ∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°， ∵EG平分∠AEF， ∴∠EFG= ∠AEF， ∵EH平分∠BEF， ∴∠FEH= ∠BEF， 26 / 32 ∵点A、E、B在同一条直线上， ∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°， ∴∠FEG+∠FEH= （∠AEF+∠BEF）= ×180°=90°，即∠GEH=90°， ∴四边形EGFH是矩形；（2）解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FGH．故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质，根据题意得出证明菱形的方法是解题关键． 25．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3） 27 / 32 DCAB第25题图【考点】作图— 应用与设计作图；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．. 【分析】①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接A C，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．【解答】解：满足条件的所有图形如图所示：【点评】此题主要考查了作图﹣应用与设计作图，关键是掌握等腰三角形的判定方法． 28 / 32 26．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE． (3) 求证：∠A=∠AEB． (4) 连接OE，交CD于点F，OE ⊥ CD．求证：△ABE是等边三角形． ADOEC(第26题) B【考点】圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理．. 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD=180°，进而得到∠A=∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE=∠A EB，进而可得∠A=∠AEB；（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB=60°，再根据∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE， ∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE是等腰三角形， ∵EO⊥CD， 29 / 32 ∴CF=DF， ∴EO是CD的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补． 27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系． (1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式． (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ /y 元 120 C 60 A DB/x kg 130 90 O（第27题）【考点】二次函数的应用．. 30 / 32 【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1， ∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250， 31 / 32 ∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535， ∴当x90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大． 32 / 32