2015年广西省柳州市中考数学试卷（含解析版）

2015年广西柳州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得0分） 1．（3分）（2015•柳州）如图是小李书桌上放的一本书，则这本书的俯视图是（　　） 2．（3分）（2015•柳州）如图，这是某用户银行存折中2012年11月到2013年5 月间代扣电费的相关数据，从中可以看出扣缴电费最多的一次达到（　　）　 A． 147.40元 B．143.17元 C．144.23元 D．136.83元 3．（3分）（2015•柳州）某学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：14 7，151，152，156，159，则这组数据的中位数是（　　）　 A． 147B．151 C．152 D．156[来源: 4．（3分）（2015•柳州）如图，图中∠α的度数等于（　　）　 A． 135° B．125° C．115° D．105° 5．（3分）（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣ 图象的是（　　） 6．（3分）（2015•柳州）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（　　）　 A． 60° B．70° C．80° D．90° 7．（3分）（2015•柳州）小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（　　）　 A． 25% B．50% C．75% D．85% 8．（3分）（2015•柳州）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（　　）　 A．﹣2 B．1 C．2 D． Zxxk.Com][来源:学科网 9．（3分）（2015•柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（　　）　 A． 2x2y2 B．3y C．xy D．4x 10．（3分）（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（　　）　 A． 40° B．50° C．60° D．70° 11．（3分）（2015•柳州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣ 2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）　 A． x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 12．（3分）（2015•柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（　　）　 A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•柳州）计算：a×a=　． 14．（3分）（2015•柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF=　． 15．（3分）（2015•柳州）直线y=2x+1经过点（0，a），则a=　． 16．（3分）（2015•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则 sinB=　． 17．（3分）（2015•柳州）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　． 18．（3分）（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为　．　三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19．（6分）（2015•柳州）计算： + ．　20．（6分）（2015•柳州）如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？ 21．（6分）（2015•柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC， BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长． 22．（8分）（2015•柳州）如图，这是某校初三年级同学们最喜爱的一项课外运动调查结果扇形图，但负责画此图的同学忘记了最喜爱篮球运动的人生．（1）请你求出图中的x值；（2）如果该年级最喜爱跳绳运动的同学有144人，那么这个年级共有多少人？ 23．（8分）（2015•柳州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC 边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？来源:学科网] 24．（10分）（2015•柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB =8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点 C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？ 25．（10分）（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△A BC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH． 26．（12分）（2015•柳州）如图，已知抛物线y=﹣ （x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点 R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线M P是⊙N的切线． 2015年广西柳州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得0分） 1．（3分）（2015•柳州）如图是小李书桌上放的一本书，则这本书的俯视图是（　　）考点：简单几何体的三视图．分析：根据几何体的俯视图的概念：俯视图是从上向下看得到的图形进行解答即可得到答案．解答：解：根据俯视图的概念可知，几何体的俯视图是A图形，故选：A．点评：本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图和俯视图分别是从前向后、从左向右和从上向下看所得的图形是解题的关键，　2．（3分）（2015•柳州）如图，这是某用户银行存折中2012年11月到2013年5 月间代扣电费的相关数据，从中可以看出扣缴电费最多的一次达到（　　）　 A． 147.40元 B．143.17元 C．144.23元 D．136.83元考点：有理数的加减混合运算；有理数大小比较．专题：应用题．分析：根据存折中的数据进行解答．解答：解：根据存折中的数据得到：扣缴电费最多的一次是日期为121105，金额是147.40元．故选：A．点评：本题考查了有理数大小比较的应用．解题的关键是学生具备一定的读图能力．　3．（3分）（2015•柳州）某学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：14 7，151，152，156，159，则这组数据的中位数是（　　）　 A． 147 B．151 C．152 D．156[来源:学科网ZXXK] 考点：中位数．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．解答：解：由于此数据已经按照从小到大的顺序排列了，发现152处在第3位．所以这组数据的中位数是152，故选C．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．　4．（3分）（2015•柳州）如图，图中∠α的度数等于（　　）　 A． 135° B．125° C．115° D．105° 考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角互补解答即可．解答：解：∠α的度数=180°﹣45°=135°．故选A．点评：此题考查邻补角定义，关键是根据邻补角互补分析．　5．（3分）（2015•柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣ 图象的是（　　）考点：反比例函数的图象．分析：利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可．解答：解：反比例函数y=﹣ 图象的是C．故选：C．点评：此题主要考查了反比例函数的图象，正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键．　6．（3分）（2015•柳州）如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（　　）　 A． 60° B．70° C．80° D．90° 考点：圆周角定理．专题：计算题．分析：利用直径所对的圆周角为直角判断即可．解答：解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠A=90°．故选D．点评：此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．　7．（3分）（2015•柳州）小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（　　）　 A． 25% B．50% C．75% D．85% 考点：可能性的大小．分析：抛一枚质地均匀的硬币，有两种结果，正面朝上，每种结果等可能出现，从而可得出答案．解答：解：抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，故正面朝上的概率= 故选：B．点评：．本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件 A的概率P（A）= ．　8．（3分）（2015•柳州）如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（　　）　 A．﹣2 B．1 C．2 D．考点：点的坐标．分析：根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．解答：解：点A的坐标为（﹣2，1），则点A到y轴的距离为2．故选C．点评：本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．　[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK] 9．（3分）（2015•柳州）在下列单项式中，与2xy是同类项的是（　　）　 A． 2x2y2 考点：同类项．分析： B．3y C．xy D．4x 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．解答：解：与2xy是同类项的是xy．故选C．点评：此题考查同类项，关键是根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．　10．（3分）（2015•柳州）如图，图中∠1的大小等于（　　）　 A． 40° B．50° C．60° D．70° 考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质得，∠1=130°﹣60°=70°．故选D．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．　11．（3分）（2015•柳州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣ 2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）　 A． x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4 考点：抛物线与x轴的交点．分析：利用当函数值y＞0时，即对应图象在x轴上方部分，得出x的取值范围即可．解答：解：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选：B．点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出是解题关键．　12．（3分）（2015•柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论： ①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（　　）　 A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE= GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠F EC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．解答：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE，由勾股定理得：BE= GE，∴①错误； ∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正确； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2015•柳州）计算：a×a=　a2　．考点：同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法计算即可．解答：解：a×a=a2．故答案为：a2．点评：此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法法则计算．　14．（3分）（2015•柳州）如图，△ABC≌△DEF，则EF=　5　．考点：全等三角形的性质．分析：利用全等三角形的性质得出BC=EF，进而求出即可．解答：解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF 则EF=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应边是解题关键．　15．（3分）（2015•柳州）直线y=2x+1经过点（0，a），则a=　1　．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（0，a）代入直线方程，然后解关于a的方程即可．解答：解：∵直线y=2x+1经过点（0，a）， ∴a=2×0+1， ∴a=1．故答案为：1．点评：本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征：经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足该函数的解析式方程．　16．（3分）（2015•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则 sinB=　．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：根据锐角三角函数定义直接进行解答．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7， ∴sinB= =．故答案是：．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．　17．（3分）（2015•柳州）若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　﹣3　．考点：一元二次方程的解．分析：将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．解答：解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．　18．（3分）（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为　．考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：应用题．分析：设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．解答：解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∵AM⊥EH，AD⊥BC， ∴=，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x， ∴=，解得：x= ，则EH= ．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 　三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 19．（6分）（2015•柳州）计算： + ．考点：分式的加减法．分析：根据分式的加法计算即可．解答：解： +==1．点评：此题考查分式的加减法，关键是根据同分母的分式相加减的运算分析．　20．（6分）（2015•柳州）如图，小黄和小陈观察蜗牛爬行，蜗牛在以A为起点沿直线匀速爬向B点的过程中，到达C点时用了6分钟，那么还需要多长时间才能到达B点？考点：一元一次方程的应用；数轴．分析：设蜗牛还需要x分钟到达B点．根据路程=速度×时间列出方程并解答．解答：解：设蜗牛还需要x分钟到达B点．则（6+x）× =5，解得x=4．答：蜗牛还需要4分钟到达B点．点评：本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．　21．（6分）（2015•柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC， BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．考点：勾股定理；三角形中位线定理．分析：（1）直接利用勾股定理得出BD的长即可；（2）利用平行线分线段成比例定理得出BD= AE，进而求出即可．解答：解：（1）∵DB⊥BC，BC=4，CD=5， ∴BD= =3；（2）延长CB，过点A作AE⊥CB延长线于点E， ∵DB⊥BC，AE⊥BC， ∴AE∥DB， ∵D为AC边的中点， ∴BD= AE， ∴AE=6，即BC边上高的长为6．点评：此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出BD= AE是解题关键．　22．（8分）（2015•柳州）如图，这是某校初三年级同学们最喜爱的一项课外运动调查结果扇形图，但负责画此图的同学忘记了最喜爱篮球运动的人生．（1）请你求出图中的x值；（2）如果该年级最喜爱跳绳运动的同学有144人，那么这个年级共有多少人？考点：扇形统计图；用样本估计总体．分析：（1）根据有理数的减法，可得答案；（2）根据喜爱跳绳的同学除以跳绳的圆心角所占的比例，可得答案．解答：解：（1）x=360°﹣70°﹣65°﹣50°﹣96°=79°；（2）这个年级共有144÷ 点评： =570人．本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　23．（8分）（2015•柳州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC 边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．分析：（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．解答：解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， ∵点F在反比例函数y= （k＞0）的图象上， ∴k=3， ∴该函数的解析式为y= （x＞0）；（2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴S△EFA= AF•BE= × k（3﹣ k）， = k﹣ k2 =﹣ （k2﹣6k+9﹣9） =﹣ （k﹣3）2+ 当k=3时，S有最大值． S最大值= ．点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．　[来源:学科网] 24．（10分）（2015•柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB =8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点 C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形．专题：动点型．分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判断以PQDC为顶点的四边形是平行四边形．（2）点P处可能为直角，点Q处也可能是直角，而后求解即可．解答：解：（1）当PQ∥CD时，四边形PDCB是平行四边形，此时PD=QC， ∴12﹣2t=t， ∴t=4． ∴当t=4时，四边形PQDC是平行四边形．（2）过P点，作PE⊥BC于E，DF⊥BC， ∴DF=AB=8． FC=BC﹣AD=18﹣12=6． ①当PQ⊥BC，则BE+CE=18．即：2t+t=18， ∴t=6； ②当QP⊥PC， ∴PE=4，CE=3+t，QE=12﹣2t﹣（3+t）=9﹣3t， ∴16=（3+t）（9﹣3t），解得：t= ③情形：当PC⊥BC时，因∠DCB＜90°，此种情形不存在． ∴当t=3或时，△PQC是直角三角形．，点评：此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用．　25．（10分）（2015•柳州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△A BC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．（1）求证：AB=AC；（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．考点：切线的性质；平行四边形的性质．分析：（1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．解答：证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A， ∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC， ∴∠DAC=∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；（2）作AF⊥CD于F， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB， ∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，，∴△AEH≌△AEF， ∴EH=EF， ∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，，∴△ABH≌△ACF， ∴BH=CF=CE+EH．点评：本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．　26．（12分）（2015•柳州）如图，已知抛物线y=﹣ （x2﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点 R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线M P是⊙N的切线．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点为R，此时CR+AR的值最小；先求出点A 、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而求出其最小值和点R的坐标；（3）设点P坐标为（x，﹣ x2+ x﹣3）．根据NP= AB= 列出方程（x﹣ ）2+ （﹣ x2+ x﹣3）2=（）2，解方程得到点P坐标，再计算得出PM2+PN2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切线的判定定理即可证明直线MP是⊙N的切线．解答：（1）解：∵y=﹣ （x2﹣7x+6）=﹣ （x2﹣7x）﹣3=﹣ （x﹣ ）2+ ，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣ （x﹣ ）2+ 顶点M的坐标是（，）；，（2）解：∵y=﹣ （x2﹣7x+6）， ∴当y=0时，﹣ （x2﹣7x+6）=0，解得x=1或6， ∴A（1，0），B（6，0）， ∵x=0时，y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．连接BC，则BC与对称轴x= 的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC= =3 ．设直线BC的解析式为y=kx+b， ∵B（6，0），C（0，﹣3）， ∴，解得，∴直线BC的解析式为：y= x﹣3，令x= ，得y= × ﹣3=﹣ ， ∴R点坐标为（，﹣ ）；（3）证明：设点P坐标为（x，﹣ x2+ x﹣3）． ∵A（1，0），B（6，0）， ∴N（，0）， ∴以AB为直径的⊙N的半径为 AB= ， ∴NP= ，即（x﹣ ）2+（﹣ x2+ x﹣3）2=（）2，化简整理得，x4﹣14×3+65×2﹣112x+60=0，（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去）， ∴点P坐标为（2，2）． ∵M（，），N（，0）， ∴PM2=（2﹣ ）2+（2﹣ ）2= PN2=（2﹣ ）2+22= ，=，MN2=（）2= ，∴PM2+PN2=MN2， ∴∠MPN=90°， ∵点P在⊙N上， ∴直线MP是⊙N的切线．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、轴对称﹣最短路线问题以及切线的判定等知识，综合性较强，难度适中．第（3）问求出点P的坐标是解题的关键．