2015年广西省南宁市中考数学试卷（含解析版）

2015年广西省南宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A ）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1．（3分）（2015•南宁）3的绝对值是（　　） ﹣3 　A 3 BCD．．．．2．（3分）（2015•南宁）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（2015•南宁）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（　　） 0.113×105 1.13×104 11.3×103 113×102 　A BCD．．．．4．（3分）（2015•南宁）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员年龄的众数是（　　）第1页（共39页）　A 12 B 13 C 14 D 15 ．．．．5．（3分）（2015•南宁）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A 在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　） 30° 45° 60° 90° 　A BCD．．．．6．（3分）（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）　A BCD．．．．7．（3分）（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　） 35° 40° 45° 50° 　A BCD．．．．8．（3分）（2015•南宁）下列运算正确的是（　　） B （3×2）3=9×6 CD4ab÷2a=2ab a3•a4=a7 　A ．．．．第2页（共39页） 9．（3分）（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） 60° 72° 90° 108° 　A BCD．．．．10．（3分）（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中： ①ab＞0，②a+b+c＞0，③当﹣2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（　　）　A 0个 B 1个 C 2个 D 3个．．．．11．（3分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠ MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）　A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．第3页（共39页） 12．（3分）（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a ，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣ x}= 的解为（　　）　A ．　BCD1﹣ 2﹣ 1+ 或1﹣ 1+ 或﹣1 ．．．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2015•南宁）分解因式：ax+ay=　　　　　　． 14．（3分）（2015•南宁）要使分式有意义，则字母x的取值范围是　　　　　　．15．（3分）（2015•南宁）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是　　　　　　． 16．（3分）（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ BED的度数是　　　　　　． 17．（3分）（2015•南宁）如图，点A在双曲线y= （x＞0）上，点B在双曲线y= （x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=　　　　　　．第4页（共39页） 18．（3分）（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　　　　　　．　三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分） 19．（6分）（2015•南宁）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+ ．　20．（6分）（2015•南宁）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1 ，其中x= ．　　四、解答题第5页（共39页） 21．（8分）（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 22．（8分）（2015•南宁）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．第6页（共39页）分数段（分）分组频数 ABCDE36≤x＜41 41≤x＜46 46≤x＜51 51≤x＜56 56≤x＜61 2515 m10 　23．（8分）（2015•南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．第7页（共39页）　24．（10分）（2015•南宁）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x （m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？　25．（10分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且A C=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．第8页（共39页）（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD= ，求AD的长． 26．（10分）（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（ a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．　　第9页（共39页） 2015年广西省南宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A ）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1．（3分）（2015•南宁）3的绝对值是（　　） ﹣3 　A 3 BCD．．．．考点：绝对值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：直接根据绝对值的意义求解．解答：解：|3|=3．故选A．点评：本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．　2．（3分）（2015•南宁）如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体，那么它的主视图是（　　） A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有第10页（共39页）专题：计算题．分析：从正面看几何体得到主视图即可．解答：解：根据题意故选B 的主视图为：，点评：此题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．　3．（3分）（2015•南宁）南宁快速公交（简称：BRT）将在今年底开始动工，预计2016年下半年建成并投入试运营，首条BRT西起南宁火车站，东至南宁东站，全长约为11300米，其中数据11300用科学记数法表示为（　　） 0.113×105 1.13×104 11.3×103 113×102 　A BCD．．．．考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将11300用科学记数法表示为：1.13×104．故选B．第11页（共39页）点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　4．（3分）（2015•南宁）某校男子足球队的年龄分布如图条形图所示，则这些队员年龄的众数是（　　）　A 12 B 13 C 14 D 15 ．．．．考点：众数；条形统计图．菁优网版权所有分析：根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数．解答：解：观察条形统计图知：为14岁的最多，有8人，故众数为14岁，故选C．点评：考查了众数的定义及条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义，难度较小．　5．（3分）（2015•南宁）如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A 在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（　　）第12页（共39页） 30° 45° 60° 90° 　A BCD．．．．考点：平行线的性质．菁优网版权所有分析：由直角三角板的特点可得：∠C=30°，然后根据两直线平行内错角相等，即可求 ∠CAE的度数．解答：解：∵∠C=30°，BC∥DE， ∴∠CAE=∠C=30°．故选A．点评：此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．　6．（3分）（2015•南宁）不等式2x﹣3＜1的解集在数轴上表示为（　　）　A BCD．．．．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有专题：数形结合．分析：先解不等式得到x＜2，用数轴表示时，不等式的解集在2的左边且不含2，于是可判断D选项正确．解答：解：2x＜4，解得x＜2，用数轴表示为：第13页（共39页）．故选D．点评：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“ 两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右” ．　7．（3分）（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　） 35° 40° 45° 50° 　A BCD．．．．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD， ∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，第14页（共39页）故选：A．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．　8．（3分）（2015•南宁）下列运算正确的是（　　） B （3×2）3=9×6 CD4ab÷2a=2ab a3•a4=a7 　A ．．．．考点：整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；二次根式的乘除法．菁优网版权所有专题：计算题．分析： A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、原式=2b，错误； B、原式=27×6，错误； C、原式=a7，正确； D、原式= ，错误，故选C 点评：此题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．第15页（共39页）　9．（3分）（2015•南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　） 60° 72° 90° 108° 　A BCD．．．．考点：多边形内角与外角．菁优网版权所有分析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．解答：解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5， ∴这个正多边形的每一个外角等于： =72°．故选B．点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°，外角和等于360°．　10．（3分）（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中： ①ab＞0，②a+b+c＞0，③当﹣2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（　　）第16页（共39页）　A 0个 B 1个 C 2个 D 3个．．．．考点：二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有分析： ①由抛物线的开口向上，对称轴在y轴左侧，判断a，b与0的关系，得到ab＞0 ；故①错误； ②由x=1时，得到y=a+b+c＞0；故②正确； ③根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可．解答：解：①∵抛物线的开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴b＞0 ∴ab＞0；故①正确； ②∵观察图象知；当x=1时y=a+b+c＞0， ∴②正确； ③∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴交于（0，0）， ∴另一个交点为（﹣2，0）， ∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故③正确；故选D．第17页（共39页）点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．　11．（3分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠ MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（　　）　A 4 B 5 C 6 D 7 ．．．．考点：轴对称-最短路线问题；圆周角定理．菁优网版权所有分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知 ∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N关于AB的对称点N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点， ∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，第18页（共39页） ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN周长的最小值为4+1=5．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．　12．（3分）（2015•南宁）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a ，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣ x}= 的解为（　　）　A BCD1﹣ 2﹣ 1+ 或1﹣ 1+ 或﹣1 ．．．．考点：解分式方程．菁优网版权所有专题：新定义．分析：根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．解答：解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x= ，第19页（共39页）去分母得：x2+2x+1=0，即x=﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x= ，即x2﹣2x=1，解得：x=1+ 或x=1﹣ （舍去），经检验x=﹣1与x=1+ 都为分式方程的解．故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）（2015•南宁）分解因式：ax+ay=　a（x+y）　．考点：因式分解-提公因式法．菁优网版权所有专题：因式分解．分析：观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．解答：解：ax+ay=a（x+y）．故答案为：a（x+y）．点评：此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．　14．（3分）（2015•南宁）要使分式有意义，则字母x的取值范围是　x≠1　．考点：分式有意义的条件．菁优网版权所有分析：分式有意义，分母不等于零．第20页（共39页）解答：解：依题意得 x﹣1≠0，即x≠1时，分式故答案是：x≠1．有意义．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．　15．（3分）（2015•南宁）一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，随机提取一个小球，则取出的小球标号是奇数的概率是　．考点：概率公式．菁优网版权所有分析：首先判断出1，2，3，4，5中的奇数有哪些；然后根据概率公式，用奇数的数量除以5，求出取出的小球标号是奇数的概率是多少即可．解答：解：∵1，2，3，4，5中的奇数有3个：1、3、5， ∴取出的小球标号是奇数的概率是：3÷5= ．故答案为：．点评：此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．　16．（3分）（2015•南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ BED的度数是　45°　．第21页（共39页）考点：正方形的性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有分析：根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB 与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．解答：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°． ∵等边三角形ADE， ∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°． ∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°， AB=AE， ∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°， ∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．点评：本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．　第22页（共39页） 17．（3分）（2015•南宁）如图，点A在双曲线y= 线y= （x＞0）上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k=　．（x＞0）上，点B在双曲考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有分析：首先根据点A在双曲线y= （x＞0）上，设A点坐标为（a，），再利用含30°直角三角形的性质算出OA=2a，再利用菱形的性质进而得到B点坐标，即可求出k的值．解答：解：因为点A在双曲线y= （x＞0）上，设A点坐标为（a，），因为四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，可得：k= ），，故答案为：点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，即可算出反比例函数解析式．　第23页（共39页） 18．（3分）（2015•南宁）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是　13　．考点：规律型：图形的变化类；数轴．菁优网版权所有分析：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到A13表示的数为﹣17﹣3= ﹣20，A12表示的数为16+3=19，则可判断点An与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．解答：解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8； …；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣ 14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，第24页（共39页） A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．点评：本题考查了规律型，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键．　三、（本大题共2小题，每小题满分12分，共12分） 19．（6分）（2015•南宁）计算：20150+（﹣1）2﹣2tan45°+ ．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．解答：解：原式=1+1﹣2×1+2 =2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　20．（6分）（2015•南宁）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）﹣1 ，其中x= ．考点：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有第25页（共39页）专题：计算题．分析：先利用乘法公式展开，再合并得到原式=2x，然后把x= 代入计算即可．解答：解：原式=1﹣x2+x2+2x﹣1 =2x，当x= 时，原式=2× =1．点评：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．　四、解答题 21．（8分）（2015•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．第26页（共39页）考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．菁优网版权所有专题：作图题．分析：（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．解答：解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中所扫过得面积S= =．点评：此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．　22．（8分）（2015•南宁）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：第27页（共39页）（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．分数段（分）分组频数 ABCDE36≤x＜41 41≤x＜46 46≤x＜51 51≤x＜56 56≤x＜61 2515 m10 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．菁优网分析：（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．解答：解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）； m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；（2）∵全班学生人数：50人，第28页（共39页） ∴第25和第26个数据的平均数是中位数， ∴中位数落在51﹣56分数段；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1 A1 A2 B1 A1 （A1，A2）（A1，B1） A2 （A2，A1）（A2，B1） B1 （B1，A1）（B1，A2） P（一男一女）= = ．点评：此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．　23．（8分）（2015•南宁）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有专题：证明题．第29页（共39页）分析：（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEB F是矩形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠DEB=90°， ∴四边形DEBF是矩形．点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD是平行四边形是关键．　第30页（共39页） 24．（10分）（2015•南宁）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x （m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用．菁优网版权所有分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．解答：解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）= ×60×40，第31页（共39页）解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），答：所以通道的宽为5米；（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，由已知得y1=40x， y2= ，则y=y1+y2= ；x花圃=（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400； x通道=60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=﹣4a2+200a，当2≤a≤10，800≤x花圃≤2016，384≤x通道≤1600， ∴384≤x≤2016，所以当x取384时，y有最小值，最小值为2040，即总造价最低为23040元，当x=383时，即通道的面积为384时，有﹣4a2+200a=384，解得a1=2，a2=48（舍去），所以当通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价最低为23040元．点评：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽．　25．（10分）（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且A C=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若，求∠E的度数．第32页（共39页）（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD= ，求AD的长．考点：圆的综合题．菁优网版权所有分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG ，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；，（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3 ，BE=6，在Rt△DAH中，AD= ==．解答：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG， ∵AC=CG， ∴，∴∠ABC=∠CBG， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OCB=∠CBG， ∴OC∥BG， ∵CD⊥BG，第33页（共39页） ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵OC∥BD， ∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD， ∴∴，，∵OA=OB， ∴AE=OA=OB， ∴OC= OE， ∵∠ECO=90°， ∴∠E=30°；（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H， ∵∠E=30° ∴∠EBD=60°， ∴∠CBD= ∵CD= EBD=30°，，∴BD=3，DE=3 ，BE=6， ∴AE= BE=2， ∴AH=1， ∴EH= ，∴DH=2 ，在Rt△DAH中，AD= ==．第34页（共39页）点评：本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．　26．（10分）（2015•南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（ a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．第35页（共39页）考点：二次函数综合题．菁优网版权所有分析：（1）如图1，由AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1，由于∠AOB= 90°，得到OE= AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=a x2得：a=1得到抛物线的解析式y=x2，A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1 （2）如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N得到∠AMO=∠BNO=90°，证出 △AMO∽△BON，得到OM•ON=AM•BN，设A（xA，yA），B（xB，yB），由于 A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，得到yA= 论；，yB= ，即可得到结（3）设A（m，m2），B（n，n2）．作辅助线，证明△AEO∽△OFB，得到mn= ﹣1．再联立直线m：y=kx+b与抛物线y=x2的解析式，由根与系数关系得到：mn =﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的长度，从而得到PD的长度；作辅助线，构造Rt△PDG，由勾股定理求出点P的坐标．解答：解：（1）如图1，∵AB与x轴平行，根据抛物线的对称性有AE=BE=1， ∵∠AOB=90°， ∴OE= AB=1，第36页（共39页） ∴A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1， ∴抛物线的解析式y=x2， A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=﹣1 （2）xA•xB=﹣1为常数，如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N， ∴∠AMO=∠BNO=90°， ∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°， ∴∠MAO=∠BON， ∴△AMO∽△BON， ∴，∴OM•ON=AM•BN，设A（xA，yA），B（xB，yB）， ∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上， ∴，yA= ∴﹣xA•xB=yA•yB= ∴xA•xB=﹣1为常数；，yB= ，，•（3）设A（m，m2），B（n，n2），如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB ．∴，即，整理得：mn（mn+1）=0， ∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．第37页（共39页）设直线AB的解析式为y=kx+b，联立，得：x2﹣kx﹣b=0． ∵m，n是方程的两个根，∴mn=﹣b． ∴b=1． ∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3． ∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．设P（a，﹣2a﹣2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a ﹣3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣ 当a=﹣ 时，﹣2a﹣2= ，，∴P（﹣ ，）．第38页（共39页）点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识点，有一定的难度．第（3）问中，注意根与系数关系的应用．　第39页（共39页）