2015年广东省茂名市中考数学试卷（含解析版）

2015年广东省茂名市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）（2015•茂名）|﹣3|等于（　　）　 A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣ 2．（3分）（2015•茂名）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与 “建”字所在面相对的面的字是（　　）　 A．创 B．教 C．强 D．市 3．（3分）（2015•茂名）下列各式计算正确的是（　　）　 A．5a+3a=8a2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C．a3•a7=a10 D．（a3）2=a7 4．（3分）（2015•茂名）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（　　）　 A． 110° B． 90° C． 70° D． 50° 5．（3分）（2015•茂名）在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　 A．等腰三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．圆 6．（3分）（2015•茂名）下列说法正确的是（　　）　 A．面积相等的两个三角形全等　 B．矩形的四条边一定相等　 C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等　 D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上 7．（3分）（2015•茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表： 20 50 80 100 捐款的数额（单位：元） 6743人数（单位：名）对于这20名同学的捐款，众数是（　　）　 A． 20元 B． 50元 C． 80元 D． 100元 8．（3分）（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥ OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 9．（3分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　）　 A． y= B． y=﹣2x﹣3 C． y=2×2+1 D． y=5x 10．（3分）（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（　　）　 A． =B． =C． =D． =　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）（2015•茂名）﹣8的立方根是　　　　　　． 12．（3分）（2015•茂名）一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是　　　　　　边形． 13．（3分）（2015•茂名）不等式x﹣4＜0的解集是　　　　　　． 14．（3分）（2015•茂名）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′ 重合．若AB=3，则C′D的长为　　　　　　． 15．（3分）（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+ …+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M= ，即1+3+32+33+…+3100= ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　　　　　　．　三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）（2015•茂名）计算：（﹣ ）﹣1﹣|﹣4|+ +（sin30°）0． 17．（7分）（2015•茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．　18．（7分）（2015•茂名）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线　　　　　　；（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE= BC．　　四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 19．（7分）（2015•茂名）某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：（1）此次调查抽取的学生人数m=　　　　　　名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=　　　　　　；（2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．　20．（7分）（2015•茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．　　五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．（8分）（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）　22．（8分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“ 理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．（1）若点M（2，a）是反比例函数y= （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．　23．（8分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天） 1 3 6 10 … 日销售量（m件） 198 194 188 180 … ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90 销售价格（元/件） x+60 100 （1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90 天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．　　六、灵动管理，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 24．（8分）（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8c m．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N 从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．　25．（8分）（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（ ﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．　　2015年广东省茂名市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3分）（2015•茂名）|﹣3|等于（　　）　 A． 3 B． ﹣3 C． D． ﹣ 考点：绝对值．分析：绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0．解答：解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选A．点评：本题考查了绝对值的意义．　2．（3分）（2015•茂名）如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与 “建”字所在面相对的面的字是（　　）　 A．创 B．教 C．强 D．市考点：专题：正方体相对两个面上的文字．分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解答：解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“建”与“强”是相对面．故选C．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．　3．（3分）（2015•茂名）下列各式计算正确的是（　　）　 A． 5a+3a=8a2 B．（a﹣b）2=a2﹣b2 C． a3•a7=a10 D．（a3）2=a7 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．分析：利用幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式进行计算后即可确定正确的选项．解答：解：A、5a+3a=8a，故错误； B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误； C、a3•a7=a10，正确； D、（a3）2=a6，故错误．故选C．点评：本题考查了幂的运算性质、合并同类项及完全平方公式，解题的关键是能够了解有关幂的运算性质，难度不大．　4．（3分）（2015•茂名）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是（　　）　 A． 110° B． 90° C． 70° D． 50° 考点：圆内接四边形的性质．分析：先根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠B=180°，即可解答．解答：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B=180°， ∴∠D=180°﹣70°=110°，故选：A．点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．　5．（3分）（2015•茂名）在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　 A．等腰三角形 B．平行四边形 C．直角梯形 D．圆考点：中心对称图形；轴对称图形．专题：计算题．分析：利用轴对称图形与中心对称图形的性质判断即可．解答：解：在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆．故选D．点评：此题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．　6．（3分）（2015•茂名）下列说法正确的是（　　）　 A．面积相等的两个三角形全等　 B．矩形的四条边一定相等　 C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等　 D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上考点：命题与定理．分析：直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．解答：解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误； B、矩形的对边相等，此选项错误； C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确； D、随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；故选C．点评：本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，此题难度不大．　7．（3分）（2015•茂名）为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表： 20 50 780 4100 3捐款的数额（单位：元） 6人数（单位：名）对于这20名同学的捐款，众数是（　　）　 A． 20元 B． 50元 C． 80元 D． 100元考点：众数．分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，结合题意即可得出答案．解答：解：由题意得，所给数据中，50元出现了7次，次数最多，即这组数据的众数为50元．故选B．点评：此题考查了众数的定义及求法，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．　8．（3分）（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥ OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）　 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 考点：角平分线的性质．分析：过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=P D，从而得解．解答：解：如图，过点P作PE⊥OB于点E， ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D， ∴PE=PD， ∵PD=6， ∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．　9．（3分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　）　 A． y= B． y=﹣2x﹣3 C． y=2×2+1 D． y=5x 考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：将（0，0）代入各选项进行判断即可．解答：解：A、当x=0时，y= 无意义，不经过原点，故本选项错误； B、当x=0时，y=3，不经过原点，故本选项错误； C、当x=0时，y=1，不经过原点，故本选项错误； D、当x=0时，y=0，经过原点，故本选项正确．故选：D．点评：本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代入判断，难度一般　10．（3分）（2015•茂名）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（　　）　 A． =B． =C． =D． =考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．解答：解：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣5）个，由题意得， =，故选B．点评：本题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）（2015•茂名）﹣8的立方根是　﹣2　．考点：立方根．分析：利用立方根的定义即可求解．解答：解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．　12．（3分）（2015•茂名）一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是　六　边形．考点：多边形内角与外角．分析： n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．解答：解：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得：n=6．则这个正多边形的边数是六，故答案为：六．点评：考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．　13．（3分）（2015•茂名）不等式x﹣4＜0的解集是　x＜4　．考点：解一元一次不等式；不等式的性质．专题：计算题．分析：根据不等式的性质移项后即可得到答案．解答：解：x﹣4＜0，移项得：x＜4．故答案为：x＜4．点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解一元一次不等式是解此题的关键．　14．（3分）（2015•茂名）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′ 重合．若AB=3，则C′D的长为　3　．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD，代入数据即可得解．解答：解：在矩形ABCD中，CD=AB， ∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合， ∴C′D=CD， ∴C′D=AB， ∵AB=3， ∴C′D=3．故答案为3．点评：本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．　15．（3分）（2015•茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+ …+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M= ，即1+3+32+33+…+3100= ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是　　．考点：有理数的乘方．分析：根据题目信息，设M=1+5+52+53+…+52015，求出5M，然后相减计算即可得解．解答：解：设M=1+5+52+53+…+52015 则5M=5+52+53+54…+52016 两式相减得：4M=52016﹣1，，，则M= ．故答案为点评：．本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．　三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．（7分）（2015•茂名）计算：（﹣ ）﹣1﹣|﹣4|+ +（sin30°）0．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：（﹣ ）﹣1﹣|﹣4|+ =﹣3﹣4+5+1 +（sin30°）0 =﹣1．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．　17．（7分）（2015•茂名）设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．考点：整式的混合运算；平方根．分析：先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，再把当y=a x代入得到原式=（a+1）2×2，所以当（a+1）2=1满足条件，然后解关于a的方程即可．解答：解：原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，当y=ax，代入原式得（1+a）2×2=x2，即（1+a）2=1，解得：a=﹣2或0．点评：本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．　18．（7分）（2015•茂名）补充完整三角形中位线定理，并加以证明：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线　平行于第三边，且等于第三边的一半　；（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE= BC．考点：三角形中位线定理．分析：（1）根据三角形的中位线定理填写即可；（2）延长DE到F，使FE=DE，连接CF，利用“边角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，全等三角形对应边相等可得AD= CF，然后求出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可．解答：（1）解：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半；（2）证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A=∠ECF，AD=CF， ∴CF∥AB，又∵AD=BD， ∴CF=BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF∥BC，DF=BC， ∴DE∥BC，DE= BC．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．　四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 19．（7分）（2015•茂名）某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项），对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图：（1）此次调查抽取的学生人数m=　150　名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=　30%　；（2）若该校有3000名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．分析：（1）利用扇形统计图和条形统计图得出参与演讲的人数和所占百分比，进而求出总人数，再求出参加书法的人数，进而求出占抽样人数的百分比；（2）利用（1）中所求得出该校对“书法”最感兴趣的学生人数．解答：解：（1）由题意可得：此次调查抽取的学生人数m=30÷20%=150，选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n=（150﹣30﹣60﹣15）÷150×100%=30 %；故答案为：150，30%；（2）由（1）得：3000×30%=900（名），答：该校对“书法”最感兴趣的学生人数为900名．点评：此题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用，根据已知图形得出正确信息是解题关键．　20．（7分）（2015•茂名）在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；（2）现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．考点：概率公式．分析：（1）用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；（2）根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．解答：解：（1）∵共10个球，有2个黄球， ∴P（黄球）= =；（2）设有x个红球，根据题意得： = ，解得：x=5．故后来放入袋中的红球有5个．点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．（8分）（2015•茂名）如图，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20千米，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．（1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．分析：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD 的长，由AD+DB求出AB的长即可；（2）在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，由AC+CB﹣AB即可求出输电线路比原来缩短的千米数．解答：解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠CAD=20× =10（千米），AD=AC•cos∠CAD=20× =10 （千米），在Rt△BCD中，BD= ==10（千米）， ∴AB=AD+DB=10 +10=10（ +1）（千米），则新铺设的输电线路AB的长度10（ +1）（千米）；（2）在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC= =10 （千米）， ∴AC+CB﹣AB=20+10 ﹣（10 +10）=10（1+ ﹣）（千米），则整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10（1+ ﹣）千米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．　22．（8分）（2015•茂名）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“ 理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．（1）若点M（2，a）是反比例函数y= （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：（1）根据“理想点”，确定a的值，即可确定M点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答；（2）假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1=2x，整理得：（3m﹣2）x=1，分两种情况讨论：当3m﹣2≠0，即m≠ 时，解得：x= ，当3m﹣2=0，即m= 时，x无解，即可解答．解答：解：∵点M（2，a）是反比例函数y= （k为常数，k≠0）图象上的“理想点”， ∴a=4， ∵点M（2，4）在反比例函数y= （k为常数，k≠0）图象上， ∴k=2×4=8， ∴反比例函数的解析式为．（2）假设函数y=3mx﹣1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x），则有3mx﹣1=2x，整理得：（3m﹣2）x=1，当3m﹣2≠0，即m≠ 时，解得：x= 当3m﹣2=0，即m= 时，x无解，，综上所述，当m≠ 时，函数图象上存在“理想点”，为（当m= 时，函数图象上不存在“理想点”．点评：）；本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，解决本题的关键是理解“理想点” 的定义，确定点的坐标．　23．（8分）（2015•茂名）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息： ①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天） 1 3 6 10 … 日销售量（m件） 198 194 188 180 … ②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天） 1≤x＜50 50≤x≤90 销售价格（元/件） x+60 100 （1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90 天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提示：每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．考点：二次函数的应用．分析：（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；（2）设利润为y元，则当1≤x＜50时，y=﹣2×2+160x+4000；当50≤x≤90时，y=﹣ 120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；（3）直接写出在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．解答：解：（1）∵m与x成一次函数， ∴设m=kx+b，将x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：，解得：．所以m关于x的一次函数表达式为m=﹣2x+200；（2）设销售该产品每天利润为y元，y关于x的函数表达式为：，当1≤x＜50时，y=﹣2×2+160x+4000=﹣2（x﹣40）2+7200， ∵﹣2＜0， ∴当x=40时，y有最大值，最大值是7200；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000， ∵﹣120＜0， ∴y随x增大而减小，即当x=50时，y的值最大，最大值是6000；综上所述，当x=40时，y的值最大，最大值是7200，即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；（3）在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．点评：本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．　六、灵动管理，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 24．（8分）（2015•茂名）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8c m．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N 从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：动点型．分析：（1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当△BMN∽△BAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当△BMN∽△BCA时，，解得t ，综上所述，△BMN与△ABC相似，得t的值；（2）过点M作MD⊥CB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm ，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性质得，解得t．解答：解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm， ∴BN=（8﹣2t）cm，BA= 当△BMN∽△BAC时， =10（cm），，，∴，解得：t= 当△BMN∽△BCA时，，解得：t= ；∴，∴△BMN与△ABC相似时，t的值为或；（2）过点M作MD⊥CB于点D，由题意得： DM=BMsinB=3t （cm），BD=BMcosB=3t ==t（cm）， BM=3tcm，CN=2tcm， ∴CD=（8﹣ ）cm， ∵AN⊥CM，∠ACB=90°， ∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°， ∴∠CAN=∠MCD， ∵MD⊥CB， ∴∠MDC=∠ACB=90°， ∴△CAN∽△DCM， ∴，∴=，解得t= ．点评：本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．　25．（8分）（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（ ﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；（2）由y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ，得到顶点坐标E（﹣5，﹣ ），求得直线 CE的函数解析式y= x+ ，在y= x+ 中，令x=0，y= ，得到G（0，），如图 1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4﹣ = ，CG= ，得到BG=CG，AB= AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4 ），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论；（3）如图2，连接BD，BF，DF，设F（t， t2+ t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，求得直线BD的解析式为y= x+4，得到点N的坐标为（t， t+4），于是得到FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t，推出S△DBF=S△DNF+S△BNF= OD•FN= （﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16，即可得到结论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，解得．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y= x2+ x+4；（2）∵y= x2+ x+4= （x+5）2﹣ ， ∴E（﹣5，﹣ ），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得．∴y= x+ ，在y= x+ 中，令x=0，y= ， ∴G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB﹣OG=4﹣ = ， CG= == ， ∴BG=CG，AB=AC，在△ABG与△ACG中，，∴△ABG≌△ACG， ∴∠ACG=∠ABG， ∵⊙A与y轴相切于点B（0，4）， ∴∠ABG=90°， ∴∠ACG=∠ABG=90° ∵点C在⊙A上， ∴直线CE与⊙A相切；（3）存在点F，使△BDF面积最大，如图2连接BD，BF，DF，设F（t， t2+ t+4），过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则，解得．∴直线BD的解析式为y= x+4， ∴点N的坐标为（t， t+4）， ∴FN= t+4﹣（ t2+ t+4）=﹣ t2﹣2t， ∴S△DBF=S△DNF+S△BNF= OD•FN= ，（﹣ t2﹣2t）=﹣t2﹣8t=﹣（t+4）2+16 ∴当t=﹣4时，S△BDF最大，最大值是16，当t=﹣4时， t2+ t+4=﹣2， ∴F（﹣4，﹣2）．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．