2015年四川省成都市中考数学试卷（含解析版）

2015年四川省成都市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（　　） ﹣3 　A BCD 3 ﹣．．．．　2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（　　）　A BCD．．．．3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（　　） 126×104 1.26×105 1.26×106 1.26×107 　A BCD．．．．4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（　　）（﹣a2）2=a4 a2•a3=a6 　A a2+a2=a4 BCD （a+1）2=a2+1 ．．．．5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）　A 1 B 2 C 3 D 4 ．．．．第1页（共43页） 6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）　A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限．．．．7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（　　） a﹣b b﹣a ﹣a﹣b 　A a+b BCD．．．．8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） k≥﹣1 k＞﹣1 k≠0 　A BCD k＜1且k≠0 ．．．．9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） y=（x+2）2﹣3 y=（x﹣2）2+3 y=（x﹣2）2﹣3 　A B y=（x+2）2+3 CD．．．．10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）　A BCD2，π 2，，2，．．．．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=　　　　　　．第2页（共43页） 12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=　　　　　　度． 13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是　　　　　　小时． 14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB= ，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　　　　　　．，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15．（12分）（2015•成都）（1）计算： ﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．（2）解方程组：．第3页（共43页） 16．（6分）（2015•成都）化简：（ +）÷ ．17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42° ≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．第4页（共43页） 19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积． 20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与A C，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．第5页（共43页）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21．（4分）（2015•成都）比较大小：　　　　　　．（填“＞”，“＜”或“=”） 22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组率为　　　　　　．有解的概 23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1 D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　　　　　　．24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC 的长为　　　　　　． 25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　　　　　　（写出所有正确说法的序号）第6页（共43页） ①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程． ②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0； ③若点（p，q）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程； ④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=a x2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．五、解答题（本大题共3小题，共30分） 26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？第7页（共43页） 27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且，求k的值； ==k时，若BE=1，AE=2，CE=3 （3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE= n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）　第8页（共43页） 28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜ 0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．　第9页（共43页） 2015年四川省成都市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（　　） ﹣3 　A BCD 3 ﹣．．．．倒数．菁优网版权所有考点：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．分析：解答：解：∵﹣3×（﹣ ）=1， ∴﹣3的倒数是﹣ ．故选：A．点评主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．：　2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（　　）　A BCD．．．．第10页（共43页）简单几何体的三视图．菁优网版权所有根据原图形得出其主视图，解答即可．考点：分析：解：A、是左视图，错误； B、是主视图，正确； C、是俯视图，错误； D、不是主视图，错误；故选B 解答：点评此题考查三视图，关键是根据图形得出其三视图．：　3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（　　） 126×104 1.26×105 1.26×106 1.26×107 　A BCD．．．．科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有考点：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．分析：解答：故选C．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a| ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．：　第11页（共43页） 4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（　　）（﹣a2）2=a4 a2•a3=a6 　A a2+a2=a4 BCD （a+1）2=a2+1 ．．．．完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权考点：所有根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．分析：解：A、a2+a2=2a2，错误； B、a2•a3=a5，错误； C、（﹣a2）2=a4，正确； D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；故选C．解答：点评此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．：　5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）　A 1 B 2 C 3 D 4 ．．．．平行线分线段成比例．菁优网版权所有考点：分析：根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．解答解：∵DE∥BC，：第12页（共43页） ∴，，即解得：EC=2，故选：B．点评本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．：　6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）　A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限．．．．一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有考点：根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．分析：解答解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0， ∴该直线经过第一、三象限．又∵一次函数y=2x+1中的1＞0， ∴该直线与y轴交于正半轴，：∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．故选：D．点评本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．：　7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（　　）第13页（共43页） a﹣b b﹣a ﹣a﹣b 　A a+b BCD．．．．实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有考点：根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时分析：注意数轴上右边的数总大于左边的数，即可解答．解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，解答：∴|a﹣b|=﹣（a﹣b）=b﹣a，故选：C．点评此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．：　8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） k≥﹣1 k＞﹣1 k≠0 　A BCD k＜1且k≠0 ．．．．根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有考点：在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0 解：依题意列方程组分析：解答：，解得k＜1且k≠0．故选D．点评本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系第14页（共43页）数不为零这一隐含条件．：　9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） y=（x+2）2﹣3 y=（x﹣2）2+3 y=（x﹣2）2﹣3 　A B y=（x+2）2+3 CD．．．．二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有考点：先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平分析：移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平解答：移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y= （x+2）2﹣3．故选：A．点评本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．：　10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）　A BCD22，π 2，，，第15页（共43页）．．．．正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有考点：正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关分析：系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．解：连接OB， ∵OB=4，解答：∴BM=2， ∴OM=2 ，== π，故选D．点评本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．：　二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=　（x+3）（x﹣3）　．因式分解-运用公式法．菁优网版权所有考点：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．分析：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．解答：第16页（共43页）点评主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“ 两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．：　12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=　 45　度．平行线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有考点：先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠ 分析：1=∠ABC，即可得出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵直线m∥n，解答：∴∠1=∠ABC=45°，故答案为：45．点评本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．：　13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是　1　小时．第17页（共43页）中位数；条形统计图．菁优网版权所有考点：由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．故答案为1．分析：解答：点评本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．：　14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB= ，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　3　．，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有考点：由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．分析第18页（共43页）：解答解：∵翻折后点B恰好与点C重合，：∴AE⊥BC，BE=CE， ∵BC=AD=4， ∴BE=2， ∴AE= ==3．故答案为：3．点评本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．：　三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15．（12分）（2015•成都）（1）计算： ﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．（2）解方程组：．实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所考点：有专题计算题．：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．分析：解答：解：（1）原式=2 ﹣1﹣4× +9 =8；（2）①+②得：4x=4，即x=1，把x=1代入①得：y=2，则方程组的解为．第19页（共43页）点评此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　16．（6分）（2015•成都）化简：（ +）÷ ．分式的混合运算．菁优网版权所有计算题．考点：专题：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．分析：解答：解：原式= •=•=．点评此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42° ≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有考点：要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，分析第20页（共43页）：利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD= AB=100m，解直角△CEB，根据正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．解答解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，：∴BD= AB=100m，在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m， ∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m， ∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．点评本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．：　18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：（1）获得一等奖的学生人数；（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．列表法与树状图法；扇形统计图．菁优网版权所有考点：（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；分析：（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．第21页（共43页）解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°， ∴三等奖所占的百分比为25%，解答：∵三等奖为50人， ∴总人数为50÷25%=200人， ∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）=30人；（2）列表： A B C D AA A A B C D B B BB AC D CC C CDA B DD D D A B C ∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种， ∴P（选中A、B）= =．点评本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．：　19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．第22页（共43页）反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有考点：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y= ，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；分析：（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+P B的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，解答：得a=﹣1+4，解得a=3， ∴A（1，3），点A（1，3）代入反比例函数y= ，得k=3， ∴反比例函数的表达式y= ，两个函数解析式联立列方程组得，解得x1=1，x2=3， ∴点B坐标（3，1）；（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+P B的值最小， ∴D（3，﹣1），第23页（共43页）设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得，，解得m=﹣2，n=5， ∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，令y=0，得x= ， ∴点P坐标（，0）， S△PAB=S△ABD﹣S△PBD= ×2×2﹣ ×2× =2﹣ =1.5．点评本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．：　20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与A C，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．第24页（共43页）圆的综合题．菁优网版权所有考点：（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△ EBF；分析：（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF= BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF= BF，求得BF= ，有勾股定理解出EF =，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF= EF= ，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠EBF=90°，解答：∵DF⊥AC， ∴∠ADF=90°， ∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°， ∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中， ∴△ABC≌△EBF；，（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB 证明如下：∵OB=OF， ∴∠OBF=∠OFB， ∵∠ABC=90°，AD=CD， ∴BD=CD， ∴∠C=∠DBC， ∵∠C=∠BFE， ∴∠DBC=∠OBF， ∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°， ∴∠DBO=90°，第25页（共43页） ∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE， ∵∠CBF=90°，BC=BF， ∴CF= BF， ∵DF垂直平分AC， ∴AF=CF=AB+BF=1+BF= BF， ∴BF= ，∵△ABC≌△EBF， ∴BE=AB=1， ∴EF= =，∵BH平分∠CBF， ∴，∴EH=FH， ∴△EHF是等腰直角三角形， ∴HF= EF= ，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF， ∴△BHF∽△FHG， ∴，∴HG•HB=HF2=2+ ．第26页（共43页）点评本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．：　四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21．（4分）（2015•成都）比较大小：＜　．（填“＞”，“＜”或“=”）实数大小比较．菁优网版权所有考点：分析：首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．解答：解： ﹣==∵，∴4 ，∴，∴∴﹣ ＜0，＜．故答案为：＜．点评此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出第27页（共43页）：　﹣ 的差的正、负． 22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组率为　．有解的概概率公式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有考点：分析：由关于x的不等式组可求得答案．解：有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即解答：，由①得：x＞3，由②得：x＜，∵关于x的不等式组有解， ∴＞3，解得：a＞5， ∴使关于x的不等式组故答案为：．有解的概率为：．点评此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．：　23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1 D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示第28页（共43页）的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　（3n﹣1，0）　．相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．菁优网版权所有规律型．考点：专题：先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．分析：解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，解答：∴OA1=A1B1•sin30°=2× =1，OB1=A1B1•cos30°=2× =，∴A1（1，0）． ∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1， ∴OA2= ==3， ∴A2（3，0）．同理可得A3（9，0）… ∴An（3n﹣1，0）．故答案为：（3n﹣1，0）．点评本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键第29页（共43页）：　．24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC 的长为　8，或　．垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有分类讨论．考点：专题：①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；分析：②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽ △ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△AB D∽△CPA，代入数据得出结果； ③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△B CG中，得BC．解：①当BA=BP时，解答：易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8． ②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB， AE= AB=4，第30页（共43页） ∴BD=DP，在Rt△AEO中，AE=4，AO=5， ∴OE=3，易得△AOE∽△ABD， ∴∴∴，，，即PB= ，∵AB=AP=8， ∴∠ABD=∠P， ∵∠PAC=∠ADB=90°， ∴△ABD∽△CPA， ∴，，∴CP= ∴BC=CP﹣BP= ③当PA=PB时 =；如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB， ∴AF=FB=4，在Rt△OFB中，OB=5，FB=4， ∴OF=3， ∴FP=8，易得△PFB∽△CGB， ∴，设BG=t，则CG=2t，易得∠PAF=∠ACG， ∵∠AFP=∠AGC=90°，第31页（共43页） ∴△APF∽△CAG， ∴∴，，解得t= ，在Rt△BCG中，BC= t= 综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，故答案为：8，，，，，．点评本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．：　25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　②③　（写出所有正确说法的序号） ①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程． ②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0； ③若点（p，q）在反比例函数y= 的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；第32页（共43页） ④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=a x2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上考点：点的坐标特征．菁优网版权所有新定义．专题：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故① 错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣ ，得到 =﹣1，或分析：=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p ，q）在反比例函数y= 的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣ ，x2= ﹣ ，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2×2，由相异两点M（ 1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴ 得到抛物线的对称轴x= == ，于是求出x1= ，故④错误．解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1， ∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；解答：②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣ ， ∴ =﹣1，或 =﹣4， ∴m+n=0，4m+n=0， ∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确； ③∵点（p，q）在反比例函数y= 的图象上， ∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣ ，x2=﹣ ， ∴x2=2×1，故③正确； ④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程， ∴设x1=2×2，第33页（共43页） ∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴抛物线的对称轴x= == ， ∴x1+x2=5， ∴x1+2×1=5， ∴x1= ，故④错误．故答案为：②③．点评本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．：　五、解答题（本大题共3小题，共30分） 26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？分式方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有考点：（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；分析：（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有解答：+10= ，解得x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．第34页（共43页）（2）3x=3×120=360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．点评本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．：　27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且，求k的值； ==k时，若BE=1，AE=2，CE=3 （3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE= n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）四边形综合题．菁优网版权所有考点：分析：（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，∠ACE=∠ BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．第35页（共43页）（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、 EF的关系，求出CE的长是多少即可．（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△ ∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，解答：∴，∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF，在△CAE和△CBF中，，∴△CAE∽△CBF．（ii）解：∵△CAE∽△CBF， ∴∠CAE=∠△CBF，，又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°，又∵ ，AE=2 ∴∴，，第36页（共43页） ∴EF2=BE2+BF2= =3， ∴EF= ，∵CE2=2EF2=6， ∴CE= ．（2）如图②，连接BF，，∵==k， ∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb， ∴AC= ，CE= =，∴，∠ACE=∠BCF，在△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF， ∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=2， ∴，，∴BF= ∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°，第37页（共43页） ∴∠EBF=90°， ∴EF2=BE2+BF2=1 ，∵∴，=，CE=3， ∴EF= ，∴1 ，∴，解得k=± ，∵==k＞0， ∴k= ．（3）∵∠DAB=45°， ∴∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得 AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos135° =2 =在△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF， ∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=n，第38页（共43页） ∴，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴EF2=BE2+BF2， ∴，∴（2 ）m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2 ）m2+n2=p2．点评（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．：　（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握． 28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜ 0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．第39页（共43页）二次函数综合题．菁优网版权所有考点：（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作D F⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．分析：（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，利用待定系数法确定yAE=a（ m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE= （m+1）[a（m﹣3）﹣a]= （m﹣ ）2﹣ a，根据最值确定a的值即可；（3）分以AD为对角线、以AC为边，AP为对角线、以AC为边，AQ为对角线三种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3 解答：∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F， ∴DF∥OC， ∴=，∵CD=4AC， =4， ∴=第40页（共43页） ∵OA=1， ∴OF=4， ∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a， ∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE=k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3）， ∴S△ACE= （m+1）[a（m﹣3）﹣a]= （m﹣ ）2﹣ a， ∴有最大值﹣ a= ， ∴a=﹣ ；（3）设P（1，p），Q（q，a（q+1）（q﹣3）），A（﹣1，0），D（4，5a）， ①以AD为对角线，APDQ为矩形，坐标满足． xP+xQ=xA+xD，yP+yQ=yA+yD， 1+q=﹣a+4，p+a（q+1）（q﹣3）=5a， ∴q=2，a（q+1）（q﹣3）=5a﹣p ∴Q（2，5a﹣p）， ∵5a﹣p=a（2+1）（2﹣3）， ∴5a﹣p=﹣3a，p=8a，如图2，过P作PG∥x轴，过A作AF⊥PG，DG⊥PG，第41页（共43页）则△APF∽△PDG， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣4）； ②以AC为边，AP为对角线， xP+xA=xQ+xD，yP+yA=yQ+yD， 1+（﹣1）=q+4，P+O=a（q+1）（q﹣3）+5a， ∴q=﹣4，a（q+1）（q﹣3）=P﹣5a ∴Q（﹣4，21a）， ∵21a=p﹣5a， ∴p=26a， ∴P（1，26a）， ∵AD⊥AQ， ∴kAD•kAQ=1，即﹣7a•a=﹣1 ∴a2= ， ∴a= 或a=﹣ （舍）， ∴P（1，﹣ ）； ③以AD为边，AQ为对角线， xP+xD=xA+xQ，yP+yD=yA+yQ， 1+4=q﹣1，p+5a=a（q+1）（q﹣3）+O， ∴q=6，a（q+1）（q﹣3）=P+5a ∴Q（6，21a）， ∵5a﹣p=21a ∴p=16a， ∵AD⊥AP， ∴kAD•kAP=1，即8a•a=﹣1，第42页（共43页） a2=﹣ （舍），综上：P1（1，﹣4）；，P2（1，﹣ ）；点评本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．：　第43页（共43页）