2015年四川省台州市中考数学试卷（含解析版）

2015年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）（2015•台州）单项式2a的系数是（　　）　A．2 2．（4分）（2015•台州）下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）　A． B． C． D． B．2a C．1 D．a 3．（4分）（2015•台州）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）了解我省中学生的视力情况　A．　B．　C．　D．了解九（1）班学生校服的尺码情况检测一批电灯泡的使用寿命调查台州《600全民新闻》栏目的收视率 4．（4分）（2015•台州）若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（　　）　A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 5．（4分）（2015•台州）若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（　　）　A．3 6．（4分）（2015•台州）把多项式2×2﹣8分解因式，结果正确的是（　　） 2（x﹣2）2 B．4 C．5 D．6 2（x2﹣8） 2（x+2）（x﹣2） D． 2x（x﹣ ）　A． B． C． 7．（4分）（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　）（﹣3，0）（0，﹣4） D．　A．（1，0） B．（3，0） C． 8．（4分）（2015•台州）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（　　）　A．8cm B． C．5.5cm D．1cm 5cm 19．（4分）（2015•台州）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且A E=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）　A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 10．（4分）（2015•台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　）若甲对，则乙对若乙错，则甲错若乙对，则甲对若甲错，则乙对　A．　C．　B． D．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）（2015•台州）不等式2x﹣4≥0的解集是　　　　　　． 12．（5分）（2015•台州）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是　　　　　　． 13．（5分）（2015•台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC= 3，则点D到AB的距离是　　　　　　． 14．（5分）（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置． 2则椒江区B处的坐标是　　　　　　． 15．（5分）（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　　　　　　（填序号）． 16．（5分）（2015•台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABC D内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为　　　　　　．　三、解答题（本题有8小题，第17- 20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24题14，共80分） 17．（8分）（2015•台州）计算：6÷（﹣3）+|﹣1|﹣20150．　18．（8分）（2015•台州）先化简，再求值： ﹣，其中a= ﹣1．　319．（8分）（2015•台州）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A 到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′ 处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）　20．（8分）（2015•台州）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m ）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．（1）根据图2填表： ……x（min） y（m） 036812 （2）变量y是x的函数吗？为什么？（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．　421．（10分）（2015•台州）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．　22．（12分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC =DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．　523．（12分）（2015•台州）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE =2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．（1）①延长BC交ED于点M，则MD=　　　　　　，DC=　　　　　　； ②求y关于x的函数解析式；（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．　624．（14分）（2015•台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD ，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△ NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究 S△AMF，S△BEN和S四边形MNHC的数量关系，并说明理由．　　72015年浙江省台州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．（4分）（2015•台州）单项式2a的系数是（　　）　A．2 B．2a C．1 D．a 单项式．菁优网版权所有考点：根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．分析：解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．故选A．解答：点评本题考查单项式的系数，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数．：　2．（4分）（2015•台州）下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）　A． B． C． D．简单几何体的三视图．菁优网版权所有考点：四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形分析：，由此可确定答案．解：因为圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，故选D 解答：8点评主要考查立体图形的左视图，关键是几何体的左视图．：　3．（4分）（2015•台州）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（　　）了解我省中学生的视力情况　A．　B．　C．　D．了解九（1）班学生校服的尺码情况检测一批电灯泡的使用寿命调查台州《600全民新闻》栏目的收视率全面调查与抽样调查．菁优网版权所有考点：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到分析：的调查结果比较近似．解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意解答：；B、了解九（1）班学生校服的尺码情况，适合普查，故B符合题意； C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查局有破坏性，适合抽样调查； D、调查台州《600全民新闻》栏目的收视率调查范围广，适合抽样调查，故D不符合题意；故选：B．点评本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．：　4．（4分）（2015•台州）若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（　　）　A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 9反比例函数的性质．菁优网版权所有考点：根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限分析：即可作出判断．解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限解答：．故选D．点评本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y= （k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．：　5．（4分）（2015•台州）若一组数据3，x，4，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（　　）　A．3 B．4 C．5 D．6 考点众数；中位数．菁优网版权所有：分析根据众数和中位数的概念求解．：解：∵这组数据的众数为6， ∴x=6，解答：则这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，6，中位数为：5．故选C．点评本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．：　6．（4分）（2015•台州）把多项式2×2﹣8分解因式，结果正确的是（　　） 10 2（x﹣2）2 2（x+2）（x﹣2） D． 2（x2﹣8）　A． B． C． 2x（x﹣ ）提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有考点：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．分析：解：2×2﹣8=2（x2﹣4）=2（x﹣2）（x+2）．故选：C．解答：点评此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式分解因式是解题关键．：　7．（4分）（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（　　）（﹣3，0）（0，﹣4） D．　A．（1，0） B．（3，0） C．二次函数的性质．菁优网版权所有考点：根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一分析：定为3，从而选出答案．解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3， ∴直线l上所有点的横坐标都是3， ∵点M在直线l上，解答：∴点M的横坐标为3，故选B．点评本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．：　8．（4分）（2015•台州）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（　　） 11 　A．8cm B． C．5.5cm D．1cm 5cm 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有考点：根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．分析：解答：解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为： =≈7 .8，故折痕长不可能为8cm．故选：A．点评考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．：　9．（4分）（2015•台州）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且A E=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）　A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 菱形的性质．菁优网版权所有考点：根据菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出平行四边形ABHF、AEGD、GCHO，得出AF=FO=OE=AE和OH=CH=GC=GO，根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形C GOH是菱形，再解答即可．分析：解：∵四边形ABCD是菱形，解答：∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD， ∵EG∥AD，FH∥AB， 12 ∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形， ∴AF=OE，AE=OF，OH=GC，CH=OG， ∵AE=AF， ∴OE=OF=AE=AF， ∵AE=AF， ∴BC﹣BH=CD﹣DG，即OH=HC=CG=OG， ∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形， ∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12， ∴4AE﹣4（8﹣AE）=12，解得：AE=5.5，故选C 点评此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形AEOF与四边形CGOH是菱：　形． 10．（4分）（2015•台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　）若甲对，则乙对若乙错，则甲错若乙对，则甲对若甲错，则乙对　A．　C． B． D．推理与论证．菁优网版权所有考点：分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．分析：解：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，则两项都参加的人数为5人，故乙错．解答：若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，此时只参加一项的人数为16人，故甲对．故选：B． 13 点评此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．：　二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）（2015•台州）不等式2x﹣4≥0的解集是　x≥2　．考点解一元一次不等式．菁优网版权所有：先移项，再把x的系数化为1即可．分析：解：移项得，2x≥4， x的系数化为1得，x≥2．故答案为：x≥2．解答：点评本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．：　12．（5分）（2015•台州）有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4，现把它们的正面向下，随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是　．考点概率公式．菁优网版权所有：由有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3，4 ，直接利用概率公式求解即可求得答案．分析：解：∵有四张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，正面分别写着数字1，2，3 ，4，解答：∴从中任意抽出一张，则抽出的数字是奇数的概率是： = ．故答案为：． 14 点评此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．：　13．（5分）（2015•台州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC= 3，则点D到AB的距离是　3　．角平分线的性质．菁优网版权所有考点：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解．分析：解答解：作DE⊥AB于E， ∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°， ∴DE=DC，：∵DC=3， ∴DE=3，即点D到AB的距离DE=3．故答案为：3．点评本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．：　14．（5分）（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置． 15 则椒江区B处的坐标是　（10，8 ）　．坐标确定位置．菁优网版权所有考点：根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC的长，根据勾股定理，BC的长．分析：解答：解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意，得AB=16，∠ABC=30°， AC=8，BC=8 ．OC=OA+AC=10， B（10，8 ）．点评本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．：　15．（5分）（2015•台州）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　①③　（填序号）．根的判别式；一元一次方程的解．菁优网版权所有分类讨论．考点：专题：分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．分析：解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；解答：当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1+4m+4m2=（ 16 2m+1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；故答案为①③．点评本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想．：　16．（5分）（2015•台州）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABC D内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为　 ﹣ 　．正多边形和圆；轨迹．菁优网版权所有考点：当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，以点H（H与O重合）为圆心，对角线EH为半径的圆应与正方形ABCD相切，且点E在线段OA上，如图所示，只需求出OE、OA的值，就可解决问题．分析：解：当这个正六边形的边长最大时，解答：作正方形ABCD的内切圆⊙O．当正六边形EFGHIJ的顶点H与O重合，且点E在线段OA上时，AE最小，如图所示． ∵正方形ABCD的边长为1， 17 ∴⊙O的半径OE为，AO= AC= × 则AE的最小值为 ﹣．故答案为 ﹣． =，点评本题是有关正多边形与圆的问题，考查了正方形的内切圆、圆外一点与圆上点的最短距离、勾股定理等知识，正确理解题意是解决本题的关键．：　三、解答题（本题有8小题，第17- 20题每题8分，第21题10分，第22,23题每题12分，第24题14，共80分） 17．（8分）（2015•台州）计算：6÷（﹣3）+|﹣1|﹣20150．实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有考点：专题计算题．：原式第一项利用除法法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用分析：零指数幂法则计算即可得到结果．解：原式=﹣2+1﹣1 =﹣2．解答：点评此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　18．（8分）（2015•台州）先化简，再求值： ﹣，其中a= ﹣1．分式的化简求值．菁优网版权所有考点：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．分析：18 解答：解：原式= ﹣=，当a= ﹣1时，原式= =．点评本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．：　19．（8分）（2015•台州）如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A 到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′ 处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）解直角三角形的应用．菁优网版权所有考点：作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=OA﹣OB求得即可．分析：解：如图，根据题意OA=OA′=80cm，∠AOA′=35°，作A′B⊥AO于B，解答：∴OB=OA′•cos35°=80×0.82≈65.6， ∴AB=OA﹣OB=80﹣65.6=14cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米． 19 点评此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．：　20．（8分）（2015•台州）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m ）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示．（1）根据图2填表： ……x（min） y（m） 036812 　5　　70　　5　　54　　5　（2）变量y是x的函数吗？为什么？（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．二次函数的应用．菁优网版权所有考点：（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；（2）利用函数的定义直接判断即可．分析：（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径． 20 解答解：（1）填表如下： ……：x（min） y（m） 05365812 570 54 （2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，所以y是x的函数；（3）∵最高点为70米，最低点为5米， ∴摩天轮的直径为65米．点评本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不：　大． 21．（10分）（2015•台州）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）求扇形统计图中m的值和“E”组对应的圆心角度数；（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有考点：（1）根据第二组频数为21，所占百分比为21%，求出数据总数，再用数据总数减去其余各组频数得到第四组频数，进而补全频数分布直方图；分析：（2）用第三组频数除以数据总数，再乘以100，得到m的值；先求出“E”组所占百分 21 比，再乘以360°即可求出对应的圆心角度数；（3）用3000乘以每周课外阅读时间不小于6小时的学生所占百分比即可．解：（1）数据总数为：21÷21%=100，解答：第四组频数为：100﹣10﹣21﹣40﹣4=25，频数分布直方图补充如下：（2）m=40÷100×100=40； “E”组对应的圆心角度数为：360°× =14.4°；（3）3000×（25%+ 即估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．点评此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力）=870（人）．；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．：　22．（12分）（2015•台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC =DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2． 22 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有考点：专题计算题．：（1）根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理得 ∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78°；（2）根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠C EB=∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．分析：解答（1）解：∵BC=DC，：∴∠CBD=∠CDB=39°， ∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC， ∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD， ∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠CBD， ∴∠1=∠2．点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．：　23．（12分）（2015•台州）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE =2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO•OQ=y．（1）①延长BC交ED于点M，则MD=　2　，DC=　1　； 23 ②求y关于x的函数解析式；（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．四边形综合题．菁优网版权所有考点：（1）①根据两组对边平行得到四边形OFBQ，四边形EMBF是平行四边形，求出EM =BF=1，得到DM=2，通过△DMC∽△AEF，列比例式求得CD=1；②根据△EPO∽△E AF，列比例式即可求得y关于x的函数解析式；分析：（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b，当x= 时，得到y=﹣2× +4=6b，求出b= ，当 x=a时，得到y=﹣2a+4=9a，求出a= （3）根据1≤y≤3得到关于x的不等式1≤﹣2x+4≤3，解得即可．解答解：（1）①∵EF∥CB，PQ∥AB，；∴四边形OFBQ是平行四边形， ∴OQ=BF=1，：∵∠A=∠AED=90°， ∴DE∥AB， ∴四边形EMBF是平行四边形， ∴EM=BF=1， ∵DE=3， ∴DM=2， ∵∠D=∠A=90°，∠DMC=∠B=∠EFA， ∴△DMC∽△AEF， ∴，24 ∵AF=AB﹣BF=4， ∴，∴CD=1；故答案为：2，1； ②∵PO•OQ=y， ∵OQ=1， ∴PO=y， ∵OP∥AF， ∴△EPO∽△EAF， ∴，∵AP=x，∴PE=2﹣x， ∴，∴y=﹣2x+4；（2）当a≤x≤ （a＞0）时，9a≤y≤6b， ∴当x= 时，y=﹣2× +4=6b， ∴b= ，当x=a时，y=﹣2a+4=9a， ∴a= ；（3）当1≤y≤3时，即1≤﹣2x+4≤3，解得： ≤x≤ ． 25 点评本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解不等式组，求一次函数的解析式，根据三角形相似列比例式求一次函数的解析式是解题的关键．：　24．（14分）（2015•台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD ，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△ NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究 S△AMF，S△BEN和S四边形MNHC的数量关系，并说明理由．相似形综合题．菁优网版权所有考点 26 ：（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；分析：（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出结论；（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c﹣b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c2=2ab﹣ac+bc，证出c2=a2+b2，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出S△DGH=S△CAF，证出S△DMN=S△ACM+S△ENB，即可得出结论．（1）解：①当MN为最大线段时， ∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，解答：∴BN= ②当BN为最大线段时， ∵点M、N是线段AB的勾股分割点， ==；∴BN= ==，综上所述：BN= 或；（2）证明：∵FG是△ABC的中位线， ∴FG∥BC， ∴===1， ∴点M、N分别是AD、AE的中点， ∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG， ∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD， ∴EC2=BD2+DE2， ∴（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2， ∴NG2=FM2+MN2， ∴点M、N是线段FG的勾股分割点；（3）解：作法：①在AB上截取CE=CA； 27 ②作AE点垂直平分线，并截取CF=CA； ③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图所示：（4）解：S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN，理由如下：设AM=a，BN=b，MN=c， ∵H是DN的中点， ∴DH=HN= c， ∵△MND、△BNE均为等边三角形， ∴∠D=∠DNE=60°，在△DGH和△NEH中，，∴△DGH≌△NEH（ASA）， ∴DG=EN=b， ∴MG=c﹣b， ∵GM∥EN， ∴△AGM∽△AEN， ∴，∴c2=2ab﹣ac+bc， ∵点 M、N是线段AB的勾股分割点， ∴c2=a2+b2， ∴（a﹣b）2=（b﹣a）c，又∵b﹣a≠c， ∴a=b，在△DGH和△CAF中，，∴△DGH≌△CAF（ASA）， 28 ∴S△DGH=S△CAF ∵c2=a2+b2，，∴c2= a2+ b2， ∴S△DMN=S△ACM+S△ENB ∵S△DMN=S△DGH+S四边形MNHG，S△ACM=S△CAF+S△AMF ∴S四边形MNHG=S△AMF+S△BEN ，，．点评本题是相似形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形和四边形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要两次证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．：　29