2014年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷（含解析版）

2014年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，满分27分） 1．（3分）（2014•牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）　 A． 2．（3分）（2014•牡丹江）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）　A．x≥0 B．x＞0 C．x≠0 D．x＞0且x≠1 3．（3分）（2014•牡丹江）下列计算正确的是（　　） B． C． D．（﹣a2）3÷a4=﹣a D． 2a •3a =6a 22235﹣1 　A． B． C．（a≠0） 2a +a=3a 2a =4．（3分）（2014•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）　A．3 B．4 C．5 D．6 5．（3分）（2014•牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（　　）　A．（0，2） 6．（3分）（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则 ﹣5 B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）的值是（　　） D．5 　A． B． C． ﹣7．（3分）（2014•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（　　）　A．30° B．45° C．60° D．75° 8．（3分）（2014•牡丹江）如图，点P是菱形ABCD边上一动点，若∠A=60°，AB=4，点P 从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是（　　）　A． B． C． D． 9．（3分）（2014•牡丹江）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB， CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB； ③四边形EBFD是菱形； ④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（　　）　A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，满分33分） 10．（3分）（2014•牡丹江）2014年我国农村义务教育保障资金约为87900000000元，请将数87900000000用科学记数法表示为 11．（3分）（2014•牡丹江）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．　． 12．（3分）（2014•牡丹江）某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为　元． 13．（3分）（2014•牡丹江）一组数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是6，这组数据的中位数是． 14．（3分）（2014•牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2 ，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　． 15．（3分）（2014•牡丹江）在一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地取出一个小球然后放回，再随机地取出一个小球，则两次取出小球的标号的和是3的倍数的概率是 16．（3分）（2014•牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为　．　　． 17．（3分）（2014•牡丹江）如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将 △ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE 　． =18．（3分）（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1 ，则a+b+c=　．19．（3分）（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为　　． 20．（3分）（2014•牡丹江）矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP= DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE= ．　三、解答题（满分60分） 21．（5分）（2014•牡丹江）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x=cos60°．　22．（6分）（2014•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ，）．　23．（6分）（2014•牡丹江）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC为一边作正方形ACDE ，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，请你画出图形，直接写出AF的长，并画出体现解法的辅助线．　24．（7分）（2014•牡丹江）某校为了了解本校九年级学生的视力情况（视力情况分为：不近视，轻度近视，中度近视，重度近视），随机对九年级的部分学生进行了抽样调查，将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中不近视与重度近视人数的和是中度近视人数的2倍．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“不近视”对应扇形的圆心角度数是度；（3）若该校九年级学生有1050人，请你估计该校九年级近视（包括轻度近视，中度近视，重度近视）的学生大约有多少人．　25．（8分）（2014•牡丹江）快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（快车掉头的时间忽略不计），快、慢两车距乙地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出慢车的行驶速度和a的值；（2）快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米？（3）两车出发后几小时相距的路程为200千米？请直接写出答案．　26．（8分）（2014•牡丹江）如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN =60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则BE= 　，CD=　．　27．（10分）（2014•牡丹江）某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题：（1）该工厂有哪几种生产方案？（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．　28．（10分）（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点 A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一 3元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO= （1）求点A，C的坐标；．4k（2）若反比例函数y= 的图象经过点E，求k的值； x（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．　2014年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，满分27分） 1．（3分）（2014•牡丹江）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）　 A． B． C． D．中心对称图形；轴对称图形．考点：分析：解答：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形．故此选项错误； C、既是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误．故答案选：C．点评：本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．　2．（3分）（2014•牡丹江）在函数y= 中，自变量x的取值范围是（　　）　A．x≥0 B．x＞0 C．x≠0 D．x＞0且x≠1 函数自变量的取值范围．考点：分析：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．解：根据题意得到：x＞0，解答：故选B．点评：本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．　3．（3分）（2014•牡丹江）下列计算正确的是（　　）（﹣a2）3÷a4=﹣a D． 2a •3a =6a 22235﹣1 　A． B． C．（a≠0） 2a +a=3a 2a =同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指考点：分析：解答：数幂．根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．解：A、2a2+a，不是同类项不能合并，故A选项错误； B、2a﹣1=（a≠0），故B选项错误； C、（﹣a2）3÷a4=﹣a2，故C选项错误； D、2a2•3a3=6a5，故D选项正确．故选：D．点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题关键是熟记法则．　4．（3分）（2014•牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（　　）　A．3 B．4 C．5 D．6 由三视图判断几何体．考点：分析：根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，解答：因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．点评：本题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．　5．（3分）（2014•牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是（　　）　A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，7）二次函数图象与几何变换．考点：专题：几何变换．先根据顶点式确定抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），在利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标．分析：解答：解：抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．故选B．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．　6．（3分）（2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则 ﹣5 的值是（　　） D．5 　A． B． C． ﹣比例的性质．考点：分析：根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：解：∵x：y=1：3， ∴设x=k，y=3k， ∵2y=3z， ∴z=2k， ∴==﹣5．故选A．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．　7．（3分）（2014•牡丹江）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（　　）　A．30° B．45° C．60° D．75° 圆周角定理；含30度角的直角三角形．考点：分析：由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．解答：解：∵⊙O的直径是AB， ∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1， ∴sinB= ，∴∠B=30°， ∴∠A=∠D=60°，故选：C．点评：本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．　8．（3分）（2014•牡丹江）如图，点P是菱形ABCD边上一动点，若∠A=60°，AB=4，点P 从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动，当点P运动到点D时停止运动，那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是（　　）　A． B． C． D．动点问题的函数图象．考点：分析：根据∠A的度数求出菱形的高，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可．解答：解：∵∠A=60°，AB=4， ∴菱形的高=4× =2 ，点P在AB上时，△APD的面积S=×4× t= t（0≤t≤4）；点P在BC上时，△APD的面积S=×4×2 =4 （4＜t≤8）；点P在CD上时，△APD的面积S=×4× （12﹣t）=﹣ t+12 （8＜t≤12），纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，菱形的性质，根据点P的位置的不同，分三段求出相应的函数解析式是解题的关键．　9．（3分）（2014•牡丹江）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB， CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM； ②△EOB≌△CMB； ③四边形EBFD是菱形； ④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（　　）　A．1 B．2 C．3 D．4 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质． ①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得F B⊥OC，OM=CM；考点：分析： ②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM． ③先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形； ④根据三角函数求得MB=OM/ ，OF=OM/ ，即可求得MB：OE=3：2．解：连接BD，解答： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中 ∴△OBF≌△CBF（SSS）， ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正确， ∵∠OBC=60°， ∴∠ABO=30°， ∵△OBF≌△CBF， ∴∠OBM=∠CBM=30°， ∴∠ABO=∠OBF， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC，易证△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴OB⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形， ∴③正确， ∴△EOB≌△FOB≌△FCB， ∴△EOB≌△CMB错误． ∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°， ∴MB=OM/ ，OF=OM/ ，∵OE=OM， ∴MB：OE=3：2，正确；故选C．点评：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．　二、填空题（每小题3分，满分33分） 10．（3分）（2014•牡丹江）2014年我国农村义务教育保障资金约为87900000000元，请将数87900000000用科学记数法表示为　8.79×1010　．科学记数法—表示较大的数．考点：分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于87900000000有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．解：87 900 000 000=8.79×1010．故答案为：8.79×1010．解答：点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．　11．（3分）（2014•牡丹江）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件　AB=DE（答案不唯一）　，使△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．可选择利用AAS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可．分析：解答：解：添加AB=DE． ∵BE=CF， ∴BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案可为：AB=DE（答案不唯一）．点评：本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定定理．　12．（3分）（2014•牡丹江）某种商品每件的标价为240元，按标价的八折销售时，每件仍能获利20%，则这种商品每件的进价为　160　元．一元一次方程的应用．考点：分析：设这种商品每件的进价为x元，根据按标价的八折销售时，仍可获利10%，列方程求解．解：设这种商品每件的进价为x元，由题意得，240×0.8﹣x=10%x，解得：x=160，解答：即每件商品的进价为160元．故答案是：160．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．　13．（3分）（2014•牡丹江）一组数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12，平均数是6，这组数据的中位数是　3　．中位数；算术平均数；众数．考点：分析：先根据数据2，3，x，y，12的平均数是6，求出x+y=13，再根据数据2，3，x，y，12 中，唯一的众数是12，求出x，y的值，最后把这组数据从小到大排列，即可得出答案．解答：解：∵数据2，3，x，y，12的平均数是6， ∴（2+3+x+y+12）=6，解得：x+y=13， ∵数据2，3，x，y，12中，唯一的众数是12， ∴x=12，y=1或x=1，y=12，把这组数据从小到大排列为：1，2，3，12，12，则这组数据的中位数是3；故答案为：3．点评：本题考查了众数、平均数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．　14．（3分）（2014•牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2 ，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　1或3　．考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据勾股定分析：理求出OD的长，进而可得出结论．解：如图所示：解答： ∵⊙O的半径为2，弦BC=2 ，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴AD⊥BC， ∴BD=BC= ，在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．　15．（3分）（2014•牡丹江）在一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地取出一个小球然后放回，再随机地取出一个小球，则两次取出小球的 1标号的和是3的倍数的概率是　． 3列表法与树状图法．考点：分析：列举出所有情况，看两次取出的小球的标号之和是3的倍数情况数占总情况数的多少即可．解：树状图如下：解答：共9种情况，两次取出的小球的标号之和是3的倍数的情况数有3种， 3 1 所以两次取出的小球的标号之和是3的倍数的概率为 =．9 3 1故答案为：．3点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到两次取出的小球的标号之和是3的倍数的情况数是解决本题的关键．　16．（3分）（2014•牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为　n2+2　．规律型：图形的变化类．考点：分析：分析数据可得：第1个图形中点的个数为3；第2个图形中点的个数为3+3；第3个图形中点的个数为3+3+5；第4个图形中点的个数为3+3+5+7；…则知第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）．据此可以求得答案．解：第1个图形中点的个数为3；解答：第2个图形中点的个数为3+3；第3个图形中点的个数为3+3+5；第4个图形中点的个数为3+3+5+7； …第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2+2．故答案为：n2+2．点评：此题考查图形与数字结合规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．　17．（3分）（2014•牡丹江）如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，点D为BC中点，将 △ABC绕点D逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB交于点E，则S四边形ACDE=　28　．旋转的性质．考点：分析：利用旋转的性质得出∠B=∠BDE=45°，BD=4，进而由S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE求出即可．解：由题意可得：∠B=∠BDE=45°，BD=4，则∠DEB=90°，解答： ∴BE=DE=2 ，∴S△BDE=×2 ×2 =4， ∵S△ACB=×AC×BC=32， ∴S四边形ACDE=S△ACB﹣S△BDE=28．故答案为：28．点评：此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出S△BDE是解题关键．　18．（3分）（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1 ，则a+b+c=　0　．二次函数的性质．考点：分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，解答： ∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）， ∴a+b+c=0．故答案为0．点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．　图标连19．（3分）（2014•牡丹江）如，在平面直角坐系中，点A（0，4），B（3，0），过线轴处线轴△接AB，将 AOB沿点B的直折叠，使点A落在x 上的点A′ ，折痕所在的直交y 正轴则线为BC的解析式y= ﹣半于点C，直x+ 　．翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．考点：专题：计算题．计质△分析：在Rt OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理算出AB=5，再根据折叠的性得BA′=B 则﹣设则﹣△A=5，CA′=CA， OA′=BA′ OB=2， OC=t， CA=CA′=4 t，在Rt OA′C中，根据 222﹣勾股定理得到t +2 =（4 t），解得t= 则标为 C点坐（0，），然后利用待定，线系数法确定直 BC的解析式．解答：解：∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA=4，OB=3，在Rt△OAB中，AB= =5， ∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处， ∴BA′=BA=5，CA′=CA， ∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2，设OC=t，则CA=CA′=4﹣t，在Rt△OA′C中， ∵OC2+OA′2=CA′2， 222﹣∴t +2 =（4 t），解得t= ，标为 ∴C点坐（0，），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0）、C（0，）代入得，解得，线为BC的解析式 y= ﹣∴直x+ ．为故答案 y= ﹣x+ ．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和待定系数法求一次函数解析式．　20．（3分）（2014•牡丹江）矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点P是直线BD上一点，且DP= DA，直线AP与直线BC交于点E，则CE=　 ﹣2或 +2　．矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．考点：专题：分类讨论．依题意画出图形：以点D为圆心，DA长为半径作圆，与直线BC交于点P（有2个），分析：利用等腰三角形的性质分别求出CE的长度．解答：解：矩形ABCD中，AB=2，AD=1，由勾股定理得：BD= ．如图所示，以点D为圆心，DA长为半径作圆，交直线BD于点P1、P2，连接AP1、P2A 并延长，分别交直线BC于点E1、E2． ∵DA=DP1， ∴∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠4=∠3，又∵∠2=∠3， ∴∠3=∠4， ∴BE1=BP1= ，∴CE1=BE1﹣BC= ﹣2； ∵DA=DP2 ∴∠5=∠6 ∵AD∥BC， ∴∠5=∠7， ∴∠6=∠7， ∴BE2=BP2= +1， ∴CE2=BE2+BC= +2．故答案为： ﹣2或 +2．点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形等知识点．考查重点是分类讨论的数学思想，本题所求值有2个，注意不要漏解．　三、解答题（满分60分） 21．（5分）（2014•牡丹江）先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中x=cos60°．分式的化简求值；特殊角的三角函数值．考点：分析：解答：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．解：原式= ÷=•=，当x=cos60°=时，原式= =﹣．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．　22．（6分）（2014•牡丹江）如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ，）．待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．专题：计算题．考点：（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；分析：（2）利用顶点坐标公式表示出D坐标，进而确定出E坐标，得到DE与OE的长，根据 B坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD 的长．解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），解答： ∴将A与B坐标代入得：解得：则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；，，（2）由D为抛物线顶点，得到D（1，4）， ∵抛物线与x轴交于点E， ∴DE=4，OE=1， ∵B（﹣1，0）， ∴BO=1， ∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= ==2 ．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．　23．（6分）（2014•牡丹江）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AC为一边作正方形ACDE ，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，请你画出图形，直接写出AF的长，并画出体现解法的辅助线．作图— 考点：应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．根据题意画出两个图形，再利用勾股定理得出AF的长．解：如图1所示：分析：解答： ∵AB=AC=5，BC=6， ∴AM=4， ∵∠ACM+∠DCF=90°，∠MAC+∠ACM=90°， ∴∠CAM=∠DCF，在△AMC和△CFD中，∴△AMC≌△CFD（AAS）， ∴AM=CF=4，故AF= =，如图2所示： ∵AB=AC=5，BC=6， ∴AM=4，MC=3， ∵∠ACM+∠DCF=90°，∠MAC+∠ACM=90°， ∴∠CAM=∠DCF，在△AMC和△CFD中，∴△AMC≌△CFD（AAS）， ∴AM=FC=4， ∴FM=FC﹣MC=1，故AF= =．注：每图1分（图1中没有辅助线、没有直角符号均不给分；图2中没有辅助线、没有直角符号、点B在正方形外均不给分）．点评：此题主要考查了应用设计与作图，利用分类讨论得出是解题关键．　24．（7分）（2014•牡丹江）某校为了了解本校九年级学生的视力情况（视力情况分为：不近视，轻度近视，中度近视，重度近视），随机对九年级的部分学生进行了抽样调查，将调查结果进行整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中不近视与重度近视人数的和是中度近视人数的2倍．请你根据以上信息解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数；（2）补全条形统计图，在扇形统计图中，“不近视”对应扇形的圆心角度数是　144　度；（3）若该校九年级学生有1050人，请你估计该校九年级近视（包括轻度近视，中度近视，重度近视）的学生大约有多少人．条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．考点：分析：（1）根据轻度近视的人数是14人，占总人数的28%，即可求得总人数；（2）设中度近视的人数是x人，则不近视与重度近视人数的和2x，列方程求得x的值，即可求得不近视的人数，然后利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．解：（1）本次调查的学生数是：14÷28%=50（人）；（2）设中度近视的人数是x人，则不近视与重度近视人数的和2x，则x+2x+14=50，解得：x=12，解答：则中度近视的人数是12，不近视的人数是：24﹣4=20（人），则“不近视”对应扇形的圆心角度数是：360°× =144°；（3）1050× =630（人）．答：该校九年级近视（包括轻度近视，中度近视，重度近视）的学生大约630人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　25．（8分）（2014•牡丹江）快、慢两车分别从相距480千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，途中慢车因故停留1小时，然后以原速继续向甲地行驶，到达甲地后停止行驶；快车到达乙地后，立即按原路原速返回甲地（快车掉头的时间忽略不计），快、慢两车距乙地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：（1）直接写出慢车的行驶速度和a的值；（2）快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是多少千米？（3）两车出发后几小时相距的路程为200千米？请直接写出答案．一次函数的应用．考点：分析：（1）根据行程问题的数量关系速度=路程÷时间及路程=速度×时间就可以得出结论；（2）由（1）的结论可以求出点D的坐标，再由题意可以求出快车的速度就可以求出点B的坐标，由待定系数法求出AB的解析式及OD的解析式就可以求出结论；（3）根据（2）的结论，由待定系数法求出求出直线BC的解析式和直线EF的解析式，再由一次函数与一元一次方程的关系建立方程就可以求出结论．解：（1）由题意，得解答：慢车的速度为：480÷（9﹣1）=60千米/时， ∴a=60×（7﹣1）=360．答：慢车的行驶速度为60千米/时和a=360千米；（2）由题意，得 5×60=300， ∴D（5，300），设yOD=k1x，由题意，得 300=5k1， ∴k1=60， ∴yOD=60x． ∵快车的速度为：（480+360）÷7=120千米/时． ∴480÷120=4小时． ∴B（4，0），C（8，480）．设yAB=k2x+b，由题意，得，解得：，∴yAB=﹣120x+480 ∴，解得：．∴480﹣160=320千米．答：快车与慢车第一次相遇时，距离甲地的路程是320千米；（3）设直线BC的解析式为yBC=k3x+b3，由题意，得，解得：，∴yBC=120x﹣480；设直线EF的解析式为yEF=k4x+b4，由题意，得，解得：，∴yEF=60x﹣60．当60x﹣（﹣120x+480）=200时，解得：x= 当60x﹣（﹣120x+480）=﹣200时解得：x= ；；当120x﹣480﹣（60x﹣60）=200时，解得：x= ＞9（舍去）．当120x﹣480﹣（60x﹣60）=﹣200时解得：x= ＜4（舍去）；当120x﹣480﹣60x=﹣200时解得：x= ．综上所述：两车出发小时、小时或小时时，两车相距的路程为200千米．点评：本题考查了行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．　26．（8分）（2014•牡丹江）如图，在等边△ABC中，点D在直线BC上，连接AD，作∠ADN =60°，直线DN交射线AB于点E，过点C作CF∥AB交直线DN于点F．（1）当点D在线段BC上，∠NDB为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD；（提示：过点F作FM∥BC交射线AB于点M．）（2）当点D在线段BC的延长线上，∠NDB为锐角时，如图②；当点D在线段CB的延长线上，∠NDB为钝角时，如图③，请分别写出线段CF，BE，CD之间的数量关系，不需要证明；（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则BE=　8　，CD=　4或8　．全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．（1）通过△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因为通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM=CF，从而证得CF+BE=CD；考点：分析：（2）作FM∥BC，得出四边形BCFM是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA即可求得，（3）根据△ABC的面积可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，图②CD=4图3CD=8，（1）证明：如图①，过点F作FM∥BC交射线AB于点M，解答： ∵CF∥AB， ∴四边形BMFC是平行四边形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC，在△MEF与△CDA中，，∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF．（2）如图②，CF+CD=BE，如图3，CF﹣CD=BE；（3）如图②图③，BE=8，CD=4或8．点评：本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半等．　27．（10分）（2014•牡丹江）某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题：（1）该工厂有哪几种生产方案？（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．考点：分析：（1）设生产A型号产品x件，则生产B型号产品（80﹣x）件，根据原材料的数量与每件产品的用量建立不等式组，求出其解即可；（2）设所获利润为W元，根据总利润=A型号产品的利润+B型号产品的利润建立W与 x之间的函数关系式，求出其解即可；（3）根据（2）的结论，设购买甲种原料m千克，购买乙种原料n千克，建立方程，根据题意只有n最小，m最大才可以得出m+n最大得出结论．解：（1）设生产A型号产品x件，则生产B型号产品（80﹣x）件，由题意，得解答：，解得：38≤x≤40． ∵x为整数， ∴x=38，39，40， ∴有3种购买方案：方案1，生产A型号产品38件，生产B型号产品42件；方案2，生产A型号产品39件，生产B型号产品41件；方案3，生产A型号产品40件，生产B型号产品40件．（2）设所获利润为W元，由题意，得 W=35x+25（80﹣x）， w=10x+2000， ∴k=10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x=40时．W最大=2400元． ∴生产A型号产品40件，B型号产品40件时获利最大，最大利润为2400元．（3）设购买甲种原料m千克，购买乙种原料n千克，由题意，得 40m+60n=2400 2m+3n=120． ∵m+n要最大， ∴n要最小． ∵m≥4，n≥4， ∴n=4． ∴m=9． ∵购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．点评：本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，一次函数的解析式的运用，二元一次不定方程的解法的运用．解答时由一次函数的解析式求解时关键．　28．（10分）（2014•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点 A，B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C，D，AB与CD相交于点E，线段OA，OC的长是一 3元二次方程x2﹣18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO= （1）求点A，C的坐标；．4k（2）若反比例函数y= 的图象经过点E，求k的值； x（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一次函数综合题．考点：分析：（1）先求出一元二次方程x2﹣18x+72=0的两根就可以求出OA，OC的值，进而求出点A，C的坐标；（2）先由勾股定理求出AB的值，得出AE的值，如图1，作EM⊥x轴于点M，由相似三角形的现在就可以求出EM的值，AM的值，就可以求出E的坐标，由待定系数法就可以求出结论；（3）如图2，分别过C、E作CE的垂线交坐标轴三个点P1、P3、P4，可作出三个Q点，过E点作x轴的垂线与x轴交与p2，即可作出Q2，以CE为直径作圆交于y轴两个点P5 、P6，使PC⊥PE，即可作出Q5、Q6．解：（1）∵x2﹣18x+72=0 ∴x1=6，x2=12．解答： ∵OA＞OC， ∴OA=12，OC=6． ∴A（12，0），C（﹣6，0）； 3（2）∵tan∠ABO= ，43∴∴=，4，∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB= =20． ∵BE=5， ∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M， ∴EM∥OB． ∴△AEM∽△ABO， ∴∴，，∴EM=12，AM=9， ∴OM=12﹣9=3． ∴E（3，12）． k∴12= ，3∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，如图2所示， x轴的下方的Q4（10，﹣12），Q6（﹣3，6﹣3 ）；如图①∵E（3，12），C（﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴EG2=CG•GP， ∴GP=16， ∵△CPE与△PCQ是中心对称， ∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10， ∴Q（10，﹣12），如图②∵E（3，12），C（﹣6，0）， ∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=9，可以求得PH=3 ﹣6， ∴Q（﹣3，6﹣3 ），点评：本题考查了一次函数的交点坐标的求法以及勾股定理的运用，三角函数的应用，三角形相似对应边成比例等．