2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷（含解析版）

2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．（3分）（2014•大庆）下列式子中成立的是（　　） ﹣|﹣4|=4 ﹣|﹣5|＞4 ﹣3＜|﹣3| |﹣5.5|＜5 　A． B． C． D． 2．（3分）（2014•大庆）大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应为（　　）吨． 4.5×10﹣6 678　A． B． C． 4.5×10 D． 4.5×10 4.5×10 3．（3分）（2014•大庆）已知a＞b且a+b=0，则（　　） b≤0 　A．a＜0 B．b＞0 C． D．a＞0 4．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（　　）　A． B． C． D． 5．（3分）（2014•大庆）下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；[来源:学,科,网Z,X,X,K] （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（　　）　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（3分）（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）　A． B． C． D． 7．（3分）（2014•大庆）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11. 4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）　A．5.5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里 8．（3分）（2014•大庆）已知反比例函数的图象 2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（　　）上有两点A（x1，y1）、B（x2，y 负数　A．正数 B． C．非正数 D．不能确定 9．（3分）（2014•大庆）如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2，0 ，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点 M（a，b）落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是（　　）　A． B． C． D． 10．（3分）（2014•大庆）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B 两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（　　） |AB|≥‖AB‖ |AB|≤‖AB‖ 　A． B．|AB|＞‖AB‖ C． D．|AB|＜‖AB‖ 　二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（3分）（2014•大庆）若，则xy﹣3的值为　． 12．（3分）（2014•大庆）某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9，最后一组的频数是15，则此次抽样调查的人数为　人．（注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值） 13．（3分）（2014•大庆）二元一次方程组 14．（3分）（2014•大庆）的解为　　． =　． 15．（3分）（2014•大庆）图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为　． 16．（3分）（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为　． 17．（3分）（2014•大庆）如图，矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF 上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB= 　． 18．（3分）（2014•大庆）有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0 ，1，…，则第9个1在这列数中是第个数．　三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）（2014•大庆）计算：．科网] 20．（4分）（2014•大庆）求不等式组的整数解． 21．（4分）（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值． 22．（7分）（2014•大庆）如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC 上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．　23．（7分）（2014•大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．（1）求一次函数的表达式；（2）求反比例函数的表达式． 24．（7分）（2014•大庆）甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：（1）请根据下图填写如表：平均数 75 方差中位数众数　　极差　15 甲乙　75 　33.3 　（2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析： ①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？ 25．（7分）（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．　26．（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB 与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．　27．（9分）（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边 AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°﹣cos72°的值．　28．（9分）（2014•大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD ，∠ADC=60°，设AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是 AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．　2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1．（3分）（2014•大庆）下列式子中成立的是（　　） ﹣|﹣4|=4 ﹣|﹣5|＞4 ﹣3＜|﹣3| |﹣5.5|＜5 D．　A．分析：B． C．先对每一个选项化简，再进行比较即可．解：A．﹣|﹣5|=﹣5＜4，故A选项错误； B．|﹣3|=3＞﹣3，故B选项正确； C．﹣|﹣4|=﹣4≠4，故C选项错误； D．|﹣5.5|=5.5＞5，故D选项错误；故选B．解答：点评本题考查了有理数的大小比较，化简是本题的关键．：　2．（3分）（2014•大庆）大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应为（　　）吨． 4.5×10﹣6 678　A． B． C． D． 4.5×10 4.5×10 4.5×10 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有考点：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于4 500万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．分析：解：4 500万=45 000 000=4.5×107．故选C．解答：点评此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．：　3．（3分）（2014•大庆）已知a＞b且a+b=0，则（　　） b≤0 　A．a＜0 B．b＞0 C． D．a＞0 考点有理数的加法．菁优网版权所有：专题：计算题．根据互为相反数两数之和为0，得到a与b互为相反数，即可做出判断．分析：解答解：∵a＞b且a+b=0，：∴a＞0，b＜0，故选D．点评此题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键．：　4．（3分）（2014•大庆）如图中几何体的俯视图是（　　）　A． B． C． D．简单组合体的三视图．菁优网版权所有考点：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．分析：解：从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．故选A．解答：点评本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．：　5．（3分）（2014•大庆）下列四个命题：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；[来源:学,科,网Z,X,X,K] （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题个数有（　　）　A．4个 B．3个 C．2个 D．1个命题与定理；平行四边形的判定．菁优网版权所有考点：分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．分析：解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形，此选项正确；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此选项正确．故选：A．解答：点评此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．：　6．（3分）（2014•大庆）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　）　A． B． C． D．旋转的性质；正方形的性质．菁优网版权所有考点：连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠ 分析：DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．解：连接AC1，解答：∵四边形AB1C1D1是正方形， ∴∠C1AB1= ×90°=45°=∠AC1B1， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1， ∴∠B1AB=45°， ∴∠DAB1=90°﹣45°=45°， ∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1= =，则DC1= ﹣1， ∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°， ∴∠C1OD=45°=∠DC1O， ∴DC1=OD= ﹣1， ∴S△ADO= ×OD•AD= ，∴四边形AB1OD的面积是=2× 故选C． =﹣1，点评本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．：　7．（3分）（2014•大庆）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11. 4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　）　A．5.5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里一元一次方程的应用．菁优网版权所有考点：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据起步价5元，到达目的地后共支付车费11元分析：得出等式求出即可．解：设人坐车可行驶的路程最远是xkm，根据题意得： 5+1.6（x﹣3）=11.4，解答：解得：x=7．观察选项，只有B选项符合题意．故选：B．点评此题主要考查了一元一次方程的应用，根据总费用得出等式是解题关键．：　8．（3分）（2014•大庆）已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y 2），若y1＞y2，则x1﹣x2的值是（　　）负数　A．正数 B． C．非正数 D．不能确定反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有考点：由于点A、B所在象限不定，那么自变量的值大小也不定，则x1﹣x2的值不确定．分析：解答：解：∵反比例函数的图象的图象在二、四象限， ∴当点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在第二象限时，由y1＞y2，则x1﹣x2＞0；当点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在第四象限时，由y1＞y2，则x1﹣x2＞0；当点A（x1，y1）在第二象限、B（x2，y2）在第四象限时，即y1＞0＞y2，则x1﹣x2 ＞0；故选A．点评本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只：　指在同一象限内． 9．（3分）（2014•大庆）如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2，0 ，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点 M（a，b）落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是（　　）　A． B． C． D．列表法与树状图法．菁优网版权所有考点：首先列举出所有可能的结果，再找出落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的可能情况，根据古典概型概率公式得到结果即可．分析：解：列举出事件：（﹣2，1），（﹣2，0），（﹣2，2），（0，﹣2），（0，1），（0，2），（1，2），（1，0），（1，﹣2），（2，﹣2），（2，0），（2，1 ）共有12种结果，解答：而落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）有：（﹣2，0），（0，1），（0，2），（1，0），（2，0），（﹣1，0）共6中可能情况，所以落在以A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2）为顶点的三角形内（包含边界）的概率是= =，故选C．点评本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．：　10．（3分）（2014•大庆）对坐标平面内不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2），用|AB|表示A、B两点间的距离（即线段AB的长度），用‖AB‖表示A、B两点间的格距，定义A、B 两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则|AB|与‖AB‖的大小关系为（　　） |AB|≥‖AB‖ |AB|≤‖AB‖ 　A． B．|AB|＞‖AB‖ C． D．|AB|＜‖AB‖ 线段的性质：两点之间线段最短；坐标与图形性质．菁优网版权所有考点：专题新定义．：根据点的坐标的特征，|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答．分析：解：∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，[来源:Zxxk.Com] 解答：∴|AB|≤‖AB‖．故选C．点评本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，理解平面直角坐标系的特征，判断出三角形的三边关系是解题的关键．：　二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（3分）（2014•大庆）若，则xy﹣3的值为　0.5　．非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；负整数指数幂．菁优网版权所有考点：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．分析：解答：解：∵ ∴，，解得，∴xy﹣3=22﹣3= ．点评本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．：　12．（3分）（2014•大庆）某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间（单位：分钟）后，绘制了频数分布直方图，从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9，最后一组的频数是15，则此次抽样调查的人数为　150　人．（注：横轴上每组数据包含最小值不包含最大值）频数（率）分布直方图．菁优网版权所有考点：根据直方图中各组的频率之和等于1，结合题意可得最后一组的频率，再由频率的计分析算公式可得总人数，即答案．：解：由题意可知：最后一组的频率=1﹣0.9=0.1，则由频率=频数÷总人数可得：总人数=15÷0.1=150人；故答案为：150．解答：点评本题考查了频数分布直方图的知识，解题的关键是牢记公式：频率=频数÷总人数．：　13．（3分）（2014•大庆）二元一次方程组的解为　　．解二元一次方程组．菁优网版权所有计算题．考点：专题：方程组利用加减消元法求出解即可．分析：解答：解：，①×3﹣②×2得：11x=33，即x=3，将x=3代入②得：y=2，则方程组的解为．故答案为：．点评此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与：　加减消元法． 14．（3分）（2014•大庆） =　．考点整式的混合运算．菁优网版权所有：专题：计算题．分析：先把（x+ ）提，再把4×2﹣1分解，然后约分即可．解答：解：原式= （2x+1）（2x﹣1）÷[（2x﹣1）（2x+1）] = ．故答案为．点评本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．：　15．（3分）（2014•大庆）图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的，则直线l对应的一次函数关系式为　y=x﹣2　．一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有考点：先求得图中直线方程，然后利用平移的性质来求直线l的解析式．分析：解：如图，设该直线的解析式为y=kx+1（k≠0），则 0=﹣k+1，解答：解得 k=1．则该直线的解析式为y=x+1． ∵图中直线是由直线l向上平移1个单位，向左平移2个单位得到的， ∴由该直线向下平移1个单位，向右移2个单位得到的直线l， ∴直线l的解析式为：y=x+1﹣1﹣2=x﹣2，．故答案是：y=x﹣2．点评本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．：　16．（3分）（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为　2　．考点垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有：先由直径是圆中最长的弦得出BD=4，再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD，则四边形ABCD的面积= AC•BD．分析：解：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD， ∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，解答：∴四边形ABCD的面积= AC•BD= ×1×4=2．故答案为2．点评本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中．得出BD是直径是解题的关键．：　17．（3分）（2014•大庆）如图，矩形ABCD中，AD= ，F是DA延长线上一点，G是CF 上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=　．矩形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．菁优网版权所有考点：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣ ∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得A C=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°， ∵∠ACG=∠AGC，分析：解答：∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°， ∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°， ∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2 ，由勾股定理，AB= ==．故答案为：．点评本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题的关键．：　18．（3分）（2014•大庆）有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0 ，1，…，则第9个1在这列数中是第　45　个数．规律型：数字的变化类．菁优网版权所有考点：专题规律型．：根据两个1之间的0的个数分别为1、2、3…个，然后把0的个数相加再加上9，计算即可得解．分析：解：∵两个1之间的0的个数分别为1、2、3…， ∴到第9个1，0的个数为：1+2+3+4+5+6+7+8=36， ∴第9个1在这列数中是第36+9=45个数．故答案为：45．解答：点评本题是对数字变化规律的考查，观察出两个1之间的0的个数是从1开始的连续的自然数是解题的关键．：　三、解答题（本大题共10小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）（2014•大庆）计算：．实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有考点：专题计算题．：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果．分析：解：原式=1+1+ ﹣2= ．解答：点评此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　[来源:学科网] 20．（4分）（2014•大庆）求不等式组的整数解．一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有考点：此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．分析：解答：解：，解①得：x＜，解②得：x≥﹣1，则不等式组的解集是：﹣1≤x＜．则整数解是：﹣1，0，1．点评本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．：　21．（4分）（2014•大庆）已知非零实数a满足a2+1=3a，求的值．考点分式的混合运算．菁优网版权所有：专题：计算题．分析：已知等式两边除以a变形后求出a+ 的值，两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．解答：解：∵a2+1=3a，即a+ =3， ∴两边平方得：（a+ ）2=a2+ +2=9，则a2+ =7．点评此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　22．（7分）（2014•大庆）如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC 上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有考点：专题证明题．：在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．分析：解：如图所示：在AB上截取ME=BN， ∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°， ∴∠DME=∠BND，解答：在△BND与△EMD中，，∴△BND≌△EMD（SAS）， ∴∠DBN=∠MED，BD=DE， ∴∠MBD=∠MED， ∴∠MBD=∠DBN， ∴BD平分∠ABC．点评本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．：　23．（7分）（2014•大庆）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （m，n），连结OB．若S△AOB=6，S△BOC=2．（1）求一次函数的表达式；（2）求反比例函数的表达式．反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有考点：专题计算题．：分析：（1）由S△AOB=6，S△BOC=2得S△AOC=4，根据三角形面积公式得 •2•OC=4，解得O C=4，则C点坐标为（0，4），然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）由S△BOC=2，根据三角形面积公式得到 ×4×m=2，解得m=1，则B点坐标为（1 ，6），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式．解：（1）∵S△AOB=6，S△BOC=2， ∴S△AOC=4，解答：∴ •2•OC=4，解得OC=4， ∴C点坐标为（0，4），设一次函数解析式为y=mx+n，把A（﹣2，0），C（0，4）代入得，解得，∴一次函数解析式为y=2x+4；（2）∵S△BOC=2， ∴ ×4×m=2，解得m=1， ∴B点坐标为（1，6），把B（1，6）代入y= 得k=1×6=6， ∴反比例函数解析式为y= ．点评本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．：　24．（7分）（2014•大庆）甲、乙两名同学进入初四后，某科6次考试成绩如图：（1）请根据下图填写如表：平均数方差中位数众数　125　 75 　75　35　　72.5　70　 15 极差甲乙75 　75　 33.3 （2）请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析： ①从平均数和方差相结合看；②从折线图上两名同学分数的走势上看，你认为反映出什么问题？折线统计图；算术平均数；中位数；极差；方差．菁优网版权所有考点：（1）分别根据平均数、方差的求解进行计算，中位数的定义，众数的定义以及极差的定义解答；分析：（2）根据方差的意义以及折线统计图的意义解答．解答：解：（1）甲：方差= [（60﹣75）2+（65﹣75）2+（75﹣75）2+（75﹣75）2+（80 ﹣75）2+（95﹣75）2 = （225+100+0+0+25+400） =125，众数：75，极差：95﹣60=35；乙：平均数= （85+70+70+75+70+80）=75，中位数：（70+75）=72.5，众数：70；故答案为：125，75，35；75，72.5，70；（2）①从平均数和方差相结合看，乙同学成绩更稳定； ②从折线图上两名同学分数的走势上看，甲同学进步较快，乙同学成绩稳定有小幅度下滑．点评本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．：　25．（7分）（2014•大庆）关于x的函数y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有考点：需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数两种情况．分析：解：①当m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1时，该函数是一次函数，则其图象与x轴只有一个公共点；解答：②当m2﹣1≠0，即m≠±1时，该函数是二次函数，则 △=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，解得 m=3，m=﹣1（舍去）．综上所述，m的值是1或3．点评本题考查了抛物线与x轴的交点．注意一定要分类讨论，以防漏解．：　26．（8分）（2014•大庆）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB 与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．菁优网版权所有考点：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；分析：（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠ AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．解答解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，：∴∠C=∠D， ∴CB∥PD；（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°， ∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， ∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°， ∴劣弧AC的长为： =．点评本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．：　27．（9分）（2014•大庆）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边 AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°﹣cos72°的值．相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；黄金分割；解直角三角形．菁优网版权所有考点：专题计算题．：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠ DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；分析：（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．解答解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，：∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，[来源:学科网ZXXK] ∴AD=BD， ∵BD=BC， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC∽△BCD， ∴=，即 = ，整理得：x2+x﹣1=0，解得：x1= ，x2= （负值，舍去），则x= ；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E， ∵BD=CD， ∴E为CD中点，即DE=CE= ，在Rt△ABE中，cosA=cos36°= ===，在Rt△BCE中，co sC=cos72°= =，则cos36°﹣cos72°= ﹣=．点评此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．：　28．（9分）（2014•大庆）如图①，已知等腰梯形ABCD的周长为48，面积为S，AB∥CD ，∠ADC=60°，设AB=3x．（1）用x表示AD和CD；（2）用x表示S，并求S的最大值；（3）如图②，当S取最大值时，等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上，点E和点F分别是 AB和CD的中点，求⊙O的半径R的值．圆的综合题．菁优网版权所有考点：专题综合题．：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，易得四边形AHGB为矩形，则HG=AB =3x，再根据等腰梯形的性质得AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t，根据含 30度的直角三角形三边的关系得AD=2t，AH= t，然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x，于是可得AD=18﹣2x，CD=16+x；（2）根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2 x2+8 x+64 ，再进行配方得S=﹣ 分析：2（x﹣2）2+72 ，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）连结OA、OD，如图②，由（2）得到x=2时，则AB=6，CD=18，等腰梯形的高为6 ，所以AE=3，DF=9，由于点E和点F分别是AB和CD的中点，根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴，所以EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6 ，根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，设OE=a，则OF=6 ﹣a，在Rt△AOE中，利用勾股定理得a2+32=R2，在Rt△ODF中，利用勾股定理得（6 ﹣a）2+92=R2，然后消去R得到a的方程a2+32= （6 ﹣a）2+92，解得a=5 ，最后利用R2=（5 ）2+32求解．解：（1）作AH⊥CD于H，BG⊥CD于G，如图①，则四边形AHGB为矩形，解答：∴HG=AB=3x， ∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AD=BC，DH=CG，在Rt△ADH中，设DH=t， ∵∠ADC=60°， ∴∠DAH=30°， ∴AD=2t，AH= t， ∴BC=2t，CG=t， ∵等腰梯形ABCD的周长为48， ∴3x+2t+t+3x+t+2t=48，解得t=8﹣x， ∴AD=2（8﹣x）=18﹣2x， CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x；（2）S= （AB+CD）•AH = （3x+16+x）• （8﹣x） =﹣2 x2+8 x+64 ，∵S=﹣2 （x﹣2）2+72 ，；∴当x=2时，S有最大值72 （3）连结OA、OD，如图②，当x=2时，AB=6，CD=16+2=18，等腰梯形的高为 ×（8﹣2）=6 则AE=3，DF=9，，∵点E和点F分别是AB和CD的中点， ∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴， ∴EF垂直平分AB和CD，EF为等腰梯形ABCD的高，即EF=6 ∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上，，设OE=a，则OF=6 ﹣a，在Rt△AOE中， ∵OE2+AE2=OA2， ∴a2+32=R2，在Rt△ODF中， ∵OF2+DF2=OD2， ∴（6 ﹣a）2+92=R2， ∴a2+32=（6 ﹣a）2+92，解得a=5 ∴R2=（5 ）2+32=84，，∴R=2 ．点评本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质；会运用二次函数的性质解决最值问题；熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算．：