2014年湖南省娄底市中考数学试卷（含解析版）

2014年湖南省娄底市中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里） 1．（3分）（2014•娄底）2014的相反数是（　　） ﹣2014 　A． B． C．2014 D． D． ﹣2．（3分）（2014•娄底）下列运算正确的是（　　） 236339224632　A． B． C． x +x =x x •x =x 3．（3分）（2014•娄底）函数 y= x≥﹣2 （x ） =x x ÷x =x 中自变量x的取值范围为（　　） x≤﹣2 x≥0 x≥2 　A． B． C． D． D． 4．（3分）（2014•娄底）方程组的解是（　　）　A． B． C． 5．（3分）（2014•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　A． B． C． D． 6．（3分）（2014•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（　　）　A．外切 B．相交 C．内切 D．外离 7．（3分）（2014•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值 90 96 89 90 91 85 90 “分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　）　A．89，90 B．90，90 C．88，95 8．（3分）（2014•娄底）下列命题中，错误的是（　　） D．90，95 平行四边形的对角线互相平分菱形的对角线互相垂直平分　A．　B．　C．　D．矩形的对角线相等且互相垂直平分角平分线上的点到角两边的距离相等 9．（3分）（2014•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（　　） 40° 45° 50° 60° D．　A． B． C． 10．（3分）（2014•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（　　）　A． B． C． D．　二、细心填一填，一锤定音（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 11．（3分）（2014•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000个，75100000用科学记数法表示为　． 12．（3分）（2014•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为　．13．（3分）（2014•娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为　． 14．（3分）（2014•娄底）不等式组的解集为　． 15．（3分）（2014•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　　（添加一个条件即可）． 16．（3分）（2014•娄底）如图，M为反比例函数y= 的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为　． 17．（3分）（2014•娄底）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为　m． 18．（3分）（2014•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是． 19．（3分）（2014•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由　个▲组成． 20．（3分）（2014•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点， △BCD的周长为18，则△DEO的周长是．　三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题8分，满分24分） 21．（8分）（2014•娄底）先化简 ÷（1﹣ ），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．　22．（8分）（2014•娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45） 23．（8分）（2014•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分） 24．（8分）（2014•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分） 25．（8分）（2014•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接 AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分） 26．（10分）（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B 22（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x1 +x2 +x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 27．（10分）（2014•娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？　2014年湖南省娄底市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里） 1．（3分）（2014•娄底）2014的相反数是（　　） ﹣2014 　A． B． C．2014 D． ﹣考点相反数．：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．分析：解：2014的相反数是﹣2014，故选：A．解答：点评本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．：　2．（3分）（2014•娄底）下列运算正确的是（　　） 236339224632　A． B． C． D． x ÷x =x x •x =x （x ） =x x +x =x 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．考点：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：分析：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误； B、（x3）3=x9，故原题计算正确； C、x2+x2=2×2，故原题计算错误； D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．解答：点评此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．：　3．（3分）（2014•娄底）函数 y= 中自变量x的取值范围为（　　） x≤﹣2 x≥﹣2 x≥0 x≥2 　A． B． C． D．函数自变量的取值范围．考点：专题：压轴题；函数思想．本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意分析：义，被开方数是非负数即可求解．解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．解答：故选C．点评考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．：　4．（3分）（2014•娄底）方程组的解是（　　）　A． B． C． D．解二元一次方程组．考点：用加减法解方程组即可．分析：解答：解：，（1）+（2）得， 3x=6， x=2，把x=2代入（1）得，y=﹣1， ∴原方程组的解．故选D．点评此题考查二元一次方程组的解法．：　5．（3分）（2014•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）　A． B． C． D．中心对称图形；轴对称图形考点：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．分析：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．解答：点评此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．：　6．（3分）（2014•娄底）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（　　）　A．外切 B．相交 C．内切 D．外离圆与圆的位置关系．考点：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为分析：d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d， ∴两圆外切．解答：故选A．点评本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．：　7．（3分）（2014•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：组别一二三四五六七分值 90 96 89 90 91 85 90 “分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　）　A．89，90 B．90，90 C．88，95 D．90，95 考点众数；中位数：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可分析：．解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；解答：90出现了3次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．点评此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是：一组数据中出现次数最多的数． 8．（3分）（2014•娄底）下列命题中，错误的是（　　）　平行四边形的对角线互相平分菱形的对角线互相垂直平分　A．　B．　C．　D．矩形的对角线相等且互相垂直平分角平分线上的点到角两边的距离相等命题与定理．考点：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断．解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．故选C．分析：解答：点评本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．：　9．（3分）（2014•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（　　） 40° 45° 50° 60° D．　A． B． C．平行线的性质．考点：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2的度数．分析：解答解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，：∴∠3=50°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．：　10．（3分）（2014•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（　　）　A． B． C． D．一次函数的图象．考点：首先根据k的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．分析：解答解：∵k＜0， ∴﹣k＞0，：∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．：　二、细心填一填，一锤定音（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 11．（3分）（2014•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000个，75100000用科学记数法表示为　7.51×107　．科学记数法—表示较大的数．考点：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将75100000用科学记数法表示为7.51×107．分析：解答：故答案为：7.51×107．点评此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a| ＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．：　12．（3分）（2014•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为　55　．代数式求值考点：专题图表型．：根据运算程序列式计算即可得解．分析：解：由图可知，输入的值为3时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．解答：点评本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．：　13．（3分）（2014•娄底）已知关于x的方程2x+a﹣5=0的解是x=2，则a的值为　1　．考点一元一次方程的解：分析把x=2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解：解：把x=2代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．解答：故答案是：1．点评本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．：　14．（3分）（2014•娄底）不等式组的解集为　2＜x≤5　．解一元一次不等式组考点：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．分析：解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．：　15．（3分）（2014•娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是　 ∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）　（添加一个条件即可）．矩形的判定；平行四边形的性质考点：专题开放型．：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．分析：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形解答：故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．：　16．（3分）（2014•娄底）如图，M为反比例函数y= 的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为　4　．反比例函数系数k的几何意义．计算题．考点：专题：分析：根据反比例函数比例系数k的几何意义得到 |k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．解：∵MA垂直y轴，解答：∴S△AOM= |k|， ∴ |k|=2，即|k|=4，而k＞0， ∴k=4．故答案为4．点评本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．：　17．（3分）（2014•娄底）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为　9　m．相似三角形的应用．考点：根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．分析：解：由题意得，CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB，解答：∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．：　18．（3分）（2014•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是　．考点概率公式．：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．分析：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），解答：∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．：　19．（3分）（2014•娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由　3n+1　个▲组成．规律型：图形的变化类．考点：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解：观察发现：分析：解答：第一个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10个三角形； …第n个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1个三角形；故答案为：3n+1．点评考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的：．　20．（3分）（2014•娄底）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点， △BCD的周长为18，则△DEO的周长是　9　．平行四边形的性质；三角形中位线定理．考点：分析：根据平行四边形的性质得出DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出OE= CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO= （BC+DC+BD），代入求出即可．解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形， ∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，解答：∴OE= CD， ∵△BCD的周长为18， ∴BD+DC+B=18， ∴△DEO的周长是DE+OE+DO= （BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE= ：BC，DO= BD，OE= DC．　三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3道小题，每小题8分，满分24分） 21．（8分）（2014•娄底）先化简 ÷（1﹣ ），再从不等式2x﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．计算题．考点：专题：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x的值，代入计算即可求出值．分析：解答：解：原式= ÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1时，原式= ．点评此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　22．（8分）（2014•娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈2.45）解直角三角形的应用-方向角问题考点：先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解：过点C作CP⊥AB于P，分析：解答：∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF， ∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°， ∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时， ∴BC=90， ∵BC2=BP2+CP2， ∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°， ∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15 +45 =15×2.45+45×1.41≈100（km）．答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．点评本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．：　23．（8分）（2014•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．折线统计图；扇形统计图数形结合．考点：专题：（1）用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数50分别减去A、C、D等级的人数得到B等级的人数，然后画出折线统计图；分析：（3）用360°乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数．解答解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50个学生进行调查；（2）B等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；：（3）图乙中B等级所占圆心角的度数=360°× =144°．点评本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．：　四、综合用一用，马到成功（本大题共1道小题，满分8分） 24．（8分）（2014•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？分式方程的应用．考点：（1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.5xkm/h，根据“小刘比张晚出发1小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；分析：（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1.5xkm/h，由题意得解答：﹣=1 解得x=60，则1.5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km 答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．点评此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．：　五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1道小题，满分8分） 25．（8分）（2014•娄底）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接 AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．切线的性质；全等三角形的判定与性质考点：分析（1）根据AB，CD是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL定理得出△ABD≌ ：△CDB；（2）由BE是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC 的度数．（1）证明：∵AB，CD是直径， ∴∠ADB=∠CBD=90°，解答：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD和△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线， ∴AB⊥BE， ∴∠ABE=90°， ∵∠DBE=37°， ∴∠ABD=53°， ∵OA=OD， ∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°， ∴∠ADC的度数为37°．点评本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．：　六、探究试一试，超越自我（本大题共2道小题，每小题10分，满分20分） 26．（10分）（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B 22（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x1 +x2 +x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．二次函数综合题．考点：22分析：（1）利用根与系数的关系，等式x1 +x2 +x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，解答：∵x1+x2+x1x2=7， ∴（x1+x2）2﹣x1x2=7， ∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3， ∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意 ∴m=﹣2 抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）能如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．若∠POC=∠PCO 则PD应是线段OC的垂直平分线 ∵C的坐标为（0，﹣3） ∴D的坐标为（0，﹣ ） ∴P的纵坐标应是﹣ 令x2﹣2x﹣3= ，解得，x1= 因此所求点P的坐标是（，x2= ，﹣ ），（，﹣ ）点评本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识．：　27．（10分）（2014•娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？相似形综合题考点：分析：（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出 =，从而求出AB，再根据 =，得出PH=3﹣ t，则△AQP的面积为： AQ•PH= t（3﹣ t），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC， =，求出AE=﹣ t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE= QC得出﹣ t+4=﹣ t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PD=﹣ t+3，与（2）同理得：QD=﹣ t+4，从而求出PQ= ，在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即 =t，③当PQ=AP，即 =5﹣t，再分别计算即可．解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C=90°，解答：∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， ∴=，∵AC=4cm，BC=3cm， ∴AB=5cm， ∴=，∴PH=3﹣ t， ∴△AQP的面积为： S= ×AQ×PH= ×t×（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，∴当t为秒时，S最大值为 cm2．（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC， ∴△APE∽△ABC， ∴=，∴AE= ==﹣ t+4 QE=AE﹣AQ═﹣ t+4﹣t=﹣ t+4， QE= QC= （4﹣t）=﹣ t+2， ∴﹣ t+4=﹣ t+2，解得：t= ，∵0＜＜4， ∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是 s；（3）由（1）知， PD=﹣ t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣ t+4 ∴PQ= ==，在△APQ中， ①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1= ； ②当PQ=AQ，即 ③当PQ=AP，即 =t时，解得：t2= ，t3=5； =5﹣t时，解得：t4=0，t5= ；∵0＜t＜4， ∴t3=5，t4=0不合题意，舍去， ∴当t为 s或 s或 s时，△APQ是等腰三角形．点评此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．：