2014年浙江省宁波市中考数学试卷（含解析版）下载

2014年浙江省宁波市中考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求） 1．（4分）（2014•宁波）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（　　） ﹣1 　A．0 B． C． D．2 2．（4分）（2014•宁波）宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元，其 中253.7亿用科学记数法表示为（　　）【版权所有：21教育】 8910 11 　A． B． C． D． 2.537×10 253.7×10 25.37×10 2.537×10 3．（4分）（2014•宁波）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（　　 ）　A． B． C． D． 4．（4分）（2014•宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千 克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（　　 ）　A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 5．（4分）（2014•宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是 （　　） 6π 8π 12π 16π D． 　A． B． C． 6．（4分）（2014•宁波）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　 ）　A．10 B．8 C．6 D．5 7．（4分）（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（　　） 　A． B． C． D． 8．（4分）（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB= 2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（　）21教育名师原创作品 　A．2：3 B．2：5 C．4：9 D． ：9．（4分）（2014•宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时 必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（　）21*cnjy*com b=﹣1 b=﹣2 　A． B．b=2 C． D．b=0 *10．（4分）（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱 锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（　） 　A．五棱柱 B．六棱柱 C．七棱柱 D．八棱柱 11．（4分）（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（　） 　A．2.5 B． C． D．2 12．（4分）（2014•宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上， 则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　） （﹣3，7） （﹣1，7） （﹣4，10） C． 　A． B． D．（0，10） 　二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）（2014•宁波）﹣4的绝对值是　． 14．（4分）（2014•宁波）方程 的根x=　． =15．（4分）（2014•宁波）某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如 图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是　支． 16．（4分）（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两 种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是　 （用a、b的代数式表示）． 　17．（4分）（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟 停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这 个路段最多可以划出　个这样的停车位．（ ≈1.4） 18．（4分）（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分 点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中 两个阴影部分的面积为　 　cm2． 　三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）（2014•宁波）（1）化简：（a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣2ab； （2）解不等式：5（x﹣2）﹣2（x+1）＞3． 　20．（8分）（2014•宁波）作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作 已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结 果如图： （1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数； （2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次； （3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万 车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率（精 确到0.1%）． 　21．（8分）（2014•宁波）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千 米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条 笔直的公路． （1）求改直的公路AB的长； （2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈ 0.60，tan37°≈0.75） 22．（10分）（2014•宁波）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内 ，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函数y= （k＞0）的图象过 CD的中点E． （1）求证：△AOB≌△DCA； （2）求k的值； （3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在 反比例函数的图象上，并说明理由． 　23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0） ，B（0，﹣1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的 值大于二次函数的值． 24．（10分）（2014•宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形 侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利 用） A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面． 现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 25．（12分）（2014•宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的 等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办 到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这 个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标 注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则 视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值； （3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求 出三分线的长． 26．（14分）（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽 可能大的圆形桌面，他设计了四种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的 半圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆 ；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能 大的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ （3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y． ①求y关于x的函数解析式； ②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形 桌面的半径最大． 　2014年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求） 1．（4分）（2014•宁波）下列各数中，既不是正数也不是负数的是（ ）﹣1 　A 0D．2B． C． ．实数；正数和负数． 考点： 分析： 解答： 根据实数的分类，可得答案． 解：0既不是正数也不是负数， 故选：A． 点评： 本题考查了实数，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不 是正数也不是负数． 2．（4分）（2014•宁波）宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元，其 中253.7亿用科学记数法表示为（ 　A ．）910 253.7×108 25.37×10 2.537×1011 D．B． C． 2.537×10 科学记数法—表示较大的数． 考点： 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整 数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位 ，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：253.7亿=253 7000 0000=2.537×1010， 解答： 故选：C． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×1 0n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值． 3．（4分）（2014•宁波）用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ）　A D．B． C． ．翻折变换（折叠问题）． 考点： 分析： 根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一 判断． 解：A．当长方形如A所示对折时，其重叠部分两角的和一个顶 点处小于90°，另一顶点处大于90°，故本选项错误； B．当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故本选项 错误； 解答： C．当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所 以不可能是角的平分线，故本选项错误； D．当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折 痕必是其角的平分线，正确． 故选：D． 点评： 本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折 叠的性质是解答此题的关键． 4．（4分）（2014•宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千 克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（ ）　A D．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 20.3千克 ．正数和负数 根据有理数的加法，可得答案． 考点： 分析： 解答： 解：（﹣0.1﹣0.3+0.2+0.3）+5×4=20.1（千克）， 故选：C． 本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键． 点评： 5．（4分）（2014•宁波）圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积 是（ ）　A 6π ．8π 12π C． D．16π B． 圆锥的计算 计算题． 考点： 专题： 分析： 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底 面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求 解． 解答： 解：此圆锥的侧面积= •4•2π•2=8π． 故选B． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇 点评： 形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 ．6．（4分）（2014•宁波）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 （）　A 10 ．86C． D．5B． 菱形的性质；勾股定理． 考点： 分析： 解答： 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长． 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD， 在Rt△AOB中， 由勾股定理得：AB= ==5， 即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5， 故选D． 点评： 本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、O B的长， 注意：菱形的对角线互相平分且垂直． 7．（4分）（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（ ）　A D．B． C． ．考点： 专题： 分析： 解答： 概率公式 网格型． 找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可． 解：如图，C1，C2，C3，均可与点A和B组成直角三角形． P= ，故选C． 点评： 本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件 的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（ A）= ． 8．（4分）（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2 ，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）　A D．2：3 B．2：5 C．4：9 ：．相似三角形的判定与性质． 考点： 分析： 解答： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ， 得出△ABC与△DCA的面积比= ． 解：∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAC 又∵∠B=∠ACD=90°， ∴△CBA∽△ACD ==，AB=2，DC=3， ∴=== ， ∴= ， ∴COS∠ACB= =， COS∠DAC= =∴∴•= × = ， = ， ∵△ABC与△DCA的面积比= ，∴△ABC与△DCA的面积比= ， 故选：C． 本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是 点评： 明确△ABC与△DCA的面积比= ．9．（4分）（2014•宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时 必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ 　A b=2 ）Db=0 b=﹣1 B． C．b=﹣2 ．．命题与定理；根的判别式 常规题型． 考点： 专题： 先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得 到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例． 分析： 解答： 解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没 有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题． 故选A． 点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许 多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论 是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形 式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定 理．也考查了根的判别式． 10．（4分）（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱 锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）　A D．五棱柱 B．六棱柱 C．七棱柱 八棱柱 ．认识立体图形 考点： 分析： 根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有 9条棱，共9+9=18条棱，然后分析四个选项中的棱柱棱的条数可 得答案． 解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=1 8条棱， 解答： A、五棱柱共15条棱，故此选项错误； B、六棱柱共18条棱，故此选项正确； C、七棱柱共21条棱，故此选项错误； D、九棱柱共27条棱，故此选项错误； 故选：B． 点评： 此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状 ．11．（4分）（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC =1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）　A 2.5 ．D．2B． C． 直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理． 连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45° ，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 解：如图，连接AC、CF， 考点： 分析： 解答： ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3， ∴AC= ，CF=3 ，∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°， 由勾股定理得，AF= ∵H是AF的中点， ==2 ，∴CH= AF= ×2 故选B． =．点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角 三角形是解题的关键． 12．（4分）（2014•宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上， 则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ （﹣3，7） （﹣1，7） ）（﹣4，10） 　A DB． C． （0，10） ．．二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称． 把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后 根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出 抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上， ∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab， a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab， 考点： 分析： 解答： （a+2）2+4（b﹣1）2=0， ∴a+2=0，b﹣1=0， 解得a=﹣2，b=1， ∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4， 2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10， ∴点A的坐标为（﹣4，10）， ∵对称轴为直线x=﹣ =﹣2， ∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）． 故选D． 点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性 ，坐标与图形的变化﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并 整理成非负数的形式是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）（2014•宁波）﹣4的绝对值是 4 ． 绝对值 考点： 专题： 分析： 计算题． 计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表 达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 解：|﹣4|=4． 解答： 点评： 此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义， 并能熟练运用到实际运算当中． 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝 对值是它的相反数；0的绝对值是0． 14．（4分）（2014•宁波）方程 =的根x= ﹣1 ． 考点： 专题： 分析： 解分式方程 计算题． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值 ，经检验即可得到分式方程的解． 解：去分母得：x=﹣1， 解答： 经检验x=﹣1是分式方程的解． 故答案为：﹣1． 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验 根． 15．（4分）（2014•宁波）某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如 图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是 150 支． 扇形统计图 考点： 分析： 首先根据红豆口味的雪糕的数量和其所占的百分比确定售出雪糕 的总量，然后乘以水果口味的所占的百分比即可求得其数量． 解：观察扇形统计图知：售出红豆口味的雪糕200支，占40%， ∴售出雪糕 总量为200÷40%=500支， 解答： ∵水果口味的占30%， ∴水果口味的有500×30%=150支， 故答案为150． 点评： 本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是正确的从扇形统计 图中整理出进一步解题的有关信息． 16．（4分）（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种 方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab （用a、b的代数式表示）． 考点： 分析： 解答： 平方差公式的几何背景 利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解． 解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列 出方程组得， 解得， 大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（ ）2﹣（ ）2= ab． 故答案为：ab． 点评： 本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列 代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键． 17．（4分）（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟 停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这 个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．（ ≈1.4） 解直角三角形的应用． 考点： 分析： 如图，根据三角函数可求BC，CE，则BE=BC+CE可求，再根据三角函 数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可 求解． 解答： 解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2× ≈1.54米， CE=5×sin45°=5× ≈3.5米， BE=BC+CE≈5.04， EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.14米， （56﹣5.04）÷3.14+1 =50.96÷3.14+1 ≈16+1 =17（个）． 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位． 故答案为：17． 点评： 考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际 问题转化为数学问题加以计算． 18．（4分）（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分 点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两 个阴影部分的面积为 6 cm2． 垂径定理；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理 考点： 分析： ．作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGE，三角形AGE的面积就是阴影 部分的面积． 解答： 解：如图作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE， ∵△DBF的轴对称图形△HAG， ∴△ACG≌△BDF， ∴∠ACG=∠BDF=60°， ∵∠ECB=60°， ∴G、C、E三点共线， ∵AM⊥CG，ON⊥CE， ∴AM∥ON， ∴== ， 在RT△ONC中，∠OCN=60°， ∴ON=sin∠OCN•OC= •OC， ∵OC= OA=2， ∴ON= ，∴AM=2 ，∵ON⊥GE， ∴NE=GN= GE， 连接OE， 在RT△ONE中，NE= ==，∴GE=2NE=2 ，∴S△AGE= GE•AM= ×2 ×2 =6 ，∴图中两个阴影部分的面积为6 故答案为6 本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用． ，．点评： 三、解答题（本大题有8小题，共78分） 19．（6分）（2014•宁波）（1）化简：（a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣2ab； （2）解不等式：5（x﹣2）﹣2（x+1）＞3． 考点： 分析： 整式的混合运算；解一元一次不等式 （1）先运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即 可； （2）先去括号，再移项、合并同类项． 解答： 解：（1）原式=a2+2ab+b2+a2﹣b2﹣2ab =2a2； （2）去括号，得5x﹣10﹣2x﹣2＞3， 移项、合并同类项得3x＞15， 系数化为1，得x＞5． 点评： 本题考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式，是基础知 识要熟练掌握． 20．（8分）（2014•宁波）作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作 已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结 果如图： （1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数； （2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次； （3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200 万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率（ 精确到0.1%）． 条形统计图；加权平均数；中位数；众数 计算题． 考点： 专题： 分析： （1）找出租车量中车次最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排 列，找出中间的数即为中位数，求出数据的平均数即可； （2）由（1）求出的平均数乘以30即可得到结果； （3）求出2014年的租车费，除以总投入即可得到结果． 解：（1）根据条形统计图得：出现次数最多的为8，即众数为8； 将数据按照从小到大顺序排列为：7.5，8，8，8，9，9，10，中位数为 8； 解答： 平均数为（7.5+8+8+8+9+9+10）÷7=8.5； （2）根据题意得：30×8.5=255（万车次）， 则估计4月份（30 天）共租车255万车次； （3）根据题意得： =≈3.3%， 则2014年租车费收入占总投入的百分率为3.3%． 此题考查了条形统计图，加权平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各 自的定义是解本题的关键． 点评： 21．（8分）（2014•宁波）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米 ，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直 的公路． （1）求改直的公路AB的长； （2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈ 0.60，tan37°≈0.75） 解直角三角形的应用 考点： 分析： （1）作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，根据三角函数求得CH，AH，在Rt △BCH中，根据三角函数求得BH，再根据AB=AH+BH即可求解； （2）在Rt△BCH中，根据三角函数求得BC，再根据AC+BC﹣AB列式计算 即可求解． 解答： 解：（1）作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，CH=AC•sin∠CAB=AC•sin25°≈10×0.42=4.2千米， AH=AC•cos∠CAB=AC•cos25°≈10×0.91=9.1千米， 在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6千米， ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7千米． 故改直的公路AB的长14.7千米； （2）在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7千米， 则AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3千米． 答：公路改直后比原来缩短了2.3千米． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算， 关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 22．（10分）（2014•宁波）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内， DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA= ，反比例函数y= （k＞0）的图象过CD的 中点E． （1）求证：△AOB≌△DCA； （2）求k的值； （3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反 比例函数的图象上，并说明理由． 反比例函数综合题． 考点： 专题： 分析： 综合题． （1）利用“HL”证明△AOB≌△DCA； （2）先利用勾股定理计算出AC=1，再确定C点坐标，然后根据点E为CD 的中点可得到点E的坐标为（3，1），则可根据反比例函数图象上点的 坐标特征求得k=3； （3）根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA，所以FG=CA=1，BF=DC=2 ，∠BFG=∠DCA=90°，则可得到G点坐标为（1，3），然后根据反比例 函数图象上点的坐标特征判断G点是否在函数y= 的图象上． （1）证明：∵点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴， ∴∠AOB=∠DCA=90°， 解答： 在Rt△AOB和Rt△DCA中 ，∴Rt△AOB≌Rt△DCA； （2）解：在Rt△ACD中，CD=2，AD= ，∴AC= =1， ∴OC=OA+AC=2+1=3， ∴D点坐标为（3，2）， ∵点E为CD的中点， ∴点E的坐标为（3，1）， ∴k=3×1=3； （3）解：点G是否在反比例函数的图象上．理由如下： ∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称， ∴△BFG≌△DCA， ∴FG=CA=1，BF=DC=2，∠BFG=∠DCA=90°， 而OB=AC=1， ∴OF=OB+BF=1+2=3， ∴G点坐标为（1，3）， ∵1×3=3， ∴G（1，3）在反比例函数y= 的图象上． 点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征 、中心对称的性质和三角形全等的判定与性质；会利用勾股定理进行几 何计算． 23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0） ，B（0，﹣1）和C（4，5）三点． （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值 大于二次函数的值． 待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二 次函数与不等式（组） 考点： 分析： （1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5 ）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出 二次函数的解析式； （2）令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐 标； （3）画出图象，再根据图象直接得出答案． 解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4 ，5）三点， ∴，∴a= ，b=﹣ ，c=﹣1， ∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x﹣1； （2）当y=0时，得 x2﹣ x﹣1=0； 解得x1=2，x2=﹣1， ∴点D坐标为（﹣1，0）； （3）图象如图， 当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4． 点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物 线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握． 24．（10分）（2014•宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形 侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利 用） A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面． 现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 一元一次方程的应用；列代数式． 考点： 分析： （1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面 个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总 数就可以求出结论． 解：（1）∵裁剪时x张用A方法， 解答： ∴裁剪时（19﹣x）张用B方法． ∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个， 底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个； （2）由题意，得 ，解得：x =7， ∴盒子的个数为： =30． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运 用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程 是关键． 点评： 25．（12分）（2014•宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的 等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办 到吗？请画示意图说明剪法． 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这 个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标 注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则 视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边 上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值； （3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求 出三分线的长． 相似形综合题；图形的剪拼 考点： 分析： （1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一 个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰 三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着 同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再 以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三 个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法． （2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据 题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑A D为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC ．根据图形易得x的值． （3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后 借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形 为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求 解方程可知各线的长． 解：（1）如图2作图， 解答： （2）如图3 ①、②作△ABC． ①当AD=AE时， ∵2x+x=30+30， ∴x=20． ②当AD=DE时， ∵30+30+2x+x=180， ∴x=40． （3） 如图4，CD、AE就是所求的三分线． 设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a， 此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC， 设AE=AD=x，BD=CD=y， ∵△AEC∽△BDC， ∴x：y=2：3， ∵△ACD∽△ABC， ∴2x=（x+y）：2， 所以联立得方程组 ，解得 ，即三分线长分别是 和．点评： 本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角 形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目 ．26．（14分）（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽 可能大的圆形桌面，他设计了四种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半 圆拼成一个圆； 方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆 ；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大 的圆． （1）写出方案一中圆的半径； （2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ （3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y． ①求y关于x的函数解析式； ②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌 面的半径最大． 圆的综合题 考点： 分析： （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由 已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相 似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出 所求边长，而后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1 O2E为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽ △OFN后对应边成比例整理方程，进而可求r的值． （3）①类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然 方案四中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度 ．则选择最小跨度，取其 ，即为半径．由EC为x，则新拼图形水平方向 跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x，则需要先判断大小，而后分别讨论 结论． ②已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径． 另与前三方案比较，即得最终结论． 解：（1）方案一中的最大半径为1． 分析如下： 解答： 因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最 大为1． （2） 如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E， 方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙ O与AB，BF的切点． 方案二： 设半径为r， 在Rt△O1O2E中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．方案三： 设半径为r， 在△AOM和△OFN中， ，∴△AOM∽△OFN， ∴，∴，解得 r= ． 比较知，方案三半径较大． （3）方案四： ①∵EC=x， ∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x． 类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的． 1．当3﹣x＜2+x时，即当x＞ 时，r= （3﹣x）； 2．当3﹣x=2+x时，即当x= 时，r= （3﹣ ）= ； 3．当3﹣x＞2+x时，即当x＜ 时，r= （2+x）． ②当x＞ 时，r= （3﹣x）＜ （3﹣ ）= ； 当x= 时，r= （3﹣ ）= ； 当x＜ 时，r= （2+x）＜ （2+ ）= ， ∴方案四，当x= 时，r最大为 ． ∵1＜ ＜＜ ， ∴方案四时可取的圆桌面积最大． 点评： 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长 及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路， 但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很 高的题目，值得认真练习．