2014年浙江省台州市中考数学试卷（含解析版）

2014年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分）　1．（4分）（2014•台州）计算﹣4×（﹣2）的结果是（　　） ﹣8 ﹣2 D．　A．8 B． C．6 2．（4分）（2014•台州）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（　　）　A． B． C． D． 3．（4分）（2014•台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直与地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）　A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm D．7 4．（4分）（2014•台州）下列整数中，与　A．4 B．5 最接近的是（　　） C．6 5．（4分）（2014•台州）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）　A． B． C． D． 6．（4分）（2014•台州）某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（　　）购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格　A．　B．购买20个该品牌的电插座，一定都合格　C．　D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 7．（4分）（2014•台州）将分式方程1﹣ =去分母，得到正确的整式方程是（　　）1﹣2x=3 x﹣1﹣2x=3 x﹣1+2x=3 D．　A． B． C．1+2x=3 8．（4分）（2014•台州）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度 v（单位：m/s）与运动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（　　）　A． B． C． D． 9．（4分）（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（　　） 45° 50° 60° C．　A． B． D．不确定 10．（4分）（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）　A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9 　二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）（2014•台州）计算x•2×2的结果是　． 12．（5分）（2014•台州）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是　　． 13．（5分）（2014•台州）因式分解a3﹣4a的结果是　　． 14．（5分）（2014•台州）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是　　　　． 15．（5分）（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm ，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　　　cm． 16．（5分）（2014•台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与 1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn=　　（用含字母x和n的代数式表示）．　三、解答题（本题共8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第 24题14分，共80分） ﹣1 17．（8分）（2014•台州）计算：|2 ﹣1|+（ ﹣1）0﹣（）．18．（8分）（2014•台州）解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来． 5 m 19．（8分）（2014•台州）已知反比函数y= ，当x=2时，y=3． x（1）求m的值；（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围． 20．（8分）（2014•台州）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．　21．（10分）（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．　22．（12分）（2014•台州）为了估计鱼塘中成品鱼（个体质量在0.5kg及以上，下同）的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼，称得它们的质量如表：质量/kg 数量/条 0.5 10.6 80.7 15 1.0 18 1.2 51.6 11.9 2然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号．（1）请根据表中数据补全如图的直方图（各组中数据包括左端点不包括右端点）．（2）根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大？（3）根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？（4）请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量（精确到1kg）．　23．（12分）（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2 ）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式； ②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．　24．（14分）（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．（1）研究性质 ①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论 ②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF 相等吗？证明你的结论 ③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？ 2014年浙江省台州市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分）　1．（4分）（2014•台州）计算﹣4×（﹣2）的结果是（　　） ﹣8 ﹣2 D．　A．8 B． C．6 考点有理数的乘法．：根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．分析：解：﹣4×（﹣2）， =4×2，解答：=8．故选A．点评本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．：　2．（4分）（2014•台州）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（　　）　A． B． C． D．简单组合体的三视图．考点：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．分析：解；从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形，故选：D．解答：点评本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．：　3．（4分）（2014•台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直与地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）　A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm 三角形中位线定理考点：专题应用题．：判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．分析：解答解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AC=2OD=2×50=100cm．故选D．：点评本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．：　4．（4分）（2014•台州）下列整数中，与　A．4 B．5 最接近的是（　　） C．6 D．7 考点估算无理数的大小：分析：根据5 ，25 与30的距离小于36与30的距离，可得答案．解答：解：与最接近的是5，故选：B．点评本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．：　5．（4分）（2014•台州）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）　A． B． C． D．圆周角定理．考点：根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．解：∵直径所对的圆周角等于直角，分析：解答 ∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．：点评此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．：　6．（4分）（2014•台州）某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（　　）购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格购买20个该品牌的电插座，一定都合格　A．　B．　C．　D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格概率的意义．考点：根据概率的意义，可得答案．分析：解；A、B、C、说法都非常绝对，故A、B、C错误； D、即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格，说法合理，故D正确；故选：D．解答：点评本题考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念．：　7．（4分）（2014•台州）将分式方程1﹣ =去分母，得到正确的整式方程是（　　）1﹣2x=3 x﹣1﹣2x=3 x﹣1+2x=3 D．　A． B． C．1+2x=3 考点解分式方程．：专题：计算题．分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．分析：解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，故选B 解答：点评此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．：　8．（4分）（2014•台州）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度 v（单位：m/s）与运动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（　　）　A． B． C． D．动点问题的函数图象考点：一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增加，据此选择即可．分析：解：根据分析知，运动速度v先减小后增大，故选：C．解答：点评本题主要考查了动点问题的函数图象．分析小球的运动过程是解题的关键．：　9．（4分）（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（　　） 45° 50° 60° C．　A． B． D．不确定全等三角形的判定与性质；正方形的性质．考点：证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，分析：解答：∵E是BF的垂直平分线EM上的点， ∴EF=EB， ∵E是∠BCD角平分线上一点， ∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI， Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL）， ∴∠HBE=∠IEF， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF， ∴∠EBF=∠EFB=45°，故选A．点评本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质．：　10．（4分）（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）　A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9 菱形的性质；平移的性质考点：分析：首先得出△MEC∽△DAC，则 =，进而得出 =，即可得出答案．解答解：∵ME∥AD， ∴△MEC∽△DAC，：∴=，∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH， ∴AE=1cm，EC=3cm， ∴=， ∴=，∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为： =．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 =是解题关键．　二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）（2014•台州）计算x•2×2的结果是　2×3　．单项式乘单项式．考点：根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余分析：字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．解：x•2×2=2×3．故答案是：2×3．解答：点评本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．：　12．（5分）（2014•台州）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是　55°　．平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．考点：根据折叠性质得出∠2=∠EFG，求出∠BEF，根据平行线性质求出∠CFE，即可求出答分析：案．解答：解：根据折叠得出∠EFG=∠2， ∵∠1=70°， ∴∠BEF=∠1=70°， ∵AB∥DC， ∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°， ∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°，故答案为：55°．点评本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等的应用，解此题的关键是能根据平行线性质求出∠CFE的度数．! ：　13．（5分）（2014•台州）因式分解a3﹣4a的结果是　a（a+2）（a﹣2）　．提公因式法与公式法的综合运用计算题．考点：专题：分析原式提取a后，利用平方差公式分解即可．：解：原式=a（a2﹣4）解答 =a（a+2）（a﹣2）．：故答案为：a（a+2）（a﹣2）．点评此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．：　14．（5分）（2014•台州）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同） 1，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是　． 3列表法与树状图法考点：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．分析：解：画树状图得：解答：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况， 1∴它们恰好同色的概率是：故答案为：． =．3点评本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比：．　15．（5分）（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm ，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　50　cm．垂径定理的应用；勾股定理考点：设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，根据CD=10cm，AB=60cm，设设半径为r，则 OD=r﹣10，根据垂径定理得：r2=（r﹣10）2+302，求得r的值即可．解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC， ∵CD=10cm，AB=60cm，分析：解答：∴设半径为r，则OD=r﹣10，根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，解得：r=50，故答案为50．点评本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．：　16．（5分）（2014•台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与 1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn=　　（用含字母x和n的代数式表示）．考点分式的混合运算．：专题：图表型；规律型．将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．分析：解答：解：将y1= 将y2= 代入得：y2= =；代入得：y3= =，依此类推，第n次运算的结果yn= 故答案为：．点评此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．：　三、解答题（本题共8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第 24题14分，共80分） ﹣1 17．（8分）（2014•台州）计算：|2 ﹣1|+（ ﹣1）0﹣（）．实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．考点：分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；分析：解：原式=2 ﹣1+1﹣ 解答：=．点评本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．：　18．（8分）（2014•台州）解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．考点：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．分析：解答：解： ∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为2＜x＜3，在数轴上表示为：．点评本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．：　5 m 19．（8分）（2014•台州）已知反比函数y= ，当x=2时，y=3． x（1）求m的值；（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质考点：（1）把x、y的值代入反比例函数解析式，通过方程来求m的值；（2）根据反比例函数图象的性质进行解答． 5 m 分析：解答：解：（1）把x=2时，y=3代入y= ，得 x5 m 3= ，x解得：m=﹣1； 6（2）由m=﹣1知，该反比例函数的解析式为：y= ．x当x=3时，y=2；当x=6时，y=1． ∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是：1≤y≤2．点评本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上是把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程：　20．（8分）（2014•台州）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．平行四边形的判定与性质．21世纪教育网考点：专题应用题．：首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．分析：证明：∵AB=CD、AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，解答：又∵EF⊥AD， ∴EF⊥BC．点评本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解平行四边形的判定方法是关键．：　21．（10分）（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．考点：首先过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，进而里锐角三角函数关系得出 DE、AE的长，即可得出DF的长，求出BC即可．分析：解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，解答：由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m， ∴cos∠ADE=cos15°= ≈0.97， ∴≈0.97，解得：DE=1552（m）， sin15°= ≈0.26， ∴≈0.26，解得；AE=416（m）， ∴DF=500﹣416=84（m）， ∴tan∠BDF=tan15°= ≈0.27， ∴≈0.27，解得：BF=22.68（m）， ∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），答：他飞行的水平距离为1575m．点评此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出CF，BF的长是解题关键．：　22．（12分）（2014•台州）为了估计鱼塘中成品鱼（个体质量在0.5kg及以上，下同）的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼，称得它们的质量如表：质量/kg 数量/条 0.5 10.6 80.7 15 1.0 18 1.2 51.6 11.9 2然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号．（1）请根据表中数据补全如图的直方图（各组中数据包括左端点不包括右端点）．（2）根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大？（3）根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？（4）请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量（精确到1kg）．频数（率）分布直方图；用样本估计总体．考点：（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，就可以补全直方图；（2）分别求出各组的频率，就可以得出结论；（3）由这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数的平均数就可以得出结论；分析：（4）设鱼塘中成品鱼的总质量为x，根据作记号的鱼50：x=2：100建立方程求出其解即可．解：（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，补全图形，得：解答：（2）由题意，得 0.5﹣0.8的频率为：24÷50=0.48， 0.8﹣1.1的频率为：18÷50=0.36， 1.1﹣1.4的频率为：5÷50=0.1， 1.4﹣1.7的频率为：1÷50=0.02， 1.7﹣2.0的频率为：2÷50=0.04． ∵0.48＞0.36＞0.1＞0.04＞0.02． ∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在0.5﹣0.8的可能性最大；（3）这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数分别是1.0，1.0， ∴（1.0+1.0）÷2=1.0 鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在0.8﹣1.1内；（4）设鱼塘中成品鱼的总质量为x，由题意，得 50：x=2：100，解得：x=2500． 2500× =2260kg．点评本题考查了频数分布直方图的运用，比较频率大小的运用，中位数的运用，平均数的运用，由样本数据估计总体数据的运用，解答时认真分析统计表和统计图的数据是关键．：　23．（12分）（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2 ）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式； ②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．二次函数的应用考点：（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入﹣ 经营总成本=wA+wB﹣3×20；分析：②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+ A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．解：（1）①当2≤x＜8时，如图，解答：设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，∴y=﹣x+14； ②当x≥8时，y=6． ∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为： y= ．（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨． ①当2≤x＜8时， wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x； wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x2+7x+48；当x≥8时， wA=6x﹣x=5x； wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ∴w=wA+wB﹣3×20 =（5x）+（108﹣6x）﹣60 =﹣x+48． ∴w关于x的函数关系式为： w= ．②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18． ∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣ x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣ x）]万元， ∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60． ①当2≤x＜8时， wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x； wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m =﹣x2+7x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64 ∴当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m= ，m﹣x= ；②当x＞8时， wA=6x﹣x=5x； wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12 ∴w=wA+wB﹣3×m =（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m =﹣x+3m﹣12．将3m=x+60代入得：w=48 ∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．点评本问是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．：　24．（14分）（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．（1）研究性质 ①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论 ②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF 相等吗？证明你的结论 ③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？四边形综合题；全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质考点：专题证明题；新定义；探究型．：（1）通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行．要证明两条线段平行，只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，要证AB∥DE，只需连接AD，证明∠AD E=∠DAB即可，其它两组同理可得．分析：（2）要证BC=EF，CD=AF，只需连接AE、BD，证明△AFE≌△DCB即可．（3）由条件“三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O“及（1）中的结论可证到 =，将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后，可以证到AB+AF= DE+DC，从而得到三组正对边分别相等．（4）若只有1个内角为120°或有2个内角为120°，可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形；若有3个内角为120°，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形．解：（1）①结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．证明：连接AD，如图1，解答：∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B= =120°． ∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°． ∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE．同理BC∥EF，CD∥AF． ②结论：EF=BC，AF=DC．证明：连接AE、DB，如图2， ∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形． ∴AE=DB，∠EAB=∠BDE． ∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB．在△AFE和△DCB中，．∴△AFE≌△DCB． ∴EF=BC，AF=DC． ③结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC．延长FE、CD相交于点P，延长EF、BA相交于点Q，延长DC、AB相交于点S，如图3 ．∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°． ∴△QAF是等边三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF．同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED． ∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ是等边三角形．∴PQ=QS=SP． ∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC． ∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴ ．同理：，．∴∴．==1． ∴AB=ED，AF=DC，EF=BC．（2）连接BF，如图4， ∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°． ∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°．同理：∠A+∠ABC+∠C=360°． ∴∠AFE=∠C．同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E． Ⅰ．若只有1个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形．反例：当∠A=120°，∠ABC=150°时，∠D=∠A∠=120°，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°．此时该六边形不是等角六边形． Ⅱ．若有2个内角等于120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形．反例：当∠A=∠D=120°，∠ABC=150°时，∠E=∠ABC=150°． ∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°．此时该六边形不是等角六边形． Ⅲ．若有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．设∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．则2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°． ∵有3个内角等于120°，∴α、β、γ中至少有两个为120°．若α、β、γ都等于120°，则六个内角都等于120°；若α、β、γ中有两个为120°，根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°，则六个内角都等于120°．综上所述：至少有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．点评本题引导学生对几何图形进行科学探究（从定义到性质到判定），考查了相似三角形、全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识，考查了分类讨论的思想，培养了学生的批判意识（举反例说明一个命题是假命题），是一道非常难得的好题．：