2014年江苏省镇江市中考数学试卷（含解析版）

2014年江苏省镇江市中考数学试卷一、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共计24分． 1．（2分）（2016•乐山）计算：|﹣5|=　　　　　　． 2．（2分）（2014•镇江）计算：（﹣ ）×3=　　　　　　． 3．（2分）（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1=　　　　　　． 4．（2分）（2014•镇江）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　　．5．（2分）（2014•镇江）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF= 1，则BD=　　　　　　． 6．（2分）（2014•镇江）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°．若∠1= 25°，∠2=70°，则∠B=　　　　　　． 7．（2分）（2014•镇江）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为　　　　　　． 8．（2分）（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　　　　　．9．（2分）（2014•镇江）已知圆锥的底面半径为3，母线长为8，则圆锥的侧面积等于　　　　　　．10．（2分）（2014•镇江）如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°．若∠B″OA=120°，则∠AOB=　　　　　　．第1页（共28页） 11．（2分）（2014•镇江）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y （千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a=　　　　　　（小时）． 12．（2分）（2014•镇江）读取表格中的信息，解决问题． n=1 n=2 n=3 …a1= +2 a2=b1+2c1 a3=b2+2c2 …b1= +2 b2=c1+2a1 b3=c2+2a2 …c1=1+2 c2=a1+2b1 c=a2+2b2 …满足的n可以取得的最小整数是　　　　　　．　二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 13．（3分）（2014•镇江）下列运算正确的是（　　） A．（x3）3=x9B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2×2﹣x=xD．x6÷x3=x2 14．（3分）（2014•镇江）一个圆柱如图放置，则它的俯视图是（　　） A．三角形B．半圆C．圆D．矩形第2页（共28页） 15．（3分）（2014•镇江）若实数x、y满足 =0，则x+y的值等于（　　）A．1B． C．2D． 16．（3分）（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3 ，则∠A的正切值等于（　　） A． B． C． D． 17．（3分）（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设 s=a+2b，则s的取值范围是（　　） A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣ 　三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） ﹣1 18．（8分）（2014•镇江）（1）计算：（（2）化简：（x+ ）÷ ）+cos45°﹣ ；．19．（10分）（2014•镇江）（1）解方程： ﹣=0；（2）解不等式：2+ ≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．第3页（共28页） 20．（6分）（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由． 21．（6分）（2014•镇江）为了了解“通话时长”（“通话时长”指每次通话时间）的分布情况，小强收集了他家1000个“通话时长”数据，这些数据均不超过18（分钟）．他从中随机抽取了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图． “通话时长” 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 9＜x≤12 12＜x≤15 15＜x≤18 （x分钟）次数 36 a812 812 根据表、图提供的信息，解答下面的问题：（1）a=　　　　　　，样本容量是　　　　　　；（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率：　　　　　　；（3）请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．第4页（共28页） 22．（6分）（2014•镇江）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，充分摇匀．（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．请写出一个x的值　　　　　　，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能的事件；（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．请你仿照这个表述，设计一个必然事件：　　　　　　． 23．（6分）（2014•镇江）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A ．（1）如图，直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1． ①求点B的坐标及k的值； ②直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于　　　　　　；（2）直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x0，0），若﹣2＜x0＜﹣1，求k的取值范围．第5页（共28页） 24．（6分）（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= ，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从 A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？ 25．（6分）（2014•镇江）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN （不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥O P，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI．（1）求S1和S3的值；（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？第6页（共28页） 26．（8分）（2014•镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长． 27．（9分）（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=﹣x2+2nx﹣ n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ= 4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列）， = ． ①写出C点的坐标：C（　　　　　　，　　　　　　）（坐标用含有t的代数式表示）； ②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．第7页（共28页） 28．（10分）（2014•镇江）我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论【发现与证明】在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．结论1：B′D∥AC；结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形． …请利用图1证明结论1或结论2．【应用与探究】在▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．（1）如图1，若AB= ，∠AB′D=75°，则∠ACB=　　　　　　，BC=　　　　　　；（2）如图2，AB=2 ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；（3）已知AB=2 ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？　第8页（共28页） 2014年江苏省镇江市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、填空题：本大题共12小题，每小题2分，共计24分． 1．（2分）（2016•乐山）计算：|﹣5|=　5　．【解答】解：|﹣5|=5．故答案为：5 　2．（2分）（2014•镇江）计算：（﹣ ）×3=　﹣1　．【解答】解：（﹣ ）×3， =﹣ ×3， =﹣1．故答案为：﹣1．　3．（2分）（2014•镇江）化简：（x+1）（x﹣1）+1=　x2　．【解答】解：（x+1）（x﹣1）+1 =x2﹣1+1 =x2．故答案为：x2．　4．（2分）（2014•镇江）分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≠1　．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．　5．（2分）（2014•镇江）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF= 1，则BD=　2　．【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EF= AD， ∵EF=1，第9页（共28页） ∴AD=2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2，故答案为：2．　6．（2分）（2014•镇江）如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°．若∠1= 25°，∠2=70°，则∠B=　45°　．【解答】解：∵m∥n， ∴∠3=∠2=70°， ∴∠BAC=∠3﹣∠1=70°﹣25°=45°， ∵∠C=90°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣45°=45°．故答案为：45°．　7．（2分）（2014•镇江）一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们众数为1，则这组数据的平均数为　．【解答】解：∵众数为1， ∴a=1， ∴平均数为： = ．故答案为：．　8．（2分）（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=　　．【解答】解：根据题意得△=12﹣4m=0，解得m= ．故答案为．第10页（共28页）　9．（2分）（2014•镇江）已知圆锥的底面半径为3，母线长为8，则圆锥的侧面积等于　 24π　．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π，故答案为：24π．　10．（2分）（2014•镇江）如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°．若∠B″OA=120°，则∠AOB=　20°　．【解答】解：∵∠AOA′=∠A″OA′=50°， ∴∠B″OB=100°， ∵∠B″OA=120°， ∴∠AOB=∠B″OA﹣∠B″OB=120°﹣100°=20°，故答案为20°．　11．（2分）（2014•镇江）一辆货车从甲地匀速驶往乙地，到达后用了半小时卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍．货车离甲地的距离y （千米）关于时间x（小时）的函数图象如图所示．则a=　5　（小时）．【解答】解：由题意可知：从甲地匀速驶往乙地，到达所用时间为3.2﹣0.5=2.7小时，返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，返回用的时间为2.7÷1.5=1.8小时，所以a=3.2+1.8=5小时．故答案为：5．　12．（2分）（2014•镇江）读取表格中的信息，解决问题． n=1 n=2 n=3 …a1= +2 a2=b1+2c1 a3=b2+2c2 …b1= +2 b2=c1+2a1 b3=c2+2a2 c1=1+2 c2=a1+2b1 c=a2+2b2 ……满足的n可以取得的最小整数是　7　．第11页（共28页）【解答】解：由a1+b1+c1= +2 ++2+1+2 =3（ ++1）， a2+b2+c2=9（ …++1）， an+bn+cn=3n（ ++1）， ∵∴an+bn+cn≥2014×（ ∴3n≥2014， ﹣+1）（ +）=2014（ ++1），则36＜2014＜37， ∴n最小整数是7．故答案为：7 　二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 13．（3分）（2014•镇江）下列运算正确的是（　　） A．（x3）3=x9B．（﹣2x）3=﹣6x3C．2×2﹣x=xD．x6÷x3=x2 【解答】解：A、底数不变指数相乘，故A正确； B、（﹣2x）3=﹣8×3，故B错误； C、不是同类项不能合并，故C错误； D、底数不变指数相减，故D错误；故选：A．　14．（3分）（2014•镇江）一个圆柱如图放置，则它的俯视图是（　　） A．三角形B．半圆C．圆D．矩形【解答】解：水平放置的圆柱的俯视图是矩形，故选：D．　15．（3分）（2014•镇江）若实数x、y满足 =0，则x+y的值等于（　　）A．1B． C．2D．【解答】解：由题意得，2x﹣1=0，y﹣1=0，解得x= ，y=1，所以，x+y= +1= 故选：B．．第12页（共28页）　16．（3分）（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3 ，则∠A的正切值等于（　　） A． B． C． D．【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D， ∵OB=5，OD=3， ∴BD=4， ∵∠A= ∠BOC， ∴∠A=∠BOD， ∴tanA=tan∠BOD= 故选：D． = ，　17．（3分）（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设 s=a+2b，则s的取值范围是（　　） A．﹣5≤s≤﹣ B．﹣6＜s≤﹣ C．﹣6≤s≤﹣ D．﹣7＜s≤﹣ 【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限， ∴a＜0，b≤0， ∵直线y=ax+b（a≠0）过点（2，﹣3）， ∴2a+b=﹣3， ∴a= ，b=﹣2a﹣3， +2b= b﹣ ≤﹣ ∴s=a+2b= ，s=a+2b=a+2（﹣2a﹣3）=﹣3a﹣6＞﹣6，即s的取值范围是﹣6＜s≤﹣ ．故选：B．　第13页（共28页）三、解答题（本大题共有11小题，共计81分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） ﹣1 18．（8分）（2014•镇江）（1）计算：（（2）化简：（x+ ）÷ ）+cos45°﹣ ；．【解答】解：（1）原式=2+ ×﹣3 =2+1﹣3 =0；（2）原式= •=•=3（x﹣1） =3x﹣3．　19．（10分）（2014•镇江）（1）解方程： ﹣=0；（2）解不等式：2+ ≤x，并将它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）去分母得：3x+6﹣2x=0，移项合并得：x=﹣6，经检验x=﹣6是分式方程的解；（2）去分母得：6+2x﹣1≤3x，解得：x≥5，解集在数轴上表示出来为：　20．（6分）（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC．（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．第14页（共28页）【解答】（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠1=∠2；（2）四边形BCDE是菱形；证明：∵∠1=∠2，CD=BC， ∴AC垂直平分BD， ∵OE=OC， ∴四边形DEBC是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形DEBC是菱形．　21．（6分）（2014•镇江）为了了解“通话时长”（“通话时长”指每次通话时间）的分布情况，小强收集了他家1000个“通话时长”数据，这些数据均不超过18（分钟）．他从中随机抽取了若干个数据作为样本，统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图． “通话时长” 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 9＜x≤12 12＜x≤15 15＜x≤18 （x分钟）次数 36 a812 812 根据表、图提供的信息，解答下面的问题：（1）a=　24　，样本容量是　100　；（2）求样本中“通话时长”不超过9分钟的频率：　0.68　；（3）请估计小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数．第15页（共28页）【解答】解：（1）根据直方图可得：a=24，样本容量是：36+24+8+12+8+12=100；（2）根据题意得： =0.68，答：样本中“通话时长”不超过9分钟的频率是0.68；故答案为：0.68；（3）根据题意得： 1000× =120（次），答：小强家这1000次通话中“通话时长”超过15分钟的次数是120次．　22．（6分）（2014•镇江）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，充分摇匀．（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．请写出一个x的值　1或2或3　，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能的事件；（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．请你仿照这个表述，设计一个必然事件：　从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球　．【解答】解：（1）设三个红球分别是1、2、3，黄球为4，列表得： y1234x（x，y）（1，2 （1，3 （1，4 1234）））（2，1 （2，3 （2，4 ）））（3，1 （3，2 （3，4 ）））（4，1 （4，2 （4，3 ）））（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种；所以摸出的球恰是一红一黄”的概率= = ；（2）因为不可能事件的概率为0，所以x可取1≤x≤3之间的整数，故答案为：1或2或3；第16页（共28页）（3）因为必然事件的概率为1，所以从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球是必然事件，故答案为：从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球．　23．（6分）（2014•镇江）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A ．（1）如图，直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1． ①求点B的坐标及k的值； ②直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积等于　；（2）直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x0，0），若﹣2＜x0＜﹣1，求k的取值范围．【解答】解：（1）①∵直线y=﹣2x+1过点B，点B的横坐标为﹣1， ∴y=2+1=3， ∴B（﹣1，3）， ∵直线y=kx+4过B点， ∴3=﹣k+4，解得：k=1； ②∵k=1， ∴一次函数解析式为：y=x+4， ∴A（0，4）， ∵y=﹣2x+1， ∴C（0，1）， ∴AC=4﹣1=3， ∴△ABC的面积为： ×1×3= 故答案为：；；（2）∵直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x0，0），﹣2＜x0＜﹣1， ∴当x0=﹣2，则E（﹣2，0），代入y=kx+4得：0=﹣2k+4，解得：k=2，当x0=﹣1，则E（﹣1，0），代入y=kx+4得：0=﹣k+4，解得：k=4，故k的取值范围是：2＜k＜4．第17页（共28页）　24．（6分）（2014•镇江）如图，小明从点A处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= ，然后又沿着坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从 A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？【解答】解：如图所示：过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米， ∴sinα= ==，∴BF=0.65× =0.25（km）， ∵斜坡BC的坡度为：1：4， ∴CE：BE=1：4，设CE=x，则BE=4x，由勾股定理得：x2+（4x）2=12 解得：x= ，∴CD=CE+DE=BF+CE= +，答：点C相对于起点A升高了（ +）km．　25．（6分）（2014•镇江）六•一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN （不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥O P，NQ⊥OQ），他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面第18页（共28页）积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米）．OG=GH=HI．（1）求S1和S3的值；（2）设T（x，y）是弯道MN上的任一点，写出y关于x的函数关系式；（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？【解答】解：（1）∵矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等， ∴弯道为反比例函数图象的一部分，设函数解析式为y= （k≠0），OG=GH=HI=a，则AG= ，BH= ，CI= ，所以，S2= •a﹣ •a=6，解得k=36，所以，S1= •a﹣ •a= k= ×36=18， S3= •a= k= ×36=12；（2）∵k=36， ∴弯道函数解析式为y= ，∵T（x，y）是弯道MN上的任一点， ∴y= ；（3）∵MP=2米，NQ=3米， ∴GM= =18， =3，解得OQ=12， ∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外）， ∴x=2时，y=18，可以种8棵， x=4时，y=9，可以种4棵，第19页（共28页） x=6时，y=6，可以种2棵， x=8时，y=4.5，可以种2棵， x=10时，y=3.6，可以种1棵，一共可以种：8+4+2+2+1=17棵．答：一共能种植17棵花木．　26．（8分）（2014•镇江）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE的长．【解答】（1）证明：如图1，连接CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADB+∠EDC=90°， ∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB， ∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°， ∴EA是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，第20页（共28页） ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠CBA=∠ABC=90° ∵B是EF的中点， ∴在RT△EAF中，AB=BF， ∴∠BAC=∠AFE， ∴△EAF∽△CBA．（3）解：∵△EAF∽△CBA， ∴=，∵AF=4，CF=2． ∴AC=6，EF=2AB， ∴=，解得AB=2 ．∴EF=4 ∴AE= ，==4 ，　27．（9分）（2014•镇江）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=﹣x2+2nx﹣ n2+2n的顶点，过点（0，4）作x轴的平行线，交抛物线于点P、Q（点P在Q的左侧），PQ= 4．（1）求抛物线的函数关系式，并写出点P的坐标；（2）小丽发现：将抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n绕着点P旋转180°，所得新抛物线的顶点恰为坐标原点O，你认为正确吗？请说明理由；（3）如图2，已知点A（1，0），以PA为边作矩形PABC（点P、A、B、C按顺时针的方向排列）， = ． ①写出C点的坐标：C（　﹣4t+2　，　4+t　）（坐标用含有t的代数式表示）； ②若点C在题（2）中旋转后的新抛物线上，求t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+2nx﹣n2+2n过点P，P点的纵坐标为4， ∴4=﹣x2+2nx﹣n2+2n 解得：x1=n+ ，x2=n﹣ ，∵PQ=x1﹣x2=4， ∴2 =4，第21页（共28页）解得：n=4， ∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+8x﹣8， ∴4=﹣x2+8x﹣8，解得：x=2或x=6， ∴P（2，4）．（2）正确； ∵P（2，4），PQ=4， ∴Q绕着点P旋转180°后的对称点为Q′（﹣2，4）， ∴P与Q′正好关于y轴对称， ∴所得新抛物线的对称轴是y轴， ∵抛物线y=﹣x2+8x﹣8=﹣（x﹣4）2+8， ∴抛物线的顶点M（4，8）， ∴顶点M到直线PQ的距离为4， ∴所得新抛物线顶点到直线PQ的距离为4， ∴所得新抛物线顶点应为坐标原点．（3）①如图2，过P作x轴的垂线，交x轴于M，过C作CN⊥MN于N， ∵∴=，=，∵△APM∽△PCN， ∴=== ， ∵AM=2﹣1=1，PM=4， ∴PN=t，CN=4t， ∴MN=4+t， ∴C（﹣4t+2，4+t）， ②由（1）可知，旋转后的新抛物线是y=ax2， ∵新抛物线是y=ax2过P（2，4）， ∴4=4a， ∴a=1， ∴旋转后的新抛物线是y=x2， ∵C（﹣4t+2，4+t）在抛物线y=x2上， ∴4+t=（﹣4t+2）2，第22页（共28页）解得：t=0（舍去）或t= ，∴t= ．　28．（10分）（2014•镇江）我们知道平行四边形那有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论【发现与证明】在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．结论1：B′D∥AC；结论2：△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形． …请利用图1证明结论1或结论2．【应用与探究】在▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．（1）如图1，若AB= ，∠AB′D=75°，则∠ACB=　45°　，BC=　　；（2）如图2，AB=2 ，BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积；（3）已知AB=2 ，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？【解答】解：【发现与证明】在▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．如图1，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠ADC， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴AB′=AB，B′C=BC，∠AB′C=∠B， ∴AB′=CD，B′C=AD，∠AB′C=∠ADC，在△AB′C和△CAD中，，∴△AB′C≌△CAD（SAS）， ∴∠ACB′=∠CAD，设AD、B′C相交于E， ∴AE=CE，第23页（共28页） ∴△ACE是等腰三角形，即△AB′C与▱ABCD重叠部分的图形是等腰三角形； ∵B′C=AD，AE=CE， ∴B′E=DE， ∴∠CB′D=∠ADB′， ∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD， ∴∠ADB′=∠DAC， ∴B′D∥AC；【应用与探究】（1）如图1，∵在▱ABCD中，∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠AB′C=30°， ∵∠AB′D=75°， ∴∠CB′D=45°， ∵B′D∥AC， ∴∠ACB′=∠CB′D=45°， ∵∠ACB=∠ACB′， ∴∠ACB=45°；作AG⊥BC于G， ∴AG=CG， ∵∠B=30°， ∴AG= AB= =，∴CG= ，BG= =，∴BC=BG+CG= 故答案为：45°，，；（2）如图2，作CG⊥AB′于G， ∵∠B=30°， ∴∠AB′C=30°， ∴CG= B′C= BC= ，B′G= B′C= BC= ，∵AB′=AB=2 ∴AG=2 ，﹣=，设AE=CE=x，则EG= ∵CG2+EG2=CE2， ﹣x， ∴（）2+（ ﹣x）2=x2，解得x= ，第24页（共28页） ∴AE= ，∴△AEC的面积= AE•CG= ××=；（3）如图2，∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠B=30°， ∴∠AB′C=∠CDA=30°， ∵△AB′D是直角三角形，当∠B′AD=90°，AB＞BC时，设∠ADB′=∠CB′D=y， ∴∠AB′D=y﹣30°， ∵∠AB′D+∠ADB′=90°， ∴y﹣30°+y=90°，解得y=60°， ∴∠AB′D=y﹣30°=30°， ∵AB′=AB=2 ，∴AD= ×=2， ∴BC=2，当∠ADB′=90°，AB＞BC时，如图3， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠ADB′=90°， ∴四边形ACB′D是矩形， ∴∠ACB′=90°， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°，AB=2 ，∴BC= AB= ×=3；当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图4，第25页（共28页） ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD=90°， ∴∠B′GC=90°， ∵∠B=30°，AB=2 ∴∠AB′C=30°，，∴GC= B′C= BC， ∴G是BC的中点，在RT△ABG中，BG= AB= ×2 =3， ∴BC=6；当∠AB′D=90°时，如图5， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是等腰梯形， ∵∠AB′D=90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°， ∵∠B=30°，AB=2 ，∴BC=AB÷ =2 ×=4；第26页（共28页） ∴已知当BC的长为2或3或4或6时，△AB′D是直角三角形．　第27页（共28页）参与本试卷答题和审题的老师有：wangming；蓝月梦；星期八；wkd；wd1899；caicl；gsl s；sjzx；bjy；73zzx；2300680618；wdzyzlhx；HJJ；sks；lantin；sd2011；守拙（排名不分先后）菁优网 2016年7月19日第28页（共28页）