2014年江苏省常州市中考数学试卷（含解析版）

2014年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2分）（2014•常州）﹣ 的相反数是（　　） A． B．﹣ C．﹣2 D．2 2．（2分）（2014•常州）下列运算正确的是（　　） A．a•a3=a3 B．（ab）3=a3b C．（a3）2=a6 D．a8÷a4=a2 3．（2分）（2014•常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成 2222绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲 =0.56，S乙 =0.60，S丙 =0.50，S丁 =0.45，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2分）（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（　　） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 6．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A．第二，三象限 B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限 7．（2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲第1页（共32页）的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x 轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个　二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分20分.） 9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|=　　　　　　，2﹣2=　　　　　　，（﹣3）2=　　　　　　， =　　　　　　． 10．（2分）（2014•常州）已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是　　　　　　． 11．（2分）（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于　　　　　　度，sinα的值为　　　　　　． 12．（2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于　　　　　　度，扇形的面积是　　　　　　．（结果保留π）第2页（共32页） 13．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是　　　　　　；若式子的值为0，则x=　　　　　　． 14．（2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=　　　　　　，另一个根为　　　　　　． 15．（2分）（2014•常州）因式分解：x3﹣9xy2=　　　　　　． 16．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=10﹣x的图象与函数y= （x＞0）的图象相交于点A，B．设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形的面积为　　　　　　，周长为　　　　　　． 17．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k ≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是　　　　　　．　三、计算题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（8分）（2014•常州）计算与化简：（1） ﹣（﹣ ）0+2tan45°；（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）．第3页（共32页） 19．（10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程：（1）（2）；．　四、解答题（本大题共2小题，满分15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来，某校学生参加献爱心捐款活动，随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析，相应数据的统计图如下：（1）该样本的容量是　　　　　　，样本中捐款15元的学生有　　　　　　人；（2）若该校一共有500名学生，据此样本估计该校学生的捐款总数．第4页（共32页） 21．（8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．　五、证明题（本大题共2小题，共12分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22．（5分）（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．第5页（共32页） 23．（7分）（2014•常州）已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．　六、画图与应用（本大题共5小题，请在答题卡指定区域内作答，共39分） 24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠ DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上， AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：第6页（共32页）（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点 M，点E的对应点为点N），画出△OMN；（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点 A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长． 25．（7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表： x（元/件 38 36 34 32 30 28 26 28 ）t（件） 4812 16 20 24 假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求t与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价） 26．（8分）（2014•常州）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2， [3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞= 5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：（1）[﹣4.5]=　　　　　　，＜3.5＞=　　　　　　．（2）若[x]=2，则x的取值范围是　　　　　　；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是　　　　　　．第7页（共32页）（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 27．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ x2+ x+2 的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0 ，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D ，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 28．（10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；第8页（共32页）（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C ，直线QC交x轴于点E． ①当动点P与点B重合时，求点E的坐标； ②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S 的取值范围．　第9页（共32页） 2014年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2分）（2014•常州）﹣ 的相反数是（　　） A． B．﹣ C．﹣2D．2 【解答】解：﹣ 的相反数是，故选：A．　2．（2分）（2014•常州）下列运算正确的是（　　） A．a•a3=a3B．（ab）3=a3bC．（a3）2=a6D．a8÷a4=a2 【解答】解：A、a•a3=a4，故A选项错误； B、（ab）3=a3b3，故B选项错误； C、（a3）2=a6，故C选项正确； D、a8÷a4=a4，故D选项错误．故选：C．　3．（2分）（2014•常州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（　　） A． B． C． D．【解答】解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．故选：B．第10页（共32页）　4．（2分）（2014•常州）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成 2222绩平均数均是9.2环，方差分别为S甲 =0.56，S乙 =0.60，S丙 =0.50，S丁 =0.45，则成绩最稳定的是（　　） A．甲B．乙C．丙D．丁 2222【解答】解；∵S甲 =0.56，S乙 =0.60，S丙 =0.50，S丁 =0.45， 2222∴S丁＜S丙＜S甲＜S乙， ∴成绩最稳定的是丁；故选：D．　5．（2分）（2014•常州）已知两圆半径分别为3cm，5cm，圆心距为7cm，则这两圆的位置关系为（　　） A．相交B．外切C．内切D．外离【解答】解：∵两圆的半径分别是3cm和5cm，圆心距为7cm， 5﹣3=2，3+5=8， ∴2＜7＜8， ∴两圆相交．故选：A．　6．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= 的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　） A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限【解答】解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0， ∴函数的图象位于第二，四象限．第11页（共32页）故选：D．　7．（2分）（2014•常州）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象．以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③乙走了8km后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲．其中正确的有（　　） A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，所以乙比甲提前了12分钟到达；故①正确； ②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度=10÷ =15千米/时；故 ②正确； ④设乙出发x分钟后追上甲，则有： ×x= ×（18+x），解得x=6，故④ 正确； ③由④知：乙第一次遇到甲时，所走的距离为：6× =6km，故③错误；所以正确的结论有三个：①②④，故选：B．　第12页（共32页） 8．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x 轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O， ∴⊙P的半径是1，若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，）， ∴OA=3，OB= ，由勾股定理得：AB=2 ，∠DAM=30°，设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′）， ∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°， ∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4 共三个．故选：C．　二、填空题（本大题共9小题，每小题4分，满分20分.）第13页（共32页） 9．（4分）（2014•常州）计算：|﹣1|=　1　，2﹣2=　，（﹣3）2=　9　， =　﹣2　．【解答】解：：|﹣1|=1， 2﹣2= ，（﹣3）2=9， =﹣2．故答案为：1，，9，﹣2．　10．（2分）（2014•常州）已知P（1，﹣2），则点P关于x轴的对称点的坐标是　（1，2）　．【解答】解：∵P（1，﹣2）， ∴点P关于x轴的对称点的坐标是：（1，2）．故答案为：（1，2）．　11．（2分）（2014•常州）若∠α=30°，则∠α的余角等于　60　度，sinα的值为　　．【解答】6解：∵∠A=30°， ∴∠A的余角是：90°﹣30°=60°； sinα=sin30°= ，故答案为：60，．　12．（2分）（2014•常州）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于　120　度，扇形的面积是　3πcm2　．（结果保留π）第14页（共32页）【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则 =2π，解得：n=120，扇形的面积是： =3π（cm2）．故答案是：120，3πcm2．　13．（2分）（2014•常州）已知反比例函数y= ，则自变量x的取值范围是　 x≠0　；若式子的值为0，则x=　﹣3　．【解答】解：反比例函数y= 的自变量x的取值范围是x≠0， =0，解得x=﹣3．故答案为：x≠0，﹣3．　14．（2分）（2014•常州）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是1，则m=　 2　，另一个根为　2　．【解答】解：将x=1代入方程得：1﹣3+m=0，解得：m=2，方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x=1或x=2，则另一根为2．故答案为：2，2．　15．（2分）（2014•常州）因式分解：x3﹣9xy2=　x（x+3y）（x﹣3y）　．【解答】解：x3﹣9xy2，第15页（共32页） =x（x2﹣9y2）， =x（x+3y）（x﹣3y）．　16．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=10﹣x的图象与函数y= （x＞0）的图象相交于点A，B．设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形的面积为　6　，周长为　20　．【解答】解：∵点A在函数y= （x＞0）上， ∴x1y1=6，又∵点A在函数y=10﹣x上， ∴x1+y1=10， ∴矩形的周长为2（x1+y1）=20，故答案为：6，20．　17．（2分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k ≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO=3，那么点A的坐标是　（﹣2，0）或（4，0）　．【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO=3，可得OA=3OB，则一次函数y=kx+ b中k=± ． ∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），第16页（共32页） ∴当k= 时，求可得b= ； k=﹣ 时，求可得b= ．即一次函数的解析式为y= x+ 或y=﹣ x+ ．令y=0，则x=﹣2或4， ∴点A的坐标是（﹣2，0）或（4，0）．故答案为：（﹣2，0）或（4，0）．　三、计算题（本大题共2小题，满分18分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（8分）（2014•常州）计算与化简：（1） ﹣（﹣ ）0+2tan45°；（2）x（x﹣1）+（1﹣x）（1+x）．【解答】解：（1）原式=2﹣1+2×1 =2﹣1+2 =3；（2）原式=x2﹣x+1﹣x2 =1﹣x．　19．（10分）（2014•常州）解不等式组和分式方程：第17页（共32页）（1）（2）；．【解答】解：（1），由①得：x＞﹣1，由②得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：x＞﹣1；（2）去分母得：3x+2=x﹣1，移项得：3x﹣x=﹣1﹣2，即2x=﹣3，解得：x=﹣ ，经检验x=﹣ 是分式方程的解．　四、解答题（本大题共2小题，满分15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（7分）（2014•常州）为迎接“六一”儿童节的到来，某校学生参加献爱心捐款活动，随机抽取该校部分学生的捐款数进行统计分析，相应数据的统计图如下：（1）该样本的容量是　50　，样本中捐款15元的学生有　10　人；（2）若该校一共有500名学生，据此样本估计该校学生的捐款总数．第18页（共32页）【解答】解：（1）15÷30%=50（人），50﹣15﹣25=10（人），故答案为：50，10；（2）平均每人的捐款数为： ×（5×15+10×25+15×10）=9.5（元）， 9.5×500=4750（元），答：该校学生的捐款总数为4750元．　21．（8分）（2014•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，把它们的分别编号为1，2，3，这些球除编号不同外其余都相同．（1）从箱子中随机摸出一个球，求摸出的球是编号为1的球的概率；（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编号，求两次摸出的球都是编号为3的球的概率．【解答】解：（1）从箱子中随机摸出一个球，摸出的球是编号为1的球的概率为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为3的球的概率为．第19页（共32页）　五、证明题（本大题共2小题，共12分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程） 22．（5分）（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．【解答】证明：∵C是AB的中点（已知）， ∴AC=CB（线段中点的定义）． ∵CD∥BE（已知）， ∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．　23．（7分）（2014•常州）已知：如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，连接DE，DF，BE，BF．四边形DEBF为平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．第20页（共32页）【解答】证明：如图，连结BD交AC于点O． ∵四边形DEBF为平行四边形， ∴OD=OB，OE=OF， ∵AF=CE， ∴AF﹣EF=CE﹣EF，即AE=CF， ∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC ∴四边形ABCD是平行四边形．　六、画图与应用（本大题共5小题，请在答题卡指定区域内作答，共39分） 24．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知Rt△DOE，∠ DOE=90°，OD=3，点D在y轴上，点E在x轴上，在△ABC中，点A，C在x轴上， AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN（其中点D的对应点为点 M，点E的对应点为点N），画出△OMN；第21页（共32页）（2）将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′（其中点A，B，C的对应点分别为点 A′，B′，C′），使得B′C′与（1）中的△OMN的边NM重合；（3）求OE的长．【解答】解：（1）△OMN如图所示；（2）△A′B′C′如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A′B′于点F，由作图可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，所以，B′F=B′O=OE=x，F C′=O C′=OD=3， ∵A′C′=AC=5， ∴A′F= =4， ∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，解得x=6，即OE=6．　25．（7分）（2014•常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表： x（元/件 38 36 34 32 30 28 26 第22页（共32页））t（件） 4812 16 20 24 28 假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求t与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）【解答】解：（1）设t与x之间的函数关系式为：t=kx+b，因为函数的图象经过（38，4）和（36，8）两点， ∴，解得：．故t=﹣2x+80．（2）设每天的毛利润为W元，每件服装销售的毛利润为（x﹣20）元，每天售出（80﹣2x）件，则W=（x﹣20）（80﹣2x）=﹣2×2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．　26．（8分）（2014•常州）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2， [3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞= 5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：（1）[﹣4.5]=　﹣5　，＜3.5＞=　4　．第23页（共32页）（2）若[x]=2，则x的取值范围是　2≤x＜3　；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是　 ﹣2≤y＜﹣1　．（3）已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，[﹣4.5]=﹣5，＜3.5＞=4；（2）∵[x]=2， ∴x的取值范围是2≤x＜3； ∵＜y＞=﹣1， ∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；（3）解方程组得：，∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．　27．（7分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣ x2+ x+2 的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0 ，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y=﹣ x2+ x+2的图象相交于点D ，E．（1）写出点A，点B的坐标；（2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；（3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．第24页（共32页）【解答】解：（1）当y=0时，有解得：x1=4，x2=﹣1，，∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）．（2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点， ∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处， ∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0），∴D、E两点的坐标分别为：（ ﹣m，m），（ +m，m） ∵E点在二次函数的图象上，，∴解得或（不合题意，舍去）．（3）存在． ①如图1，第25页（共32页）当∠ACF=90°，AC=FC时，过点F作FG⊥y轴于G， ∴∠AOC=∠CGF=90°， ∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°， ∴∠ACO=∠CFG， ∴△ACO≌△CFG， ∴CG=AO=4， ∵CO=2， ∴m=OG=2+4=6；反向延长FC，使得CF=CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形，易得yC﹣yF′=CG=4， ∴m=CO﹣4=2﹣4=﹣2． ②如图2，第26页（共32页）当∠CAF=90°，AC=AF时，过点F作FP⊥x轴于P， ∵∠AOC=∠APF=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°， ∴∠ACO=∠FAP， ∴△ACO≌△∠FAP， ∴FP=AO=4， ∴m=FP=4；反向延长FA，使得AF=AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形，易得yA﹣yF′=FP=4， ∴m=0﹣4=﹣4． ③如图3，第27页（共32页）当∠AFC=90°，FA=FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′，分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H． ∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°， ∴∠DFC=∠EFA， ∵∠CDF=∠AEF，CF=AF， ∴△CDF≌△AEF， ∴CD=AE，DF=EF， ∴四边形OEFD为正方形， ∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD， ∴4=2+2•CD， ∴CD=1， ∴m=OC+CD=2+1=3． ∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A， ∴∠HF′C=∠GF′A， ∵∠HF′C=∠GF′A，CF′=AF′， ∴△HF′C≌△GF′A， ∴HF′=GF′，CH=AG， ∴四边形OHF′G为正方形， ∴OH=CH﹣CO=AG﹣CO=AO﹣OG﹣CO=AO﹣OH﹣CO=4﹣OH﹣2， ∴OH=1， ∴m=﹣1． ∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣ ）2+ ∴y的最大值为，．∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜ ∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3．．第28页（共32页）综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、 ﹣2、﹣1或3．　28．（10分）（2014•常州）在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C ，直线QC交x轴于点E． ①当动点P与点B重合时，求点E的坐标； ②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S 的取值范围．【解答】解：（1）过点M作MH⊥OD于点H， ∵点M（，）， ∴OH=MH= ，∴∠MOD=45°， ∵∠AOD=90°， ∴∠AOM=45°， ∵OM=AM，第29页（共32页） ∴∠OAM=∠AOM=45°， ∴∠AMO=90°， ∴∠AMB=90°；（2）①∵OH=MH= ，MH⊥OD， ∴OM= =2，OD=2OH=2 ，∴OB=4， ∵动点P与点B重合时，OP•OQ=20， ∴OQ=5， ∵∠OQE=90°，∠POE=45°， ∴OE=5 ，∴E点坐标为（5 ，0） ②∵OD=2 ，Q的纵坐标为t， ∴S= ．如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点， ∵OP=4，OP•OQ=20， ∴OQ=5， ∵∠OFC=90°，∠QOD=45°， ∴t=QF= 此时S= ，；如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上， ∴OP=2 ，∵OP•OQ=20， ∴t=OQ=5 此时S= ，；第30页（共32页） ∴S的取值范围为5≤S≤10．　第31页（共32页）参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；wkd；HJJ；lantin；sjzx；星期八；郝老师；MMCH；qingli；gbl210；wdzyzlhx；zhjh；HLing；wdxwwzy；zjx111 ；自由人；sks；nhx600；wd1899；caicl；SPIDER；zcx（排名不分先后）菁优网 2016年7月19日第32页（共32页）