2014年广西省柳州市中考数学试卷（含解析版）

2014年广西柳州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（　　）　A． 2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（　　） ﹣1 B． C． D．　A． B．0 C． D．3 3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（　　） ﹣2 D． π　A．2 B． C． 4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（　　） 120° 30° 40° 60° D．　A． B． C． 5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（　　）　 A． ﹣1= B．（）2=5 C． 2a﹣b=ab D．[来源:学|科|网] =6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　） 1　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限[来源:Zxxk.Com] D．第四象限 7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（　　） 12岁 13岁 14岁 15岁 D．　A． B． C． 8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（　　）　A．12 B．8 C．5 D．3 9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）　 A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．直角梯形 10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（　　） 2240° 120° 60° 30° D．　A． B． C． 11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax +b=0的解是（　　） x=﹣4 x=﹣1或x=4 D．　A．无解 B．x=1 C． 12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（　　）　A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95 　二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是　． 14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　y（用“＞”或“＜”填空）． 315．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．16．（3分）（2014•柳州）方程 ﹣1=0的解是x=　． 17．（3分）（2014•柳州）将直线y= x向上平移　　个单位后得到直线y= x+7． 18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△ BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA； 2③若AC⊥BC，则S1•S2= S3 ．其中结论正确的序号是　　．　三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．　20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图． 4请你根据图表，完成下列问题：（1）补充完成下面成绩表单的填写：射击序次成绩/环 123485677989710 10 10 10 （2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩． 21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？ 22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5 ，∠A=30°． ①求BD和AD的长； ②求tan∠C的值．　523．（8分）（2014•柳州）如图，函数y= 的图象过点A（1，2）．（1）求该函数的解析式；（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值． 24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC 的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．　25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD ，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥A B的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；[来源:Z*xx*k.Com] 6（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．　26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2， y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则：x1+x2=﹣ ，x1•x2= 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0 7∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣ ，x1•x2= ∴原方程两根之和=﹣ =3，两根之积= =﹣15．　82014年广西柳州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（　　）　A． B． C． D．分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解答：解：从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形，故选：A．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．　2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（　　） ﹣1 　A． B．0 C． D．3 有理数大小比较．菁优网版权所有考点：要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．分析：解答：解：﹣1＜0＜＜3．故选：C．点评本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．：　3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（　　） ﹣2 D． π　A．2 B． C．考点无理数．菁优网版权所有：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．分析 9：解：π是无限不循环小数，故选：B．解答：点评本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．：　4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（　　） 120° 30° 40° 60° D．　A． B． C．平行线的性质．菁优网版权所有考点：根据两直线平行，同位角相等解答．分析：解：∵直线l∥OB， ∴∠1=60°．解答：故选D．点评本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．：　5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（　　））2=5 2a﹣b=ab ﹣1= 　A． B． C． D．[来（=源:学|科|网] 分式的加减法；实数的运算；合并同类项．菁优网版权所有考点：专题计算题．：A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果； B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果； C、原式不能合并，错误；分析：D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．解：A、原式=2﹣1=1；故选项错误；解答：B、原式=5，故选项正确； C、原式不能合并，故选项错误； D、原式= ，故选项错误．故选B． 10 点评此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．：　6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限[来源:Zxxk.Com] D．第四象限轴对称的性质．菁优网版权所有考点：根据轴对称的性质作出选择．分析：解：如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．故选：A．解答：点评本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．：　7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（　　） 12岁 13岁 14岁 15岁 D．　A． B． C． 11 条形统计图；众数．菁优网版权所有考点：根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．分析：解：众数是14岁．故选C．解答：点评本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．：　8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（　　）　A．12 B．8 C．5 D．3 圆与圆的位置关系．菁优网版权所有考点：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．分析：解：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．故选D．解答：点评本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．：　[来源:学科网] 9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）　 A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．直角梯形多边形．菁优网版权所有考点：根据菱形的对角线互相垂直即可判断．分析：解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互解答：相垂直．故选C．点评本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．：　12 10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（　　） 240° 120° 60° 30° D．　A． B． C．多边形内角与外角．菁优网版权所有考点：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，则6x=（6﹣2）•180°，分析：解答：解得x=120°．故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．故答案选：B．点评本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．：　11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax +b=0的解是（　　） x=﹣4 x=﹣1或x=4 D．　A．无解 B．x=1 C．抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有考点：关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．分析：解：如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0）， ∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．故选：D．解答：13 点评本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐：标．　12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（　　）　A．0.25 B．0.5 C．0.75 D．0.95 考点：列表法与树状图法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：灯泡1发光灯泡1不发光灯泡2发光（发光，发光）（发光，不发光）（不发光，发光）（不发光，不发光）灯泡2不发光所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，则P= =0.75．故选C．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是　﹣3　．考点相反数．菁优网版权所有：此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0 分析 14 ：的相反数是0．解：3的相反数就是﹣3．解答：点评此题主要考查相反数的概念．：　14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　＜　 y（用“＞”或“＜”填空）．不等式的定义．菁优网版权所有考点：由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．分析：解：如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，故答案为：＜．解答：点评本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．：　15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　5　．等腰梯形的性质．菁优网版权所有考点：根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．分析：解：∵四边形ABCD为等腰梯形， ∴AD=BC，解答：∵BC=4， ∴AD=4， ∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16， ∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5， 15 故答案为5．点评本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．：　16．（3分）（2014•柳州）方程 ﹣1=0的解是x=　2　．考点解分式方程．菁优网版权所有：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分分析：式方程的解．解：去分母得：2﹣x=0，解得：x=2，解答：经检验x=2是分式方程的解．故答案为：2．点评此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．：　17．（3分）（2014•柳州）将直线y= x向上平移　7　个单位后得到直线y= x+7．一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有考点：直接根据“上加下减”的原则进行解答．分析：解答：解：由“上加下减”的原则可知，将直线y= x向上平移7个单位所得直线的解析式为： y= x+7．故答案为：7．点评本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．：　18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△ BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA； 16 2③若AC⊥BC，则S1•S2= S3 ．其中结论正确的序号是　①②③　．全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有考点：①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； ②根据SAS即可求得全等；分析：③根据面积公式即可判断． ①S1：S2=AC2：BC2正确，解：∵△ADC与△BCE是等边三角形， ∴△ADC∽△BCE，解答：∴S1：S2=AC2：BC2． ②△BCD≌△ECA正确，证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，即∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，，∴△BCD≌△ECA（SAS）． 2③若AC⊥BC，则S1•S2= S3 正确，解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高= a，△B CE的高= ∴S1= a b， a= a2，S2= b b= b2， ∴S1•S2= a2 ∵S3= ab， b2= a2b2， 17 2∴S3 = a2b2， 2∴S1•S2= S3 ．点评本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积：　的比等于相似比的平方．三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）（2014•柳州）计算：2×（﹣5）+3．考点有理数的乘法；有理数的加法．菁优网版权所有：根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答分析：案．解：原式=﹣10+3 =﹣7．解答：点评本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号：　．20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．请你根据图表，完成下列问题：（1）补充完成下面成绩表单的填写：射击序次成绩/环 123485677989710 10 10 10 （2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．折线统计图；统计表；算术平均数．菁优网版权所有考点：根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．分析：解：（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：8，第二次射击环数为：9，第三次解答：射击环数为：7，故答案为：8，9，7．（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）．点评本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正 18 ：确找出数据． 21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？二元一次方程组的应用．菁优网版权所有考点：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，根据图示可得：大苹果的重量=小苹果+5 0g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．分析：解：设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，解答：由题意得，，解得：．答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．点评本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方程组求解．：　22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5 ，∠A=30°． ①求BD和AD的长； ②求tan∠C的值．考点解直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有：专题计算题．：分析（1）由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三：边的关系先得到BD= AB=3，再得到AD= BD=3 ；（2）先计算出CD=2 ，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解．解答解：（1）∵BD⊥AC， 19 ：∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°， ∴BD= AB=3， ∴AD= BD=3 ；（2）CD=AC﹣AD=5 ﹣3 =2 在Rt△ADC中，tan∠C= ，==．点评本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．：　23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y= 的图象过点A（1，2）．（1）求该函数的解析式；（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；（3）求证：过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有考点：（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；分析（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．：[来源:学|科|网] 解答：解：（1）∵函数y= 的图象过点A（1，2）， ∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，得2= ，解得：k=2， ∴反比例函数的解析式为y= ；（2）∵点A是反比例函数上一点， ∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2． 20 （3）设图象上任一点的坐标（x，y）， ∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2， ∴矩形的面积为定值．点评本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y= 中k的几何意义，：注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．　24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC 的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．相似三角形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．菁优网版权所有考点：专题证明题．：（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；分析：（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD， ∴∠BAE=∠CAD，解答：∵∠B=∠D， ∴△ABE∽△ADC；（2） ∵∠BAD=∠CAD， ∴弧BD=弧CD， ∵OD为半径， ∴DO⊥BC， ∵F为OD的中点， ∴OB=BD，OC=CD， 21 ∵OB=OC， ∴OB=BD=CD=OC， ∴四边形OBDC是菱形．点评本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．：　25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD ，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥A B的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；[来源:Z*xx*k.Com] （2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有考点：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌ 分析：△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠QPE=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，解答：∴∠ADP+∠APD=90°， ∴∠ADP=∠QPE， ∵EQ⊥AB， ∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS）， ∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP， ∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A， ∴△DAP∽△PBF， 22 ∴∴，，∴PA=PB， ∴PA= AB= ∴当PA= 时，△PFD∽△BFP．点评此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．：　26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2， y2）．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则：x1+x2=﹣ ，x1•x2= 能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0 ∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣ ，x1•x2= ∴原方程两根之和=﹣ =3，两根之积= =﹣15． 23 二次函数综合题；完全平方公式；根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有压轴题．考点：专题：分析：（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′ （﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n ．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1 +x2 =4k，x1•x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2﹣x1= =4 ，所以当k=0时，S△ABG 最小，最小值为4．（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．解答：∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，）， ∴ =a+1．解得：a= ． ∴二次函数的解析式为：y= x2+1．（2）解：当x=﹣1时，y= ， 24 当x=0时，y=1，当x=3时，y= ×32+1= ，结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上， ∴GP平分∠AGB． ∴直线GP是∠AGB的对称轴．过点A作GP的对称点A′，如图2，则点A′一定在BG上． ∵点A的坐标为（x1，y1）， ∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）． ∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上， ∴y1=kx1+2，y2=kx2+2． ∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）． ∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上， ∴．解得：．∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点， ∴x1、x2是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根． ∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4． ∴n= =﹣2+2=0． ∴点G的坐标为（0，0）． ∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上． ②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2， ∵直线y=kx+2与y轴相交于点P， ∴点P的坐标为（0，2）． ∴PG=2． ∴S△ABG=S△APG+S△BPG = PG•AC+ PG•BD 25 = PG•（AC+BD） = ×2×（﹣x1+x2） =x2﹣x1 ====4 ．∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4． ∴△GAB面积的最小值为4．点评本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难：度．　26