2014年广东省中考数学试卷（含解析版）

2014年广东省中考数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣3 2．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）A． B． C． D． 3．（3分）计算3a﹣2a的结果正确的是（　　） A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a 4．（3分）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（　　） A．x（x2﹣9） B．x（x﹣3）2 C．x（x+3）2 D．x（x+3）（x﹣3） 5．（3分）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 6．（3分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　） A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC 第1页（共33页） 8．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　） A．17 B．15 C．13 D．13或17 10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　） A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 　二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：2×3÷x=　　． 12．（4分）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　　． 13．（4分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则 DE=　　．第2页（共33页） 14．（4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为　　． 15．（4分）不等式组的解集是　　． 16．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°， AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于　　．　三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）计算： +|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1． 18．（6分）先化简，再求值：（ +）•（x2﹣1），其中x= ．第3页（共33页） 19．（6分）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．　四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C 的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）第4页（共33页） 21．（7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率= =）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？ 22．（7分）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有　　名；（2）把条形统计图补充完整；第5页（共33页）（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？　五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y= （m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P 坐标．第6页（共33页） 24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点 D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F 点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线． 25．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8c m．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．第7页（共33页）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．　第8页（共33页） 2014年广东省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2014•汕头）在1，0，2，﹣3这四个数中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C．2 D．﹣3 【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：﹣3＜0＜1＜2，故选：C．【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．　2．（3分）（2014•汕头）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选C．第9页（共33页）【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　3．（3分）（2014•汕头）计算3a﹣2a的结果正确的是（　　） A．1 B．a C．﹣a D．﹣5a 【考点】合并同类项．菁优网版权所有【分析】根据合并同类项的法则，可得答案．【解答】解：原式=（3﹣2）a=a，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．　4．（3分）（2014•汕头）把x3﹣9x分解因式，结果正确的是（　　） A．x（x2﹣9） B．x（x﹣3）2 C．x（x+3）2 D．x（x+3）（x﹣3）【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【专题】因式分解．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣9x， =x（x2﹣9）， =x（x+3）（x﹣3）．故选：D．第10页（共33页）【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．　5．（3分）（2014•汕头）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（　　）A．10 B．9 C．8 D．7 【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=900°，解得n=7．故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．　6．（3分）（2014•汕头）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（　　）A． B． C． D．【考点】概率公式．菁优网版权所有【分析】直接根据概率公式求解即可．【解答】解：∵装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率= ．故选：B．第11页（共33页）【点评】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．　7．（3分）（2014•汕头）如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　） A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB=BC 【考点】平行四边形的性质．菁优网版权所有【分析】根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．【解答】解：A、AC≠BD，故A选项错误； B、AC不垂直于BD，故B选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确； D、AB≠BC，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．　8．（3分）（2014•汕头）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D．【考点】根的判别式．菁优网版权所有【专题】判别式法．【分析】先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．第12页（共33页）【解答】解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．　9．（3分）（2014•汕头）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　） A．17 B．15 C．13 D．13或17 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．菁优网版权所有【专题】分类讨论．【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．　10．（3分）（2014•汕头）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）第13页（共33页） A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A 选项不符合题意； B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意； C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意； D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．　第14页（共33页）二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2014•汕头）计算：2×3÷x=　2×2　．【考点】整式的除法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】直接利用整式的除法运算法则求出即可．【解答】解：2×3÷x=2×2．故答案为：2×2．【点评】此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．　12．（4分）（2014•汕头）据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为　6.18×108　．【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将618 000 000用科学记数法表示为：6.18×108．故答案为：6.18×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　第15页（共33页） 13．（4分）（2014•汕头）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=　3　．【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有【分析】由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．【解答】解：∵D、E是AB、AC中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴ED= BC=3．故答案为：3．【点评】本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．　14．（4分）（2014•汕头）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　3　．【考点】垂径定理；勾股定理．菁优网版权所有【分析】作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC= AB=4，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，第16页（共33页） ∵OC⊥AB， ∴AC=BC= AB= ×8=4，在Rt△AOC中，OA=5， ∴OC= ==3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．　15．（4分）（2014•汕头）不等式组的解集是　1＜x＜4　．【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜4；由②得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜4．故答案为：1＜x＜4．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．第17页（共33页）　16．（4分）（2014•汕头）如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分的面积等于　 ﹣1　．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD= BC=1 ，AF=FC′=sin45°AC′= AC′=1，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC=90°，AB=A C= ，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°， ∴AD⊥BC，B′C′⊥AB， ∴AD= BC=1，AF=FC′=sin45°AC′= AC′=1， ∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′= ×1×1﹣ ×（ ﹣1）2= ﹣1．故答案为： ﹣1．第18页（共33页）【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出 AD，AF，DC′的长是解题关键．　三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）（2014•汕头）计算： +|﹣4|+（﹣1）0﹣（）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=3+4+1﹣2 =6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．　18．（6分）（2014•汕头）先化简，再求值：（ x= 【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有 +）•（x2﹣1），其中．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式= •（x2﹣1） =2x+2+x﹣1 =3x+1，第19页（共33页）当x= 时，原式= ．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．　19．（6分）（2014•汕头）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【考点】作图—基本作图；平行线的判定．菁优网版权所有【专题】作图题．【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE= ∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A= ∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE= ∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A= ∠BDC， ∴∠A=∠BDE，第20页（共33页） ∴DE∥AC．【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．　四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 20．（7分）（2014•汕头）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B 处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据： ≈1.414 ，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有【专题】几何图形问题．【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，第21页（共33页） ∴∠A=∠ACB， ∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10× =5 ≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．　21．（7分）（2014•汕头）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．（1）求这款空调每台的进价（利润率= =）．（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有【专题】销售问题．【分析】（1）利用利润率= =这一隐藏的等量关系列出方程即可；（2）用销售量乘以每台的销售利润即可．【解答】解：（1）设这款空调每台的进价为x元，根据题意得： =9%，解得：x=1200，经检验：x=1200是原方程的解．答：这款空调每台的进价为1200元；（2）商场销售这款空调机100台的盈利为：100×1200×9%=10800元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是了解利润率的求法．第22页（共33页）　22．（7分）（2014•汕头）某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有　1000　名；（2）把条形统计图补充完整；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有【专题】图表型．【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；（2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；（3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐，再根据全校的总人数是18000人，列式计算即可．【解答】解：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；故答案为：1000；第23页（共33页）（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，补图如下；（3）18000× =3600（人）．答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 23．（9分）（2014•广东）如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y= （m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，B D⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P 坐标．第24页（共33页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有【专题】代数几何综合题．【分析】（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解答】解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）设一次函数的解析式为y=kx+b， y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则，解得一次函数的解析式为y= x+ ，反比例函数y= 图象过点（﹣1，2）， m=﹣1×2=﹣2；第25页（共33页）（3）连接PC、PD，如图，设P（x， x+ ）由△PCA和△PDB面积相等得 × ×（x+4）= ×|﹣1|×（2﹣ x﹣ ）， x=﹣ ，y= x+ = ， ∴P点坐标是（﹣ ，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．　24．（9分）（2014•汕头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O 作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交 BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．第26页（共33页）【考点】切线的判定；弧长的计算．菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据弧长计算公式l= 进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；（3）连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．【解答】（1）解：∵AC=12， ∴CO=6， ∴==2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∠PEA=90°，∠ADO=90° 在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS）， ∴OD=EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC， ∵OA=OP， ∴∠OAP=∠OPA，由（2）得OD=EO， ∴∠ODE=∠OED，第27页（共33页）又∵∠AOP=∠EOD， ∴∠OPA=∠ODE， ∴AP∥DF， ∵AC是直径， ∴∠APC=90°， ∴∠PQE=90° ∴PC⊥EF，又∵DP∥BF， ∴∠ODE=∠EFC， ∵∠OED=∠CEF， ∴∠CEF=∠EFC， ∴CE=CF， ∴PC为EF的中垂线， ∴∠EPQ=∠QPF， ∵△CEP∽△CAP ∴∠EPQ=∠EAP， ∴∠QPF=∠EAP， ∴∠QPF=∠OPA， ∵∠OPA+∠OPC=90°， ∴∠QPF+∠OPC=90°， ∴OP⊥PF， ∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r． ∵OD⊥AB，∠ABC=90°， ∴OD∥BF，∴△ODE≌△CFC 又∵OD=OE，∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC ∴BF=BC+FC=r+ BC 第28页（共33页） ∵PD=r+OD=r+ BC ∴PD=BF 又∵PD∥BF，且∠DBF=90°， ∴四边形DBFP是矩形 ∴∠OPF=90° OP⊥PF， ∴PF是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．　25．（9分）（2014•汕头）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC =10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线 m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．第29页（共33页）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题；动点型．【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD， ∴EF为AD的垂直平分线， ∴AE=DE，AF=DF． ∵AB=AC，AD⊥BC于点D， ∴AD⊥BC，∠B=∠C． ∴EF∥BC， ∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE，第30页（共33页） ∴AE=AF， ∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴，即，解得：EF=10﹣ t． S△PEF= EF•DH= （10﹣ t）•2t=﹣ t2+10t=﹣ （t﹣2）2+10（0＜t＜）， ∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．（3）解：存在．理由如下： ①若点E为直角顶点，如答图3①所示，此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t． ∵PE∥AD，∴ ，即，此比例式不成立，故此种情形不存在； ②若点F为直角顶点，如答图3②所示，此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10﹣3t． ∵PF∥AD，∴ ，即，解得t= ；第31页（共33页） ③若点P为直角顶点，如答图3③所示．过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥F N∥AD． ∵EM∥AD，∴ ∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t．在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE2=EM2+PM2=（2t）2+（ t）2= ∵FN∥AD，∴ ，即，解得CN= t，，即，解得BM= t， t2． ∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t．在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10﹣ t）2= t2﹣8 5t+100．在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10﹣ t）2=（ t2）+（ t2﹣85t+100）化简得：解得：t= t2﹣35t=0，或t=0（舍去） ∴t= ．综上所述，当t= 秒或t= 秒时，△PEF为直角三角形．【点评】本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第第32页（共33页）（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．　第33页（共33页）