2014年四川省资阳市中考数学试卷（含解析版）

2014年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．（3分）(2014年四川资阳) 　 A． B．﹣2 的相反数是（　　） C． D．2 2．（3分）(2014年四川资阳)下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）　 A． B． C． D． 3．（3分）(2014年四川资阳)下列运算正确的是（　　）　 A．a3+a4=a7 B．2a3•a4=2a7 C．（2a4）3=8a7 D．a8÷a2=a4 4．（3分）(2014年四川资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　）　 A．5×1010千克 B．50×109千克 C．5×109千克 D．0.5×1011千克 5．（3分）(2014年四川资阳)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（3分）(2014年四川资阳)下列命题中，真命题是（　　）　 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形　 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形　 C．对角线垂直的梯形是等腰梯形　 D．对角线相等的菱形是正方形 7．（3分）(2014年四川资阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（　　）　 A．55° B．60° C．65° D．80° 8．（3分）(2014年四川资阳)甲、乙两名同学进行了6轮投篮比赛，两人的得分情况统计如下：第1轮 10 第2轮 14 第3轮 12 第4轮 18 第5轮 16 第6轮 20 甲乙12 11 914 22 16 下列说法不正确的是（　　）　 A．甲得分的极差小于乙得分的极差　 B．甲得分的中位数大于乙得分的中位数　 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数　 D．乙的成绩比甲的成绩稳定 9．（3分）(2014年四川资阳)如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（　　）　 A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣D． ﹣10．（3分）(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个　二、填空题：（本大题共6各小题，每小题3分，共18分）把答案直接填在题中横线上． 11．（3分）(2014年四川资阳)计算： +（ ﹣1）0=　． 12．（3分）(2014年四川资阳)某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为　　人． 13．（3分）(2014年四川资阳)函数y=1+ 中自变量x的取值范围是　　． 14．（3分）(2014年四川资阳)已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5 x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是　　． 15．（3分）(2014年四川资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　． 16．（3分）(2014年四川资阳)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P 1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，… ，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　　．　三、解答题：（本大题共8小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（7分）(2014年四川资阳)先化简，再求值：（a+ a﹣2=0．）÷（a﹣2+ ），其中，a满足　18．（8分）(2014年四川资阳)阳光中学组织学生开展社会实践活动，调查某社区居民对消防知识的了解程度（A：特别熟悉，B：有所了解，C：不知道），在该社区随机抽取了10 0名居民进行问卷调查，将调查结果制成如图所示的统计图，根据统计图解答下列问题：（1）若该社区有居民900人，是估计对消防知识“特别熟悉”的居民人数；（2）该社区的管理人员有男、女个2名，若从中选2名参加消防知识培训，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中一男一女的概率．　19．（8分）(2014年四川资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A 在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．　20．（8分）(2014年四川资阳)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣ ，0），且与反比例函数y= （m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？　21．（9分）(2014年四川资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2 ，求AE的长．　22．（9分）(2014年四川资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20×1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10×2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1 200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（ 1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．　23．（11分）(2014年四川资阳)如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2 于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E （点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．（1）求证：△ABP≌△CBE；（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2． ①当 =2时，求证：AP⊥BD； ②当 =n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．　24．（12分）(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0 ），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S． 2014年四川省资阳市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1．（3分）(2014年四川资阳) 的相反数是（　　）　 A． B．﹣2 C． D．2 【考点】相反数．【专题】计算题．【分析】根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：由相反数的定义可知，﹣ 的相反数是﹣（﹣ ）= ．故选C．【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫互为相反数．　2．（3分）(2014年四川资阳)下列立体图形中，俯视图是正方形的是（　　）　 A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解；A、的俯视图是正方形，故A正确； B、D的俯视图是圆，故A、D错误； C、的俯视图是三角形，故C错误；故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．　3．（3分）(2014年四川资阳)下列运算正确的是（　　）　 A．a3+a4=a7 B．2a3•a4=2a7 C．（2a4）3=8a7 D．a8÷a2=a4 【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【分析】根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、a3和a4不能合并，故本选项错误； B、2a3•a4=2a7，故本选项正确； C、（2a4）3=8a12，故本选项错误； D、a8÷a2=a6，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的计算能力和判断能力．　4．（3分）(2014年四川资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为（　　）　 A．5×1010千克 B．50×109千克 C．5×109千克 D．0.5×1011千克【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于500亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：500亿=50 000 000 000=5×1010．故选A．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．　5．（3分）(2014年四川资阳)一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有【分析】先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0， ∴图象过一、二、四象限， ∴图象不经过第三象限．故选C．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过二、四象限，当b＞0时，函数图象与y轴相交于正半轴．　6．（3分）(2014年四川资阳)下列命题中，真命题是（　　）　 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形　 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形　 C．对角线垂直的梯形是等腰梯形　 D．对角线相等的菱形是正方形【考点】命题与定理．菁优网版权所有【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有可能是等腰梯形，故错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误； C、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误； D、正确，故选D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大．　7．（3分）(2014年四川资阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（　　）　 A．55° B．60° C．65° D．80° 【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得出△ABB1是等边三角形，即可得出旋转角度．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1 的位置，点B1恰好落在边BC的中点处， ∴AB1= BC，BB1=B1C，AB=AB1， ∴BB1=AB=AB1， ∴△ABB1是等边三角形， ∴∠BAB1=60°， ∴旋转的角度等于60°．故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△ABB1是等边三角形是解题关键．　8．（3分）(2014年四川资阳)甲、乙两名同学进行了6轮投篮比赛，两人的得分情况统计如下：第1轮 10 第2轮 14 第3轮 12 第4轮 18 第5轮 16 第6轮 20 甲乙12 11 914 22 16 下列说法不正确的是（　　）　 A．甲得分的极差小于乙得分的极差　 B．甲得分的中位数大于乙得分的中位数　 C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数　 D．乙的成绩比甲的成绩稳定【考点】方差；算术平均数；中位数；极差．菁优网版权所有【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的求法分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、甲的极差是20﹣10=10，乙的极差是：22﹣9=13，则甲得分的极差小于乙得分的极差，正确； B、甲得分的中位数是（14+16）÷2=15，乙得分的中位数是：（12+14）÷2=13，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，正确； C、甲得分的平均数是：（10+14+12+18+16+20）÷6=15，乙得分的平均数是：（12+11+9+ 14+22+16）÷6=14，则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，正确； D、甲的方差是： [（10﹣15）2+（14﹣15）2+（12﹣15）2+（18﹣15）2+（16﹣15）2+（ 20﹣15）2]= 乙的方差是： [（12﹣14）2+（11﹣14）2+（9﹣14）2+（14﹣14）2+（22﹣14）2+（16﹣ 14）2]= ，，∵甲的方差＜乙的方差， ∴甲的成绩比乙的成绩稳定；故本选项错误；故选D．【点评】此题考查了方差，用到的知识点是极差、中位数、平均数和方差的求法，掌握方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立是本题的关键．　9．（3分）(2014年四川资阳)如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（　　）　 A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣D． ﹣【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有【分析】连接OC，分别求出△AOC、△BOC、扇形AOC，扇形BOC的面积，即可求出答案．【解答】解：连接OC， ∵∠AOB=120°，C为弧AB中点， ∴∠AOC=∠BOC=60°， ∵OA=OC=OB=2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形， ∴AC=BC=OA=2， ∴△AOC的边AC上的高是 =，△BOC边BC上的高为 ∴阴影部分的面积是故选A．，﹣ ×2× +﹣ ×2× = π﹣2 ，【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是能求出各个部分的面积，题目比较好，难度适中．　10．（3分）(2014年四川资阳)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　）　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．【解答】解：∵抛物线和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，∴①正确； ∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，∴②错误； ∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0， ∴2a+2b+2c＜0， ∵b=2a， ∴3b，2c＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0 的解的方法．同时注意特殊点的运用．　二、填空题：（本大题共6各小题，每小题3分，共18分）把答案直接填在题中横线上． 11．（3分）(2014年四川资阳)计算： +（ ﹣1）0=　3　．【考点】实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有【分析】分别根据数的开方法则、0指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=2+1 =3．故答案为：3．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、0指数幂的运算法则是解答此题的关键．　12．（3分）(2014年四川资阳)某校男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校师生的总人数为1500人，结合图中信息，可得该校教师人数为　120　人．【考点】扇形统计图．菁优网版权所有【分析】用学校总人数乘以教师所占的百分比，计算即可得解．【解答】解：1500×（1﹣48%﹣44%） =1500×8% =120．故答案为：120．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．　13．（3分）(2014年四川资阳)函数y=1+ 中自变量x的取值范围是　x≥﹣3　．【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．　14．（3分）(2014年四川资阳)已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5 x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是　相离　．【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系．菁优网版权所有【分析】由⊙O1与⊙O2的半径r1、r2分别是方程x2﹣5x+5=0的两实根，根据根与系数的关系即可求得⊙O1与⊙O2的半径r1、r2的和，又由⊙O1与⊙O2的圆心距d=6，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根， ∴两半径之和为5，解得：x=4或x=2， ∵⊙O1与⊙O2的圆心距为6， ∴6＞5， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相离．故答案为：相离．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的根与系数的关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．　15．（3分）(2014年四川资阳)如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　6　．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．菁优网版权所有【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE= ==5， ∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．　16．（3分）(2014年四川资阳)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P 1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，… ，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　（，）　．【考点】规律型：点的坐标；等边三角形的性质．菁优网版权所有【分析】根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2 ，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．【解答】解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是 =，P6的纵坐标为故答案为：（，，）．【点评】本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．　三、解答题：（本大题共8小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（7分）(2014年四川资阳)先化简，再求值：（a+ ）÷（a﹣2+ ），其中，a满足 a﹣2=0．【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式= ÷==•，当a﹣2=0，即a=2时，原式=3．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　18．（8分）(2014年四川资阳)阳光中学组织学生开展社会实践活动，调查某社区居民对消防知识的了解程度（A：特别熟悉，B：有所了解，C：不知道），在该社区随机抽取了10 0名居民进行问卷调查，将调查结果制成如图所示的统计图，根据统计图解答下列问题：（1）若该社区有居民900人，是估计对消防知识“特别熟悉”的居民人数；（2）该社区的管理人员有男、女个2名，若从中选2名参加消防知识培训，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中一男一女的概率．【考点】条形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有【分析】（1）先求的在调查的居民中，对消防知识“特别熟悉”的居民所占的百分比，再估计该社区对消防知识“特别熟悉”的居民人数的百分比乘以900即可；（2）记A1、A2表示两个男性管理人员，B1，B2表示两个女性管理人员，列出树状图，再根据概率公式求解．【解答】解：（1）在调查的居民中，对消防知识“特别熟悉”的居民所占的百分比为： ×100%=25%，该社区对消防知识“特别熟悉”的居民人数估计为900×25%=225；（2）记A1、A2表示两个男性管理人员，B1，B2表示两个女性管理人员，列表或树状图如下：故恰好选中一男一女的概率为：．【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．　19．（8分）(2014年四川资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A 在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有【分析】过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD= =x，再由BD+CD=4，得出方程 x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD= ，即tan60°= 所以BD= x，又BC=4，即BD+CD=4，所以 x+x=4，解得x=6﹣2 ，=．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2 ）公里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．　20．（8分）(2014年四川资阳)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣ ，0），且与反比例函数y= （m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．【解答】解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣ ，0）和A（﹣2，1）， ∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y= （m≠0）的图象过点A（﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．　21．（9分）(2014年四川资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2 ，求AE的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则∠B+∠BAD=90°，再根据切线的性质得AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，根据三角形相似的判定方法即可得到△CDE∽△CAD；（2）在Rt△AOC中，OA=1AC=2 ，根据勾股定理可计算出OC=3，则CD=OC﹣OD=2，然后利用△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD；（2）解：∵AB=2， ∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2 ，∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴=，即．=，∴CE= 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．　22．（9分）(2014年四川资阳)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20×1+1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10×2+1300（0＜x2≤20，x2为整数）．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1 200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（ 1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【考点】二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．【解答】解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，由题意得，，解不等式①得，x≥11，解不等式②得，x≤15，所以，不等式组的解集是11≤x≤15， ∵x为正整数， ∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以，该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元， y2=﹣10×2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2， =1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）， =1760x+20×2﹣1500x+10×2﹣800x+12000， =30×2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570，当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．【点评】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，（1）关键在于确定出两个不等关系，（2）难点在于用空调的台数表示出冰箱的台数并列出利润的表达式．　23．（11分）(2014年四川资阳)如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2 于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E （点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．（1）求证：△ABP≌△CBE；（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2． ①当 =2时，求证：AP⊥BD； ②当 =n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．【考点】相似形综合题．菁优网版权所有【分析】（1）求出∠ABP=∠CBE，根据SAS推出即可；（2）①延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可； ②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵BC⊥直线l1， ∴∠ABP=∠CBE，在△ABP和△CBE中 ∴△ABP≌△CBE（SAS）；（2）①证明：延长AP交CE于点H， ∵△ABP≌△CBE， ∴∠PAB=∠ECB， ∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°， ∴AP⊥CE， ∵=2，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2， ∴△CPD∽△BPE， ∴== ， ∴DP=PE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴CE∥BD， ∵AP⊥CE， ∴AP⊥BD； ②解：∵ =N ∴BC=n•BP， ∴CP=（n﹣1）•BP， ∵CD∥BE， ∴△CPD∽△BPE， ∴==n﹣1，即S2=（n﹣1）S， ∵S△PAB=S△BCE=n•S， ∴△PAE=（n+1）•S， =n﹣1， ∵=∴S1=（n+1）（n﹣1）•S， ∴==n+1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．　24．（12分）(2014年四川资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0 ），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE 交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m≤ 时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）； ②当AB=AM时，M（0，﹣3）； ③当AB=BM时，M（0，3+3 ）或M（0，3﹣3 ）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3 ）、（0，3﹣3 ）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3． △AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G（，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中． ①当0＜m≤ 时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）．故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM = PE2﹣ PK2﹣ AF•h = ﹣ （3﹣m）2﹣ m•2m =﹣ m2+3m． ②当＜m＜3时，如图2所示．设PE交AB于K，交AC于H．因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，所以当x=m时，得y=6﹣2m，所以点H（m，6﹣2m）．故S=S△PAH﹣S△PAK = PA•PH﹣ PA2 =﹣ （3﹣m）•（6﹣2m）﹣ （3﹣m）2 = m2﹣3m+ ．综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．