2014年四川省泸州市中考数学试卷（含解析版）

2014年四川省泸州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.） 1． 5的倒数为（　　） ﹣5 D．　A． B．5 C． 3．如图的几何图形的俯视图为（　　）　A． B． C． D． 5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　） 30° 60° 120° 150° ﹣4 　A． 6．已知实数x、y满足 ﹣2 B． C． D． D． +|y+3|=0，则x+y的值为（　　） C．4 　A． B．2 7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（　　）　A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y= 的大致图象是（　　）　A． B． C． D． 9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（　　） 1 / 26 10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）　A．外切 B．相交 C．内含 D．内切 11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（　　）　A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）　A．4 B． C． D．　2 / 26 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.） 13．分解因式：3a2+6a+3=　．14．使函数y= +有意义的自变量x的取值范围是　　　． 15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　．16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B （4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题： ①若k=4，则△OEF的面积为； ②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上； ③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12； ④若DE•EG= ，则k=1．其中正确的命题的序号是　　（写出所有正确命题的序号）．　三、（本大题共3小题，每题6分，共18分） 17．（6分）（2014•泸州）计算： ﹣4sin60°+（π+2）0+（）﹣2 ．　18．（6分）（2014•泸州）计算（ ﹣）÷ ．　3 / 26 19．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF ，垂足为点G．求证：AE=BF．　四、（本大题共1小题，每题7分，共14分） 20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．　4 / 26 五、（本大题共3小题，每题8分，共16分） 21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．　22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）　23．（8分）（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．　5 / 26 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD= ，求DF的长．　25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y1= x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b 的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程的根，求a的值； =0 （3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标． 6 / 26 2014年四川省泸州市中考数学试卷　　参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分.只有一项是符合题目要求的.） 1． 5的倒数为（　　） ﹣5 D．　A． B．5 C．解答：解：5的倒数是，故选：A．点评本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．：2．计算x2•x3的结果为（　　） 2536　A． B． C． D． 2x x2x x解：原式=x2+3 =x5．解答：故选：B．点评本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键．：　3．如图的几何图形的俯视图为（　　）　A． B． C． D．解：从上面看：里边是圆，外边是矩形，故选：C．解答：点评本题考查了简单组合体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．：　4．某校八年级（2）班5名女同学的体重（单位：kg）分别为35，36，40，42，42，则这组数据的中位数是（　　）　A．38 解答：B．39 C．40 D．42 解：题目中数据共有5个，中位数是按从小到大排列后第3个数作为中位数，故这组数据的中位数是40．故选C．点评本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．要明确定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，比较简单．：5．如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　） 7 / 26 30° 60° 120° 150° D．　A． B． C．解：由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC， ∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，故选：C．解答：点评本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．：　6．已知实数x、y满足 ﹣2 +|y+3|=0，则x+y的值为（　　） C．4 ﹣4 D．　A． B．2 解答：解：∵ +|y+3|=0， ∴x﹣1=0，y+3=0； ∴x=1，y=﹣3， ∴原式=1+（﹣3）=﹣2 故选：A．点评本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．：　7．一个圆锥的底面半径是6cm，其侧面展开图为半圆，则圆锥的母线长为（　　）　A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 解答解：圆锥的母线长=2×π×6× 故选B． =12cm，：点评本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．：8．已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y= 的大致图象是（　　）　A． B． C． D． 8 / 26 解：抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点， ∴△=（﹣2）2﹣4（m+1）＞0 解得m＜0，解答：∴函数y= 的图象位于二、四象限，故选：A．点评本题考查了反比例函数图象，先求出m的值，再判断函数图象的位置．：　9． “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是（　　） 2小时 2.2小时 2.25小时 2.4小时 D．　A．解答：B． C．解：设AB段的函数解析式是y=kx+b， y=kx+b的图象过A（1.5，90），B（2.5，170），，解得 ∴AB段函数的解析式是y=80x﹣30，离目的地还有20千米时，即y=170﹣20=150km，当y=150时，80x﹣30=150 x=2.25h，故选：C．点评本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值：　．10．如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2都在直线l上，且半径分别为2cm，3cm，O1O2=8cm．若⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右匀速运动（⊙O2保持静止），则在7s时刻⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　） 9 / 26 　A．外切 B．相交 C．内含 D．内切解：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，解答：∴7s后两圆的圆心距为：1cm，此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm， ∴此时内切，故选D．点评本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的移动速度确定两圆的圆心距，然后根据圆心距和两圆的半径确定答案．：　11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（　　）　A． B． C． D．解答解：作FG⊥AB于点G，：∵∠DAB=90°， ∴AE∥FG， ∴=，∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG=FC，在RT△BGF和RT△BCF中， ∴RT△BGF≌RT△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45°， ∴AB= BC， ∴====+1．故选：C． 10 / 26 点评本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB= BC再利用比例式求解.. ：　12．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　）　A．4 B． C． D．解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC=3，PC=a，解答：把x=3代入y=x得y=3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD=3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， ∴AE=BE= AB= ×4 =2 ，在Rt△PBE中，PB=3， ∴PE= ，∴PD= PE= ，∴a=3+ ．故选B． 11 / 26 点评本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．：　二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.请将最后答案直接填在题中横线上.） 13．分解因式：3a2+6a+3=　3（a+1）2　．解：3a2+6a+3，解答 =3（a2+2a+1），：=3（a+1）2．故答案为：3（a+1）2．点评本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．：　14．使函数y= +有意义的自变量x的取值范围是　x＞﹣2，且x≠1　．解：根据题意得：x+2≥0且（x﹣1）（x+2）≠0，解得x≥﹣2，且x≠1，x≠﹣2，解答：故答案为：x＞﹣2，且x≠1．点评本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．：　15．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　4 　．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，解答：∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2=32， ∴两条对角线互相垂直， ∴这个四边形是菱形， S= 4×2 =4 ．点评本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半．：　12 / 26 16．（3分）（2014•泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B （4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题： ①若k=4，则△OEF的面积为； ②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上； ③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12； ④若DE•EG= ，则k=1．其中正确的命题的序号是　②④　（写出所有正确命题的序号）．反比例函数综合题．菁优网版权所有考点：分析：（1）若k=4，则计算S△OEF =≠ ，故命题①错误；（2）如答图所示，若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG= ，求出k=1，故命题④正确．解：命题①错误．理由如下： ∵k=4，解答：∴E（，3），F（4，1）， ∴CE=4﹣ = ，CF=3﹣1=2． ∴S△OEF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△CEF =S矩形AOBC﹣ OA•AE﹣ OB•BF﹣ CE•CF 13 / 26 =4×3﹣ ×3× ﹣ ×4×1﹣ × ×2=12﹣2﹣2﹣ = ，∴S△OEF≠ ，故命题①错误；命题②正确．理由如下： ∵k= ∴E（，3），F（4，）， ∴CE=4﹣ = ，CF=3﹣ ，=．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM= ；在线段BM上取一点N，使得EN=CE= ，连接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN= ∴BN=OB﹣OM﹣MN=4﹣ ﹣ = ． == ，在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF= ==．∴NF=CF，又∵EN=CE， ∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，故命题②正确；命题③错误．理由如下：由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；命题④正确．理由如下：为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．设直线EF的解析式为y=ax+b，则有 14 / 26 ，解得，∴y= x+3m+3．令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．在Rt△ADE中，AD=AD=OD﹣OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；在Rt△MEG中，MG=OG﹣OM=（4m+4）﹣4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5． ∴DE•EG=5m×5=25m= ，解得m= ，∴k=12m=1，故命题④正确．综上所述，正确的命题是：②④，故答案为：②④．点评本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．：　三、（本大题共3小题，每题6分，共18分） ﹣4sin60°+（π+2）0+（）﹣2 17．（6分）（2014•泸州）计算：．实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有考点：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．分析：解答：解：原式=2 ﹣4× +1+4 =5．点评本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．：　18．（6分）（2014•泸州）计算（ ﹣）÷ ．考点分式的混合运算．菁优网版权所有：首先把除法运算转化成乘法运算，然后找出最简公分母，进行通分，化简．分析：15 / 26 解答：解：原式=（ ﹣）• =（ ﹣）•（﹣ ）， =﹣ =﹣ •，．点评此题主要考查了分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．：　19．（6分）（2014•泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF ，垂足为点G．求证：AE=BF．全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有考点：专题证明题．：根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可分析：得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案．证明：∵正方形ABCD， ∴∠ABC=∠C，AB=BC． ∵AE⊥BF，解答：∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°， ∵∠ABG+∠FNC=90°， ∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF． 16 / 26 点评本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．：　四、（本大题共1小题，每题7分，共14分） 20．（7分）（2014•泸州）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法．菁优网版权所有考点：（1）根据所有等级的百分比的和为1，则可计算出x=30，再利用A等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数为200人，然后分别乘以30%和20%得到B等级和C等级人数，再将条形统计图补充完整；分析：（2）满足2≤t＜4的人数就是B和C等级的人数，用2500乘以B、C两等级所占的百分比的和即可；（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图展示所有20 种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，然后利用概率公式求解．解答解：（1）∵x%+15%+10%+45%=1，：∴x=30； ∵调查的总人数=90÷45%=200（人）， ∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人），如图：（2）2500×（10%+30%）=1000（人），所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人； 17 / 26 （3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：，共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，所以选出的2人来自不同小组的概率= =．点评本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．：　五、（本大题共3小题，每题8分，共16分） 21．（7分）（2014•泸州）某工厂现有甲种原料280千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．设生产A、B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如何安排A、B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值．一次函数的应用．菁优网版权所有考点：（1）根据等量关系：利润=A种产品的利润+B中产品的利润，可得出函数关系式；（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系总利润═A种产品的利润+B中产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润．分析：解：（1）y=700x+1200（50﹣x），解答：即y=﹣500x+60000；（2）由题意得解得16≤x≤30 ，18 / 26 y=﹣500x+60000， y随x的增大而减小，当x=16时，y最大=58000，生产B种产品34件，A种产品16件，总利润y有最大值，y最大=58000元．点评本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．：　22．（8分）（2014•泸州）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有考点：根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN，NC的长进而求出BN即可得出答案分析：．解：如图所示：解答：由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，过点A作AF⊥FD，垂足为F，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°， ∴AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x， ∴tan30°= ==，解得：x=15（ +1）， ∵tan30°= ，∴ =，解得：BN=15+5 ，∴AB=AN+BN=15（ +1）+15+5 =30+20 答：灯塔A、B间的距离为（30+20 ）海里．，19 / 26 点评此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键．：　23．（8分）（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有考点：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m 的值即可；分析：（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根， ∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；解答：当m=﹣4时原方程无解， ∴m=6；（2）当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根， ∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2， ∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3， ∵3+3＜7， ∴不能构成三角形；当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15 ∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17． 20 / 26 点评本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．：　六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．（12分）（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD= ，求DF的长．相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有考点：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．分析：（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC= ，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC= ，再证明△AFD∽△A CB，得，则可设FD=x，AF= ，在Rt△AFP中，求得DF= ．（1）证明：∵DC2=CE•CA，解答：∴=，△CDE∽△CAD， ∴∠CDB=∠DBC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC， 21 / 26 ∵BC=CD， ∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠DAC=∠ACO， ∴AD∥OC， ∴=，∵PB=OB，CD= ，∴=∴PC=4 又∵PC•PD=PB•PA ∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中， AC= ==2 ，∵AB是直径， ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB ∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90° ∴△AFD∽△ACB ∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF= ∴在RT△APF中有，，，求得DF= ．点评本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．：　22 / 26 25．（12分）（2014•泸州）如图，已知一次函数y1= x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b 的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣ ，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0 的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．二次函数综合题．菁优网版权所有考点：（1）首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后求出其最大值；分析：（2）联立y1与y2得，求出点C的坐标为C（，），因此使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜，得s=1+2+3=6；将s的值代入分式方程，求出a的值；（3）第1步：首先确定何时四边形DEFG的面积最大．如答图1，四边形DEFG是一个梯形，将其面积用含有未知数的代数式表示出来，这个代数式是一个二次函数，根据其最值求出未知数的值，进而得到面积最大时点D、E的坐标；第2步：利用几何性质确定PD+PE最小的条件，并求出点P的坐标．如答图2，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，与x轴交于点P．根据轴对称及两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．利用待定系数法求出直线D′E的解析式，进而求出点P的坐标．解：（1）∵二次函数y2=﹣x2+mx+b经过点B（0，1）与A（2﹣ ，0），解答：∴，解得 ∴l：y1= x+1； C′：y2=﹣x2+4x+1． y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5， 23 / 26 ∴ymax=5；（2）联立y1与y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x= ，当x= 时，y1= × +1= ∴C（，）．，使y2＞y1成立的x的取值范围为0＜x＜， ∴s=1+2+3=6．代入方程得解得a= ；（3）∵点D、E在直线l：y1= x+1上， ∴设D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．如答图1，过点E作EH⊥DG于点H，则EH=q﹣p，DH= （q﹣p）． 2在Rt△DEH中，由勾股定理得：DE2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[ （q﹣p）]2=（），解得q﹣p=2，即q=p+2． ∴EH=2，E（p+2， p+2）．当x=p时，y2=﹣p2+4p+1， ∴G（p，﹣p2+4p+1）， ∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（ p+1）=﹣p2+ p；当x=p+2时，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5， ∴F（p+2，﹣p2+5） 24 / 26 ∴EF=（﹣p2+5）﹣（ p+2）=﹣p2﹣ p+3．四边形DEFG= （DG+EF）•EH= [（﹣p2+ p）+（﹣p2﹣ p+3）]×2=﹣2p2+3p+3 ∴当p= 时，四边形DEFG的面积取得最大值， ∴D（，）、E（）． S，如答图2所示，过点D关于x轴的对称点D′，则D′（，﹣ ）；连接D′E，交x轴于点P，PD+PE=PD′+PE=D′E，由两点之间线段最短可知，此时PD+PE最小．设直线D′E的解析式为：y=kx+b，则有，解得 ∴直线D′E的解析式为：y= x﹣ ．令y=0，得x= ，∴P（，0）．点评本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、函数最值、分式方程的解、勾股定理、轴对称﹣最短路线等知识点，涉及考点众多，难度较大．本题难点在于第（3）问，涉及两个最值问题，第1个最值问题利用二次函数解决，第2个最值问题利用几何性质解决．：25 / 26 26 / 26