2014年四川省南充市中考数学试卷（含解析版）

2014年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（2014年四川南充）=（　　）　 A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 2．（2014年四川南充）下列运算正确的是（　　）　 A．a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C．a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b2 3．（2014年四川南充）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D． 4．（2014年四川南充）如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（　　）　 A．30° B．32.5° C．35° D．37.5° 5．（2014年四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）　 A．（﹣ ，1） B．（﹣1， 6．（2014年四川南充）不等式组）C．（，1） D．（﹣ ，﹣1）的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2014年四川南充）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（　　）　 A．样本容量是200 　 B．D等所在扇形的圆心角为15° 　 C．样本中C等所占百分比是10% 　 D．估计全校学生成绩为A等大约有900人 8．（2014年四川南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（　　）　 A． 30° B． 36° C． 40° D． 45° 9．（2014年四川南充）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）　 A． B．13π C．25π D． 25 10．（2014年四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论： 22①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax1 +bx1=ax2 +b x2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（　　）　 A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（2014年四川南充）分式方程 =0的解是　　． 12．（2014年四川南充）分解因式：x3﹣6×2+9x=　　． 13．（2014年四川南充）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3 ，则这组数据的方差是　　． 14．（2014年四川南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是　　．（结果保留π） 15．（2014年四川南充）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1=﹣1，a2= ，a3= ，…，an= ，则a1+a2+a3+…+a2014=　　． 16．（2014年四川南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在 BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是　　．三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17．（2014年四川南充）计算：（ ﹣1）0﹣（ ﹣2）+3tan30°+（）﹣1 ．18．（2014年四川南充）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD． 19．（2014年四川南充）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解） 20．（2014年四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0，有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值； 22（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x1 +x2 ﹣x1x2的值．　21．（2014年四川南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2． 22．（2014年四川南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，ta n36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处． 23．（2014年四川南充）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和 20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果40 0件，乙销售点需要水果300件．（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x 的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费． 24．（8分）（2014年四川南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E 在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB= ．求弦CD的长． 25．（2014年四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB 于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD ；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2014年四川省南充市中考数学试卷　参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（2014年四川南充）=（　　）　 A．3 B．﹣3 【分析】按照绝对值的性质进行求解．【解析】根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣ |= ．故选C． C． D．﹣ 【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0． 2．（2014年四川南充）下列运算正确的是（　　）　 A．a3•a2=a5 B．（a2）3=a5 C．a3+a3=a6 D．（a+b）2=a2+b2 【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据合并同类项，可判断C；根据完全平方公式，可判断D．【解析】A、底数不变指数相加，故A正确；B、底数不变指数相乘，故B错误； C、系数相加字母部分不变，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，和的平方等于平方和加积的二倍． 3．（2014年四川南充）下列几何体的主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）　 A． B． C． D．【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解析】A、主视图是扇形，扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； B、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； D、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．故选D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 4．（2014年四川南充）如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（　　）　 A．30° B．32.5° C．35° D．37.5° 【分析】根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．【解析】设AB、CE交于点O． ∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°， ∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，故选C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠EOB 的度数和得出∠A=∠EOB﹣∠E．　5．（2014年四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）　 A．（﹣ ，1） B．（﹣1，）C．（，1） D．（﹣ ，﹣1）【分析】过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠C OE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，C E=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．【解析】如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴OE=AD= ，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣ ，1）．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 6．（2014年四川南充）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D．【分析】根据不等式的基本性质解不等式得解集为﹣2＜x≤3，所以选D．【解析】解不等式得：x≤3．解不等式x﹣3＜3x+1得：x＞﹣2 所以不等式组的解集为﹣2＜x≤3．故选D．【点评】考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．（2014年四川南充）为积极响应南充市创建“全国卫生城市”的号召，某校1500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A、B、C、D四等．从中随机抽取了部分学生成绩进行统计，绘制成如图两幅不完整的统计图表，根据图表信息，以下说法不正确的是（　　）　 A．样本容量是200 B． D等所在扇形的圆心角为15° 　 C．样本中C等所占百分比是10% 　 D．估计全校学生成绩为A等大约有900人【分析】根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算，再对每一项进行分析即可．【解析】A、 00×60%=120（人），成绩为D的人数是200﹣120﹣50﹣20=10（人）， D等所在扇形的圆心角为：360°× =18°，故本选项错误； C、样本中C等所占百分比是1﹣60%﹣25%﹣ =10%，故本选项正确； =200（名），则样本容量是200，故本选项正确；B、成绩为A的人数是：2 D、全校学生成绩为A等大约有1500×60%=900人，故本选项正确；故选：B．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 8．（2014年四川南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（　　）　 A． 30° B． 36° C． 40° D． 45° 【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA， ∵CD=AD，∴∠C=∠CAD， ∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD =2∠CAD=2∠B=2∠C关系． 9．（2014年四川南充）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）　 A． B．13π 【分析】连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．【解析】连接BD，B′D，∵AB=5，AD=12，∴BD= =13， C．25π D． 25 ，∴==，∵ ==6π， +6π= ∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：，故选：A．【点评】此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l= ．　10．（2014年四川南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论： 22①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax1 +bx1=ax2 +b x2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（　　）　 A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣ =1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1 时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a 22﹣b+c＜0；把ax1 +bx1=ax2 +bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x 1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣ ，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣ =1， ∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1， ∴函数的最大值为a+b+c， ∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧 ∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误； 2222∵ax1 +bx1=ax2 +bx2，∴ax1 +bx1﹣ax2 ﹣bx2=0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣ ， ∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（2014年四川南充）分式方程 =0的解是　　．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】去分母得：x+1+2=0，解得：x=﹣3经检验x=﹣3是分式方程的解．故答案为：x=﹣3 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 12．（2014年四川南充）分解因式：x3﹣6×2+9x=　　．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解析】x3﹣6×2+9x=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式． 13．（2014年四川南充）一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3 ，则这组数据的方差是　　．【分析】先根据中位数的定义求出x的值，再求出这组数据的平均数，最后根据方差公式S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]进行计算即可．【解析】∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，∴x=3， ∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3， ∴这组数据的方差是： [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2 ]= ．故答案为：．【点评】本题考查了中位数和方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．　14．（2014年四川南充）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是　　．（结果保留π）【分析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．【解析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C， ∴OC⊥AB，∴BC=AC= AB= ×8=4cm． ∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2 ∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．【点评】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系． 15．（2014年四川南充）一列数a1，a2，a3，…an，其中a1=﹣1，a2= ，则a1+a2+a3+…+a2014=　　．，a3= ，…，an= 【分析】分别求得a1、a2、a3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．【解析】a1=﹣1，a2= =，a3= =2，a4= =﹣1，…，由此可以看出三个数字一循环，2004÷3=668，则a1+a2+a3+…+a2014=668×（﹣1+ +2）=1002．故答案为：1002．【点评】此题考查了找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律是解题的关键． 16．（2014年四川南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在 BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是　　．【分析】作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B时，根据翻折的性质可得BA′=AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，然后写出x的取值范围即可．【解析】如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=17，∴BC=AD=17，CD=AB=8， ①当折痕经过点D时，由翻折的性质得，A′D=AD=17，在Rt△A′CD中，A′C= ==15， ∴BA′=BC﹣A′C=17﹣15=2； ②当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′=AB=8， ∴x的取值范围是2≤x≤8．故答案为：2≤x≤8．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与最大值时的情况，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共9个小题，共72分） 17．（2014年四川南充）计算：（ ﹣1）0﹣（ ﹣2）+3tan30°+（）﹣1 ．【分析】本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解析】原式=1﹣ +2+ +3=6．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 18．（2014年四川南充）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．【分析】根据等角对等边可得OB=OC，再利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB=CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图确定出全等的三角形并求出OB=O D是解题的关键． 19．（2014年四川南充）在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有﹣5，﹣1，1．每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y．（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是﹣1，它们恰好是ax﹣y=5的解，求a的值；（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的概率．（请用树形图或列表法求解）【分析】（1）将x=2，y=﹣1代入方程计算即可求出a的值；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax﹣y=5的解的情况数，即可求出所求的概率．【解析】（1）将x=2，y=﹣1代入方程得：2a+1=5，即a=2；（2）列表得： 023﹣5 ﹣1 1（0，﹣5）（2，﹣5）（3，﹣5）（0，﹣1）（2，﹣1）（3，﹣1）（0，1）（2，1）（3，1）所有等可能的情况有9种，其中（x，y）恰好为方程2x﹣y=5的解的情况有（0，﹣5），（2 ，﹣1），（3，1），共3种情况，则P= = ．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（2014年四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0，有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值； 22（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x1 +x2 ﹣x1x2的值．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；（2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2 x+1=0，根据根与系数的关 22系，可得x1+x2=2 ，x1x2=1，再将x1 +x2 ﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．【解析】∵一元二次方程x2﹣2 x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1；（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：x2﹣2 x+1=0， ∴x1+x2=2 ，x1x2=1， 22∴x1 +x2 ﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△ ＜0⇔方程没有实数根．掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．　21．（2014年四川南充）如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= 的图象相交于点A（2，5）和点B，与y轴相交于点C（0，7）．（1）求这两个函数的解析式；（2）当x取何值时，y1＜y2．【分析】（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得k、b的值，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值，继而可得两函数解析式；（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的x的取值范围．【解析】（1）将点（2，5）、（0，7）代入一次函数解析式可得：，解得：．∴一次函数解析式为：y=﹣x+7；将点（2，5）代入反比例函数解析式：5= ， ∴m=10， ∴反比例函数解析式为：y= ．（2）由题意，得：，解得：或，∴点D的坐标为（5，2），当0＜x＜2或x＞5时，y1＜y2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是联立解析式，求出交点坐标． 22．（2014年四川南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B 的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，ta n36.5°≈0.75）．（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．【解析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=36.5°，∠PBA=45，设PE为x海里，则BE=PE=x海里， ∵AB=140海里，∴AE=（140﹣x）海里，在Rt△PAE中，，即：解得：x=60海里， ∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里；（2）在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°，则BP= PE=60 ≈84.8海里， B船需要的时间为： ≈2.83小时，在Rt△PAE中， =sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100海里， ∴A船需要的时间为：100÷40=2.5，∵2.83＞2.5，∴A船先到达．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般． 23．（2014年四川南充）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和 20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果40 0件，乙销售点需要水果300件．（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x 的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．【分析】（1）表示出从A基地运往乙销售点的水果件数，从B基地运往甲、乙两个销售点的水果件数，然后根据运费=单价×数量列式整理即可得解，再根据运输水果的数量不小于0列出不等式求解得到x的取值范围；（2）根据一次函数的增减性确定出运费最低时的运输方案，然后求解即可．【解析】（1）设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果（380﹣x ）件，从B基地运往甲销售点水果（400﹣x）件，运往乙基地（x﹣80）件，由题意得，W=40x+20（380﹣x）+15（400﹣x）+30（x﹣80）， =35x+11000，即W=35x+11000，∵ ，∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380；（2）∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200，∵35＞0， ∴运费W随着x的增大而增大， ∴当x=200时，运费最低，为35×200+11000=18000元，此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确表示出从A、B两个基地运往甲、乙两个销售点的水果的件数是解题的关键． 24．（8分）（2014年四川南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E 在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB= ．求弦CD的长．【分析】（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证，（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．（3）连接AC、BC、OG，由sinB= ，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出B F，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°， ∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连接OG， ∵BG2=BF•BO，∴ =，∴△BFG∽△BGO， ∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；（3）【解析】如图，连接AC、BC、OG， ∵sinB= ，∴ 由（2）得∠EPG+∠OPB=90°， ∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF， ∴sin∠OGF= ∴OF=1， =，∵OB=r=3，∴OG= ，=∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在RT△BCA中， CF2=BF•FA，∴CF= ==2 ．∴CD=2CF=4 ．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值． 25．（2014年四川南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB 于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD ；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由x=0时带入y=x﹣1求出y的值求出B的坐标，当x=﹣3时，代入y=x﹣1求出y 的值就可以求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，可以表示出S四边形OBDC和2S△BP D建立方程求出其解即可．（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD就可与求出结论，如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，就有，可以表示出AD，再由△PAD∽△FEA由相似三角形的性质就可以求出结论．【解析】（1）∵y=x﹣1，∴x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）． ∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴ ，∴ ，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）如图1①，作BE⊥PC于E， ∴BE=﹣m． CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2， ∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2， ∴，解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣ ；如图1②，作BE⊥PC于E， ∴BE=﹣m． PD=1﹣4m﹣m2+1﹣m=2﹣4m﹣m2， ∴，解得：m=0（舍去）或m=﹣3， ∴m=﹣ ，﹣2或﹣3时S四边形OBDC=2S△BPD ；（3））如图2，当∠APD=90°时，设P（a，a2+4a﹣1），则D（a，a﹣1）， ∴AP=m+4，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2， ∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴（1，0），∴OF=1， ∴CF=1﹣m．AF=4 ．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°， ∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，∴，解得：m=1舍去或m=﹣2， ∴P（﹣2，﹣5）如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E， ∴∠AEF=90°．CE=﹣3﹣m，EF=4，AF=4 ，PD=1﹣m﹣（1﹣4m﹣m2）=3m+m2． ∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴ ，∴AD= （﹣3﹣m）．∵△PAD∽△FEA，∴ ∴m=﹣2或m=﹣3 ，∴ ，∴P（﹣2，﹣5）或（﹣3，﹣4）与点A重合，舍去， ∴P（﹣2，﹣5）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．